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兩點(diǎn)之間線段最短教案
兩點(diǎn)之間,線段最短 北京市東直門中學(xué) 杜開龍
設(shè)計(jì)思想
(1)國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出:義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程,其基本出發(fā)點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生全面、持續(xù)、和諧地發(fā)展。它不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn),更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律,強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā),讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程,進(jìn)而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時(shí),在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。
(2)初一學(xué)生從基礎(chǔ)知識,基本技能和思維水平以及學(xué)習(xí)方式等方面有一個(gè)逐步適應(yīng)和提高的過程。因此,在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí),必須時(shí)時(shí)考慮到新初一學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際,既不能盲目拔高,也不能搞簡單化的結(jié)論式教學(xué)。在新課改的過程中,教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)立足于學(xué)生實(shí)際,從大處著眼,深入挖掘教材內(nèi)容的素質(zhì)教育功能。
(3)數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué),是師生之間、學(xué)生之間交往互動(dòng)與共同發(fā)展的過程。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從學(xué)生的實(shí)際出發(fā),創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問題情境,引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)踐、思考、探索、交流,獲得知識,形成技能,發(fā)展思維,學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。
(4)本課題通過對內(nèi)容的挖掘與整理,采用“問題情境──建立模型──解釋、應(yīng)用與拓展”的模式展開教學(xué),讓學(xué)生經(jīng)歷“從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)──在教室里學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)──到生活中運(yùn)用數(shù)學(xué)” 這樣一個(gè)過程,從而更好地理解數(shù)學(xué)知識的意義,發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的意識與能力,進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望和信心。學(xué)生通過本節(jié)從具體情境發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問題的學(xué)習(xí)活動(dòng),進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)與自然及人類社會(huì)的密切聯(lián)系,了解數(shù)學(xué)的價(jià)值。在互動(dòng)交流活動(dòng)中,學(xué)習(xí)從不同角度理解問題,尋求解決問題的方法,并有效地解決問題。體會(huì)在解決問題中與他人合作的重要性。體會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實(shí)社會(huì),去解決日常生活中和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題,增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。
教學(xué)任務(wù)分析
教
學(xué)
目
標(biāo)
知識與技能
理解“兩點(diǎn)之間,線段最短”的結(jié)論,并能用這一結(jié)論解釋一些簡單的問題。
數(shù)學(xué)思考
經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想等數(shù)學(xué)活動(dòng),發(fā)展合情推理能力,能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)。
解決問題
初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度提出問題、理解問題,并能應(yīng)用所學(xué)知識解決問題;學(xué)會(huì)與他人合作,并能與他人交流思維的過程和結(jié)果。
情感態(tài)度價(jià)值觀
能積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng),對數(shù)學(xué)有好奇心與求知欲;在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn),鍛煉克服困難的意志,建立自信心;初步認(rèn)識數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系,體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探索與創(chuàng)造。
重點(diǎn)
結(jié)論的應(yīng)用過程和拓展問題的探究過程
難點(diǎn)
拓展問題的探究過程
教學(xué)流程安排
活動(dòng)流程圖
活動(dòng)內(nèi)容和目的
活動(dòng)1 熱身準(zhǔn)備 我想試試
活動(dòng)2 課題引入
1、幻燈片:組圖
2、數(shù)學(xué)活動(dòng)
活動(dòng)3 新課教學(xué)
解釋、應(yīng)用與交流
問題1、怎樣走最近?
問題2、河道長度
問題3、九曲橋
3、拓廣探索與交流——螞蟻爬行最短問題
活動(dòng)4 回顧、思考與交流
以這首小詩,激發(fā)學(xué)生大膽參與課堂探究的勇氣。
以實(shí)際問題情境引入,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。
在解釋、應(yīng)用與交流中理解數(shù)學(xué)內(nèi)容
引導(dǎo)探究繼續(xù)深入,引發(fā)對問題的深層思考,滲透轉(zhuǎn)化思想
學(xué)習(xí)、反思,提高、升華
課前準(zhǔn)備
教具
學(xué)具
補(bǔ)充材料
課件
正方體模型
教學(xué)過程設(shè)計(jì)
問題與情景
師生行為
設(shè)計(jì)意圖
熱身準(zhǔn)備
我想試試
羅賽蒂
那個(gè)說“我想試試”的小孩
他將登上山巔,
那個(gè)說“我不成”的小孩,
在山下停步不前。
“我想試試”每天辦成很多事,
“我不成”就真一事無成。
因此你務(wù)必說“我想試試”,
將“我不成”棄于埃塵。
一、課題引入
1、幻燈片:組圖
綠地里本沒有路,走的人多了… …
你能解釋一下原因何在?
