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            數(shù)學(xué)教案-解直角三形應(yīng)用舉例

            時(shí)間:2022-08-17 01:52:25 九年級數(shù)學(xué)教案 我要投稿
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            數(shù)學(xué)教案-解直角三形應(yīng)用舉例

            1.知識結(jié)構(gòu):

             

            數(shù)學(xué)教案-解直角三形應(yīng)用舉例

              2.重點(diǎn)和難點(diǎn)分析

              重點(diǎn)和難點(diǎn):要求學(xué)生善于將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系,歸結(jié)為直角三角形中元素之間的關(guān)系,從而解決問題.

              3.教法建議

              本節(jié)知識與實(shí)際聯(lián)系密切,這些知識可以直接用來解決一些實(shí)際問題,這在幾何的許多章節(jié)中是做不到的,所以要充分發(fā)揮這一特點(diǎn),通過教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識,解決實(shí)際問題的能力.要解決實(shí)際問題,首先要能夠把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題,然后運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決這些問題,為了使學(xué)生能夠處理一些簡單問題,教材中配備一些比較典型的例題,這些例題的教學(xué),要注意以下幾個(gè)問題:

              1.幫助學(xué)生弄清實(shí)際問題的意義.由于學(xué)生接觸實(shí)際較少,實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)不足,許多實(shí)際問題的意義不清楚,許多術(shù)語不熟悉,這些在教學(xué)中要向?qū)W生說明.例如測量中的仰角、俯角、視線、鉛垂線等等,零件圖,特別是剖面圖的意義,航行中的方位角等.學(xué)生懂得了這些常識,才能理解實(shí)際問題.

              2.幫助學(xué)生畫出草圖.把實(shí)際問題抽象為幾何問題,關(guān)鍵是畫出草圖,通過圖形反映問題中的已知與未知,以及已知和未知量之間的關(guān)系.這里要解決好兩個(gè)問題:

              (1)實(shí)際問題基本上是空間三維的問題,要會(huì)把它轉(zhuǎn)化為平面問題,畫出平面圖形.例如飛機(jī)在空中俯看地面目標(biāo),選取經(jīng)過飛機(jī)、地面目標(biāo)的垂直于地平面的平面(圖1);機(jī)器零件大都畫出橫斷面、縱斷面(圖2);在地面上測兩點(diǎn)距離,兩個(gè)方向夾角,可以畫平行地面的平面等.

                

              (2)船在海上航行,在平面上標(biāo)出船的位置、燈塔或岸上某目標(biāo)的位置,這類問題難點(diǎn)在于確定基準(zhǔn)點(diǎn).例如,說燈塔在船的什么方向上,這時(shí)船是基準(zhǔn)點(diǎn),如果說船在岸邊某一點(diǎn)的什么方向上,這時(shí)岸邊的這一點(diǎn)是基準(zhǔn)點(diǎn).有時(shí)因?yàn)榇诤叫兄杏^測燈塔,基準(zhǔn)點(diǎn)在轉(zhuǎn)移,這些都會(huì)給畫圖增加困難.

              在第一冊里,介紹過空間里的平行、垂直關(guān)系,也介紹過方向角的概念,這些都可以作為學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),教學(xué)時(shí)可適當(dāng)復(fù)習(xí),幫助學(xué)生回憶.

              3.幫助學(xué)生根據(jù)需要作出輔助線.畫出的草圖,不一定有直角三角形,為了用解直角三角形的方法解決這些問題,常常需要添加輔助線.在這些問題中,輔助線常常是垂線或者平行線,例如圖3中的幾個(gè)問題中,虛線就是所要添加的輔助線.

             

              4.有了直角三角形,還要進(jìn)一步分析,由題目的條件可以知道直角三角形的哪些邊或角,題目要求的是哪些邊或角,這樣才可以用解直角三角形的方法解決這些實(shí)際問題.
            一、教學(xué)目標(biāo)

              1.使學(xué)生了解仰角、俯角的概念,能根據(jù)直角三角形的知識解決實(shí)際問題,會(huì)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決;

              2.通過本節(jié)的教學(xué),進(jìn)一步把形和數(shù)結(jié)合起來,提高學(xué)生分析問題、解決實(shí)際問題的能力;

              3.通過本節(jié)的教學(xué),向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐又反過來作用于實(shí)踐的觀點(diǎn),培養(yǎng)他們用數(shù)學(xué)的意識.

              二、重點(diǎn)·難點(diǎn)·疑點(diǎn)及解決辦法

              1. 重點(diǎn):要求學(xué)生善于將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系,歸結(jié)為直角三角形中元素之間的關(guān)系,從而解決問題.

              2.難點(diǎn):要求學(xué)生善于將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系,歸結(jié)為直角三角形中元素之間的關(guān)系,從而解決問題.

              3.疑點(diǎn):練習(xí)中水位為+2.63這一條件學(xué)生可能不理解,教師最好用實(shí)際教具加以說明.

