數(shù)學(xué)教案－圓和圓的位置關(guān)系

1、教材分析

　�。�1）知識結(jié)構(gòu)

 

　�。�2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

　　重點(diǎn)：兩圓的位置關(guān)系和兩圓相交、相切的性質(zhì)．它們是本節(jié)的主要內(nèi)容，是圓的重要概念性知識，也是今后研究圓與圓問題的基礎(chǔ)知識．

　　難點(diǎn)：兩圓位置關(guān)系的判定與相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦的性質(zhì)的運(yùn)用．由于兩圓位置關(guān)系有5種類型，特別是相離有外離和內(nèi)含，相切有外切和內(nèi)切，學(xué)生容易遺漏；而在相交圓的性質(zhì)應(yīng)用中，學(xué)生容易把“相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線．”看成是真命題．

　　2、教法建議

　　本節(jié)內(nèi)容需要兩個(gè)課時(shí)．第一課時(shí)主要研究圓和圓的位置關(guān)系；第二課時(shí)相交兩圓的性質(zhì)．

　�。�1）把課堂活動設(shè)計(jì)的重點(diǎn)放在如何調(diào)動學(xué)生的主體，讓學(xué)生觀察、分析、歸納概括，主動獲得知識；

　�。�2）要重視圓的對稱美的教學(xué)，組織學(xué)生欣賞，在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣中，獲得知識，提高能力；

　�。�3）在教學(xué)中，以分類思想為指導(dǎo)，以數(shù)形結(jié)合為方法，貫串整個(gè)教學(xué)過程（adivasplayground.com）．

第一課時(shí) 圓和圓的位置關(guān)系

　教學(xué)目標(biāo)：

　　1．掌握圓與圓的五種位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及判定方法；兩圓連心線的性質(zhì)；

　　2．通過兩圓的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的分類能力和數(shù)形結(jié)合能力；

　　3．通過演示兩圓的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)來分析和發(fā)現(xiàn)問題的能力．

　教學(xué)重點(diǎn)：

　　兩圓的五種位置與兩圓的半徑、圓心距的數(shù)量之間的關(guān)系．

　教學(xué)難點(diǎn)：

　　兩圓位置關(guān)系及判定．

　�。�一）復(fù)習(xí)、引出問題

　　1．復(fù)習(xí)：直線和圓有幾種位置關(guān)系?各是怎樣定義的?

　　（教師主導(dǎo)，學(xué)生回憶、回答）直線和圓有三種位置關(guān)系，即直線和圓相離、相切、相交．各種位置關(guān)系是通過直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來定義的

　　2．引出問題：平面內(nèi)兩個(gè)圓，它們作相對運(yùn)動，將會產(chǎn)生什么樣的位置關(guān)系呢?

　�。�二）觀察、分類，得出概念

　　1、讓學(xué)生觀察、分析、比較，分別得出兩圓：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含(包括同心圓)這五種位置關(guān)系，準(zhǔn)確給出描述性定義：

　　(1)外離：兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外離．(圖(1))

　　(2)外切：兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外切．這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．(圖(2))

　 　

　 　

　　(3)相交：兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這兩個(gè)圓相交．(圖(3))

　　(4)內(nèi)切：兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外，一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)切．這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．(圖(4))

　　(5)內(nèi)含：兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含(圖(5))．兩圓同心是兩圓內(nèi)含的一個(gè)特例．  (圖(6))

　　2、歸納：

　　(1)兩圓外離與內(nèi)含時(shí)，兩圓都無公共點(diǎn)．

　　(2)兩圓外切和內(nèi)切統(tǒng)稱兩圓相切，即外切和內(nèi)切的共性是公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)唯一

　　(3)兩圓位置關(guān)系的五種情況也可歸納為三類：相離(外離和內(nèi)含)；相交；相切(外切和內(nèi)切)．

　　教師組織學(xué)生歸納，并進(jìn)一步考慮：從兩圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)考慮，無公共點(diǎn)則相離；有一個(gè)公共點(diǎn)則相切；有兩個(gè)公共點(diǎn)則相交．除以上關(guān)系外，還有其它關(guān)系嗎?可能不可能有三個(gè)公共點(diǎn)?