2、數(shù)學(xué)活動(dòng):在紙上任意點(diǎn)兩點(diǎn),用線聯(lián)接它們,量一下它們的長短,比較一下誰最短?
得出結(jié)論
二、新課教學(xué)
1、出課題:兩點(diǎn)之間,線段最短
學(xué)生朗讀——我想試試
教師提出問題
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學(xué)生獨(dú)立思考,小組交流后回答
教師布置數(shù)學(xué)活動(dòng)
學(xué)生分組進(jìn)行活動(dòng),給出探究結(jié)論。
教師板書課題
以這首小詩,激發(fā)學(xué)生大膽參與課堂探究的勇氣。
以實(shí)際問題情境引入,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,引入本節(jié)課題
動(dòng)手具體做一做,在做中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)
2、解釋、應(yīng)用與交流
問題1、怎樣走最近?
如圖1,從A地到B地有四條道路,除它們外能否再修一條從A地到B地的最短道路?
教師提出問題
學(xué)生思考、討論,發(fā)表看法
教師注意對學(xué)生幾何語言的訓(xùn)練(強(qiáng)調(diào)“連接AB”)
在解釋、應(yīng)用與交流中理解數(shù)學(xué)內(nèi)容
問題2、河道長度
如圖2,把原來彎曲的河道改直,A、B兩地間的河道長度有什么變化?
圖2
問題3、九曲橋
(2)如圖3,公園里設(shè)計(jì)了曲折迂回的橋,這樣做對游人觀賞湖面風(fēng)光有什么影響?與修一座筆直的橋相比,這樣做是否增加了游人在橋上行走的路程?說出其中的道理。
圖3
你還能舉出一些類似的例子嗎?
小貓看見魚,小狗看見骨頭后會(huì)怎樣運(yùn)動(dòng)?
有人過馬路到對面的商店去,但沒有走人行道,為什么呢?
其他
學(xué)生獨(dú)立思考、小組討論、組間交流,發(fā)表看法,相互評價(jià)
設(shè)置三個(gè)問題,通過解釋、應(yīng)用與交流活動(dòng),強(qiáng)化理解所學(xué)新知。
理解的四個(gè)層次:1、可以結(jié)合自己的體驗(yàn)或用自己的話闡述復(fù)雜概念;2、進(jìn)行聯(lián)想、比喻及推論;3、在新環(huán)境中能解決問題;
4、做出創(chuàng)新。
舉例也是考察學(xué)生對事物真正理解與否的方式之一。
3、拓廣探索與交流
螞蟻爬行路線最短問題
如圖4,一只螞蟻要從正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A沿表面爬行到頂點(diǎn)B,怎樣爬行路線最短?如果要爬行到頂點(diǎn)C呢?
4
圖
利用手中的正方體具體實(shí)驗(yàn)一下,告訴大家你的結(jié)論。
學(xué)生獨(dú)立思考,小組實(shí)驗(yàn)、探究與交流,組間相互評價(jià)
動(dòng)手實(shí)驗(yàn),自主探究,合作交流。
發(fā)表觀點(diǎn),引發(fā)思考
引導(dǎo)探究繼續(xù)深入,引發(fā)對問題的深層思考,達(dá)到理解的第三層次。力爭達(dá)到第四層次,學(xué)生作出創(chuàng)新。
道理暫時(shí)說不出不要緊。關(guān)鍵是在活動(dòng)中獲得的副產(chǎn)品。
三、回顧、思考與交流
設(shè)想自己是一名園林設(shè)計(jì)師或者是一名管理者,在進(jìn)行公共綠地設(shè)計(jì)時(shí)對情境一的一些思考與探討能給你一些什么啟發(fā)。
四、作業(yè)
對螞蟻爬行最短問題的再思考:如果螞蟻在長方體的一個(gè)頂點(diǎn)上,如果螞蟻在圓柱上,這時(shí)問題發(fā)生怎樣的變化?問題如何解?