              4.解決辦法:引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)實(shí)際問題中的概念,建立數(shù)學(xué)模型,從而重難點(diǎn),以教具演示解決疑點(diǎn).

              三、教學(xué)過程(adivasplayground.com)

             

               1.仰角、俯角

               當(dāng)我們進(jìn)行測量時(shí),在視線與水平線所成的角中,視線在

              水平線上方的角叫做仰角,在水平線下方的角叫做俯角.

               教學(xué)時(shí),可以讓學(xué)生仰視燈或俯視桌面以體會(huì)仰角與俯角的意義.

               2.例1

              如圖,某飛機(jī)于空中A處探測到目標(biāo)C,此時(shí)飛行高度米,從飛機(jī)上看地平面控制點(diǎn)B的俯角,求飛機(jī)A到控制點(diǎn)B距離(精確到1米).

             

               解決此問題的關(guān)鍵是在于把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,利用解直角三角報(bào)知識來解決,在此之

              前,學(xué)生曾經(jīng)接觸到通過把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題后,用數(shù)學(xué)方法來解決問題的方法,但

              不太熟練.因此,解決此題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題,轉(zhuǎn)化過程中著重語學(xué)生畫幾

              何圖形,并說出題目中每句話對應(yīng)圖中哪個(gè)角或邊(包括已知什么和求什么),會(huì)利用平行線的內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)由已知的俯角得出中的,進(jìn)而利用解直角三角形的知識就可以解此題了.

              解:在中,

              ∴ (米).

               答:飛機(jī)A到控制點(diǎn)B的距離約為4221米.

               [例1]小結(jié):本章引言中的例子和例1正好屬于應(yīng)用同一關(guān)系式

              來解決的兩個(gè)實(shí)際問題即已知和斜邊,求的對邊;以及已知和對邊,求斜邊.

               3.鞏固練習(xí) P.25.

              如圖,某海島上的觀察所A發(fā)現(xiàn)海上某船只B并測得其俯角.已知觀察所A的標(biāo)高(當(dāng)水位為0m時(shí)的高度)為43.74m,當(dāng)時(shí)水位為+2.63m,求觀察所A到船只B的水平距離BC(精確到1m)

             

               為了鞏固例1,加深學(xué)生對仰角、俯角的了解,配備了練習(xí).

               由于學(xué)生只接觸了一道實(shí)際應(yīng)用題,對其還不熟悉,不會(huì)將其轉(zhuǎn)化

              為數(shù)學(xué)問題,因此教師在學(xué)生充分地思考后,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生分析:

               1.誰能將實(shí)物圖形抽象為幾何圖形?請一名同學(xué)上黑板畫出來.

               2.請學(xué)生結(jié)合圖說出已知條件和所求各是什么?

              答:已知,求AB

               這樣,學(xué)生運(yùn)用已有的解直角三角形的知識完全可以解答.

             

              對于程度較高的學(xué)生,教師還可以將此題變式,當(dāng)船繼續(xù)行駛到D時(shí),測得俯角,當(dāng)時(shí)水位為-1.15m,求觀察所A到船只B的水平距離(精確到1m),請學(xué)生獨(dú)立完成.

              【例2】  如圖所示,已知A、B兩點(diǎn)間的距離是160米,從A點(diǎn)看B點(diǎn)的仰角是11°,AC長為1.5米,求BD的高及水平距離CD.

             

              此題在例1的基礎(chǔ)上,又加深了一步,須由A作一條平等于CD的直線交BDE,構(gòu)造出,然后進(jìn)一步求出AE、BE,進(jìn)而求出BDCD.

              設(shè)置此題,既使成績較好的學(xué)生有足夠的訓(xùn)練,同時(shí)對較差學(xué)生又是鞏固,達(dá)到分層次教學(xué)的目的.

              解:過A作,于是,

              在中,

              ∴ (米).

              .

              ∴ (米).

              ∴ (米).

               (米).

              答:BD的高及水平距離CD分別是32.03米,157.1米.

              練習(xí):為測量松樹AB的高度,一個(gè)人站在距松樹15米的E處,測得仰角,已知人的高度為1.72米,求樹高(精確到0.01米).

              要求學(xué)生根據(jù)題意能畫圖,把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,利用解直角三角形的知識來解決它.

            探究活動(dòng)

            一、望海島

              如圖, 要測量海島高度,立兩根高度都是3丈的桿,兩桿相距1000步,使前桿、后桿、海島排成一直線。從前桿往回走123步,腳、前桿頂、島頂共線。從后桿往回走127步,腳、后桿、島頂共線。問島高和島離前桿分別為多少?(在古代,1里=300步,1步=6尺=0.6丈)

              答案: 4里55步;102里150步.

            二、望松

              如下圖,求出三頂松的高度.

             

              答案: 12丈2尺8寸.


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