　　結(jié)論：在同一平面內(nèi)任意兩圓只存在以上五種位置關(guān)系．

　　（三）分析、研究

　　1、相切兩圓的性質(zhì)．

　　讓學(xué)生觀察連心線與切點(diǎn)的關(guān)系，分析、研究，得到相切兩圓的連心線的性質(zhì)：

　　如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上．

　　這個(gè)性質(zhì)由圓的軸對稱性得到，有興趣的同學(xué)課下可以考慮如何對這一性質(zhì)進(jìn)行證明

　　2、兩圓位置關(guān)系的數(shù)量特征．

　　設(shè)兩圓半徑分別為R和r．圓心距為d，組織學(xué)生研究兩圓的五種位置關(guān)系，r和d之間有何數(shù)量關(guān)系．（圖形略）

　　兩圓外切 d＝R+r；

　　兩圓內(nèi)切 d＝R-r (R＞r);

　　兩圓外離 d＞R+r；

　　兩圓內(nèi)含 d＜R-r(R＞r);

　　兩圓相交 R-r＜d＜R+r．

　　說明：注重“數(shù)形結(jié)合”思想的教學(xué)．

　　（四）應(yīng)用、練習(xí)

　　例1：  如圖，⊙O的半徑為5厘米，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，OP=8厘米

　　求：(1)以P為圓心作⊙P與⊙O外切，小圓⊙P的半徑是多少?

　　(2)以P為圓心作⊙P與⊙O內(nèi)切，大圓⊙P的半徑是多少?

　　 解：（1）設(shè)⊙P與⊙O外切與點(diǎn)A，則

　　PA=PO-OA

　　∴PA=3cm．

　　（2）設(shè)⊙P與⊙O內(nèi)切與點(diǎn)B，則

　　PB=PO+OB

　　∴PB=1 3cm．

　　例2：已知：如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝8，以AC為直徑作⊙O，以B為圓心，4為半徑作．

　　求證：⊙O與⊙B相外切．

　　證明：連結(jié)BO，∵AC為⊙O的直徑，AC＝12，

　　∴⊙O的半徑 ，且O是AC的中點(diǎn)

　　 ∴ ，∵∠C=90°且BC=8，

　　∴ ，

　　∵⊙O的半徑 ，⊙B的半徑 ，

　　∴BO= ，∴⊙O與⊙B相外切．

　　 練習(xí)(P₁₃₈)

　　（五）小結(jié)

　　知識：①兩圓的五種位置關(guān)系：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含；

　　②以及這五種位置關(guān)系下圓心距和兩圓半徑的數(shù)量關(guān)系；

　�、蹆蓤A相切時(shí)切點(diǎn)在連心線上的性質(zhì)．

　　能力：觀察、分析、分類、數(shù)形結(jié)合等能力．

　　思想方法：分類思想、數(shù)形結(jié)合思想．

　　（六）作業(yè)

　　教材P151中習(xí)題A組2，3，4題．
第二課時(shí) 相交兩圓的性質(zhì)

　教學(xué)目標(biāo)

　　1、掌握相交兩圓的性質(zhì)定理；

　　2、掌握相交兩圓問題中常添的輔助線的作法；

　　3、通過例題的分析，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力；

　　4、結(jié)合相交兩圓連心線性質(zhì)教學(xué)向?qū)W生滲透幾何圖形的對稱美．

　教學(xué)重點(diǎn)

　　相交兩圓的性質(zhì)及應(yīng)用．

　教學(xué)難點(diǎn)

　　應(yīng)用軸對稱來證明相交兩圓連心線的性質(zhì)和準(zhǔn)確添加輔助線．

　教學(xué)活動設(shè)計(jì)

　�。�一）圖形的對稱美

　 　

　　相切兩圓是以連心線為對稱軸的對稱圖形．相交兩圓具有什么性質(zhì)呢?