請把你對此問題的研究寫成數(shù)學(xué)小作文,注意寫出自己的情感體驗(yàn)。
學(xué)習(xí)思考、組內(nèi)交流、組間交流
學(xué)習(xí)、反思,提高、升華
效果檢測
1、通過課堂學(xué)習(xí)活動(dòng)的展示與交流,學(xué)生對學(xué)生進(jìn)行相互評價(jià)
2、在學(xué)習(xí)活動(dòng)過程中教師注意及時(shí)地鼓勵(lì)、指導(dǎo)、點(diǎn)評,實(shí)施過程評價(jià)
3、課后要求學(xué)生“螞蟻爬行最短”問題進(jìn)行繼續(xù)研究,并寫出數(shù)學(xué)小作文。
附件──本節(jié)課的后續(xù)影響的例舉
關(guān)于最短路徑思考
黃博陽
我們已經(jīng)學(xué)過“兩點(diǎn)之間,線段最短”這個(gè)數(shù)學(xué)公理了。這看似簡單的八個(gè)字蘊(yùn)涵著許多奧妙,將它擴(kuò)展、延伸可得到一個(gè)最短路徑問題、即求連接A、B兩點(diǎn)的線段中哪一條最短。
當(dāng)A、B在同一平面內(nèi)時(shí),即使是從北京到天津,我們也可以輕松地利用“兩點(diǎn)之間,線段最短”得出線段AB是A、B兩點(diǎn)間的最短路徑(如圖1-1)。
圖1-1
有人會(huì)說:“這也太簡單了!”別著急,請看下面這道題(如圖2-1):
圖2-1
有一位將軍騎著馬要從A地走到B地,但途中要到水邊喂馬喝一次水,則將軍怎樣走最近。這道題乍一看似乎無從下手。但經(jīng)過觀察可以發(fā)現(xiàn)此題依然可以利用“兩點(diǎn)之間,線段最短”來解決問題,具體方法為:做B點(diǎn)與河面的對稱點(diǎn)B',連接AB',可得到馬喝水的地方C(如圖2-2)。
圖2-2
再連接CB得到這道題的解A→C→B。這就是著名的“將軍飲馬”問題。不信的話你可以在河邊任意取一點(diǎn)C'連接AC'和C'B,比較一下就知道了。
明白了剛才的平面問題,接下來看看立體圖形問題(如圖3-1)。
圖3-1
求點(diǎn)A到點(diǎn)C'的最短路徑是那一條。此時(shí)已不在同一平面內(nèi),不能直接利用公理解決問題。此時(shí),就要利用數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想,把立體圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形來研究(如圖3-2)。
圖3-2
從而得到兩條最短路徑:A→BC→C'和A→CD→C'。同理,還可以得出6條最短路徑來(如圖3-345)。
圖3-3 圖3-4 圖3-5
分別為:A→BC→C'、A→CD→C'、A→DD'→C'、A→BB'→C'、A→A'D'→C'、A→A'B'→C'。
那長方體的最短路徑呢?我們來看一下這題(如圖4-1)
圖4-1
從A'到C,不經(jīng)過A'B'C'D'和ABCD兩面,怎樣走最近?我們不如先不考慮第二個(gè)條件,從上題可知有六條最短路徑,但此題與上題略有不同──長方體各面不相等,因此我們需比較那條路徑最短。觀察發(fā)現(xiàn)這六條路徑,兩兩長度相等,即只比較這三條路徑誰更短就可以了(如圖4-23)。
圖4-2&n
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bsp; 圖4-3
解:設(shè)長方體長、寬、高分別為x、y、z,依題意,得:
①=
②=
③=
∵ 2xy>2xz>2yz
∴ ③<②<①
即走第三條路徑最短。
得到從A'到C的路徑中從A'→BB'→C和A'→DD'→C最短,與第二個(gè)已知條件無關(guān)。
平面是這樣,那曲面呢?我們再看一題(如圖5-1),從A到B,怎樣走最近呢?與前兩題相同,把圓柱體展開(如圖5-2),此時(shí),只有A點(diǎn)位于與長方形的交界處時(shí),才是最短路徑,且只有一條最短路徑AB。
圖5-1 圖5-2
從上面幾題可以看出立體圖形中的最短路徑問題,都可先把立題圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形再思考。而且得出正方體有6條最短路徑;長方體有2條最短路徑;圓柱有1條最短路徑。這短短的八個(gè)字還真是奧妙無窮啊!
