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正方形 —— 初中數(shù)學第四冊教案
課題： §4.6 正方形（一）
教學目的： 使學生掌握正方形的定義、性質(zhì)和判定，會用正方形的概念和性質(zhì)進行有關(guān)的論證和計算，理解正方形與平行四邊形、矩形、菱形的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別，進一步加深對“特殊與一般的認識”
教學重點： 正方形的定義．
教學難點： 正方形與矩形、菱形間的關(guān)系．
教學方法：雙邊合作 如：在教學時可播放轉(zhuǎn)換動畫使學生獲得生動、形象的可視思維過程，從而掌握判定一個四邊形是正方形的方法．為了活躍學生的思維，可以得出下列問題讓學生思考：
（1）對角線相等的菱形是正方形嗎？為什么？
（2）對角線互相垂直的矩形是正方形嗎？為什么？
（3）對角線垂直且相等的四邊形是正方形嗎？為什么？如果不是，應該加上什么條件？
（4）能說“四條邊都相等的四邊形是正方形”嗎？為什么？
（5）說“四個角相等的四邊形是正方形”，對嗎？
教學過程：
讓學生將事先準備好的矩形紙片，按要求對折一下，裁出正方形紙片．
問：所得的圖形是矩形嗎？它與一般的矩形有什么不同？
所得的圖形是菱形嗎？它與一般的菱形有什么不同？
所得的圖形在小學里學習時稱它為什么圖形？它有什么特點？
由此得出正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．
（一）新課
由正方形的定義可以得知：正方形是有一組鄰邊相等的矩形，又是有一個角是直角的菱形，因此正方形具有矩形的性質(zhì)，同時又具有菱形的性質(zhì)．
請同學們推斷出正方形具有哪些性質(zhì)？
性質(zhì)１、（１）正方形的四個角都是直角。
（２）正方形的四條邊相等。
性質(zhì)２、（１）正方形的兩條對角線相等。
（２）正方形的兩條對角線互相垂直平分。
（３）正方形的每條對角線平分一組對角。
例1 求證：正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形．
已知：四邊形ABCD是正方形，對角線AC、BD相交于點O．
等腰直角三角形．
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD，AO=CO=BO=DO
（正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分）．
∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO．
問：如何判定一個四邊形是正方形呢？
1.先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形是菱形；
2.先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形是矩形．
例2 已知：如圖，點A′、B′、C′、D′分
別是正方形ABCD四條邊上的點，并且AA′=BB′=CC′=DD′．
求證：四邊形A′B′C′D′是正方形．
分析：根據(jù)正方形的四條邊相等，四個角都是直角及已知條件，可以得到四個全等的直角三角形，它們的斜邊都相等，從而判定四邊形A′B′C′D′是菱形，再利用直角三角形兩銳角互余證明菱形是矩形．
證明：（略）
（二）練習
1.已知正方形的邊長為2cm，求這個正方形的周長、對角線長和正方形的面積．
2.正方形的對角線和它的邊所成的角是多少度？為什么？
3.如果一個菱形的兩條對角線相等，那么它一定是正方形，為什么？
4.如果一個矩形的兩條對角線互相垂直，那么它一定是正方形，為什么？
三 小結(jié)
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形而且正方形還是特殊的矩形、特殊的菱形，它們的包含關(guān)系如圖：
四 作業(yè)
1.已知正方形的一條對角線長4cm，求它的邊長和面積．
2.兩條對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形．
3.求證：正方形對邊中點的連線將正方形分成四個小正方形．
4.求證：矩形的各內(nèi)角平分線組成的四邊形是正方形．
課題： §4.6 正方形（一）
教學目的： 使學生掌握正方形的定義、性質(zhì)和判定，會用正方形的概念和性質(zhì)進行有關(guān)的論證和計算，理解正方形與平行四邊形、矩形、菱形的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別，進一步加深對“特殊與一般的認識”
教學重點： 正方形的定義．
教學難點： 正方形與矩形、菱形間的關(guān)系．
教學方法：雙邊合作 如：在教學時可播放轉(zhuǎn)換動畫使學生獲得生動、形象的可視思維過程，從而掌握判定一個四邊形是正方形的方法．為了活躍學生的思維，可以得出下列問題讓學生思考：
（1）對角線相等的菱形是正方形嗎？為什么？
（2）對角線互相垂直的矩形是正方形嗎？為什么？
（3）對角線垂直且相等的四邊形是正方形嗎？為什么？如果不是，應該加上什么條件？
（4）能說“四條邊都相等的四邊形是正方形”嗎？為什么？
（5）說“四個角相等的四邊形是正方形”，對嗎？
教學過程：
讓學生將事先準備好的矩形紙片，按要求對折一下，裁出正方形紙片．
問：所得的圖形是矩形嗎？它與一般的矩形有什么不同？
所得的圖形是菱形嗎？它與一般的菱形有什么不同？
所得的圖形在小學里學習時稱它為什么圖形？它有什么特點？
由此得出正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．
（一）新課
由正方形的定義可以得知：正方形是有一組鄰邊相等的矩形，又是有一個角是直角的菱形，因此正方形具有矩形的性質(zhì)，同時又具有菱形的性質(zhì)．
請同學們推斷出正方形具有哪些性質(zhì)？
性質(zhì)１、（１）正方形的四個角都是直角。
（２）正方形的四條邊相等。
性質(zhì)２、（１）正方形的兩條對角線相等。
（２）正方形的兩條對角線互相垂直平分。
（３）正方形的每條對角線平分一組對角。
例1 求證：正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形．
已知：四邊形ABCD是正方形，對角線AC、BD相交于點O．
等腰直角三角形．
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD，AO=CO=BO=DO
（正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分）．
∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO．
問：如何判定一個四邊形是正方形呢？
1.先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形是菱形；
2.先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形是矩形．
例2 已知：如圖，點A′、B′、C′、D′分
別是正方形ABCD四條邊上的點，并且AA′=BB′=CC′=DD′．
求證：四邊形A′B′C′D′是正方形．
分析：根據(jù)正方形的四條邊相等，四個角都是直角及已知條件，可以得到四個全等的直角三角形，它們的斜邊都相等，從而判定四邊形A′B′C′D′是菱形，再利用直角三角形兩銳角互余證明菱形是矩形．
證明：（略）
（二）練習
1.已知正方形的邊長為2cm，求這個正方形的周長、對角線長和正方形的面積．
2.正方形的對角線和它的邊所成的角是多少度？為什么？
3.如果一個菱形的兩條對角線相等，那么它一定是正方形，為什么？
4.如果一個矩形的兩條對角線互相垂直，那么它一定是正方形，為什么？
三 小結(jié)
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形而且正方形還是特殊的矩形、特殊的菱形，它們的包含關(guān)系如圖：
四 作業(yè)
1.已知正方形的一條對角線長4cm，求它的邊長和面積．
2.兩條對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形．
3.求證：正方形對邊中點的連線將正方形分成四個小正方形．
4.求證：矩形的各內(nèi)角平分線組成的四邊形是正方形．
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