教師注:初一剛?cè)雽W(xué)不久的學(xué)生,能把問題一個(gè)問題表述得如此清晰,很是難能可貴。不足之處是在對圓柱體問題的探究中考慮不周,有其他可能未進(jìn)行探究。繼續(xù)努力,力爭把問題研究的更清楚、更透徹。
兩點(diǎn)之間線段最短的探究與再思考
原靜雯
初一上學(xué)期,我們學(xué)習(xí)了兩點(diǎn)之間線段最短的知識,并利用它作了一節(jié)課,相信大家對它還是記憶猶新的。自從那次課后,不知大家有沒有進(jìn)行更深的思考,小人不才,愿用這貧乏的文字,說一說我的想法。
探究問題一:已知,A,B在直線L的兩側(cè),在L上求一點(diǎn),使得PA+PB最小。(如圖所示)
解:根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的基本概念,只用連接AB即可輕松的得到答案。如圖所示。線段AB與直線L的交點(diǎn),就是題目要求的點(diǎn)P。
總結(jié):本題雖然十分簡單,但卻是所有有關(guān)本類題目難題的基礎(chǔ),是必須要牢記與掌握的。下面一題,就是上一題的變形,你還會(huì)做嗎?
探究問題二:已知,A,B在直線L的同一側(cè),在L上求一點(diǎn),使得PA+PB最小。(如圖所示)
解:本題的難點(diǎn)不在于解題過程,而在于解題的思想,往往大家不能正確的找到解題的思路。那么,我就在此拋磚引玉,說說我的看法。首先,作點(diǎn)B關(guān)于L的對稱點(diǎn)B',(如圖所示),因?yàn)镺B'=OB,∠BOP=∠B',OP=OP,所以△OPB≌△OPB'。所以,PB=PB'。因此,求AP+BP就相當(dāng)于求AP+PB'。這樣,復(fù)雜的問題便通過轉(zhuǎn)化變得簡單,成了探究問題一。因此只用連接AB'即可,與直線L的交點(diǎn),就是題目要求的點(diǎn)P。
結(jié)論:我們完全也可以把以上的結(jié)論當(dāng)作一個(gè)模塊牢記下來,成為自己解題的方法之一。
探究問題三:A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn),在∠MON的兩邊OM,ON上各取一點(diǎn)B,C,組成三角形,使三角形周長最小。(如圖所示)
解:利用探究問題二的結(jié)論,作A與OM的對稱點(diǎn)D,再作A與ON的對稱點(diǎn)E。連接DE(如圖所示),據(jù)上題鋪墊,我們可得,AB=BD,AC=CE,又因?yàn)镈,B,C,E在一條直線上,所以,這時(shí)的周長是最短的。
總結(jié):本題可總結(jié)為“三角形的一點(diǎn)決定”。下面我們看一看四邊形一邊確定。
探究問題四:AB是銳角MON內(nèi)部一條線段,在角MON的兩邊OM,ON上各取一點(diǎn)C,D組成四邊形,使四邊形周長最小。(如圖所示)
解:有了上一題的鋪墊,本題似乎簡單了許多,作A關(guān)于OM的對稱點(diǎn)E,再作B關(guān)于ON的對稱點(diǎn)F,連接EF即可。如圖。ABCD便是周長最小的。
(2)下面我把上一題簡單變形,把銳角變?yōu)橹苯?大家再看,本圖有沒有似曾相識之感?對了,我們見過的,只用把兩條直角邊所在直線看作是一個(gè)平面直角坐標(biāo)系,再把AB兩點(diǎn)固定位置,這樣,就變?yōu)榱嗽驴几郊宇}中的最后一題。
原題:在直角坐標(biāo)系中,有四個(gè)點(diǎn)A(-8,3)、B(-4,5)、C(0, n)、D(m,o),當(dāng)四邊形ABCD的周長最短時(shí),求m/n的值。
解:依題意畫圖得:
由探究問題四得知,作B關(guān)于Y軸的對稱點(diǎn)B',A關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)A'。連接A'B',他們與X軸,Y軸的交點(diǎn)便為所求。如圖所示,過A'與B'兩點(diǎn)的直線的函數(shù)解析式可求。設(shè)過A'與B'兩點(diǎn)的直線的函數(shù)解析式為y=kx+b.
依題意得:-8k+b=-3, 4k+b=5
解得,k=2/3,b=7/3
所以,(0,n)為(o,7/3)
(m,o)為(-3.5,o)
所以,m/n=-2/3
以上,便就是我對此問題的一些想法,復(fù)雜費(fèi)解的問題是不是簡單了許多?好理解了許多呢?
來源:人教網(wǎng)
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