　　 （二）觀察、猜想、證明

　　1、觀察：同樣相交兩圓，也構(gòu)成對稱圖形，它是以連心線為對稱軸的軸對稱圖形．

　　2、猜想：“相交兩圓的連心線垂直平分公共弦”．

　　3、證明：

　　對A層學(xué)生讓學(xué)生寫出已知、求證、證明，教師組織；對B、C層在教師引導(dǎo)下完成．

　　已知：⊙O₁和⊙O₂相交于A，B．

　　求證：Q₁O₂是AB的垂直平分線．

　　分析：要證明O₁O₂是AB的垂直平分線，只要證明O₁O₂上的點(diǎn)和線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，于是想到連結(jié)O₁A、O₂A、O₁B、O₂B． 

　　證明：連結(jié)O₁A、O₁B、 O₂A、O₂B，∵O₁A=O₁B，

　　∴O₁點(diǎn)在AB的垂直平分線上．

　　又∵O₂A＝O₂B，∴點(diǎn)O₂在AB的垂直平分線上．

　　因此O₁O₂是AB的垂直平分線．

　　也可考慮利用圓的軸對稱性加以證明：

　　∵⊙O_l和⊙O₂，是軸對稱圖形，∴直線O₁O₂是⊙O_l和⊙O₂的對稱軸．

　　∴⊙O_l和⊙O₂的公共點(diǎn)A關(guān)于直線O₁O₂的對稱點(diǎn)即在⊙O_l上又在⊙O₂上．

　　∴A點(diǎn)關(guān)于直線O₁O₂的對稱點(diǎn)只能是B點(diǎn)，

　　∴連心線O₁O₂是AB的垂直平分線．

　　定理：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦．

　　注意：相交兩圓連心線垂直平分兩圓的公共弦，而不是相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線．

　�。�三）應(yīng)用、反思

　　例1、已知兩個(gè)等圓⊙O_l和⊙O₂相交于A，B兩點(diǎn)，⊙O_l經(jīng)O_2。

　　求∠O_lAB的度數(shù)．

　　分析：由所學(xué)定理可知，O₁O₂是AB的垂直平分線，

　　 又⊙O₁與⊙O₂是兩個(gè)等圓，因此連結(jié)O₁O₂和AO₂，AO₁，△O₁AO₂構(gòu)成等邊三角形，同時(shí)可以推證⊙O _l和⊙O₂構(gòu)成的圖形不僅是以O(shè)₁O₂為對稱軸的軸對稱圖形，同時(shí)還是以AB為對稱軸的軸對稱圖形．從而可由

　　∠O_lAO₂＝60°，推得∠O_lAB＝30°．

　　解：⊙O₁經(jīng)過O₂，⊙O₁與⊙O₂是兩個(gè)等圓

　　∴O_lA= O₁O₂= AO₂

　　∴∠O₁A O₂=60°，

　　又AB⊥O₁O₂

　　∴∠O_lAB =30°．

　　 例2、已知，如圖，A是⊙O _l、⊙O₂的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)P是O₁O₂的中點(diǎn)。過點(diǎn)A的直線MN垂直于PA，交⊙O _l、⊙O₂于M、N。

　　求證：AM=AN．

　　證明：過點(diǎn)O_l、O₂分別作O_lC⊥MN、O₂D⊥MN，垂足為C、D，則O_lC∥PA∥O₂D，且AC= AM，AD= AN．

　　∵O_lP= O₂P ，∴AD=AM，∴AM=AN．

　　 例3、已知：如圖，⊙O_l與⊙O₂相交于A、B兩點(diǎn)，C為⊙O_l上一點(diǎn)，AC交⊙O₂于D，過B作直線EF交⊙O_l、⊙O₂于E、F．

　　求證：EC∥DF

　　證明：連結(jié)AB

　　∵在⊙O₂中∠F=∠CAB，

　　在⊙O_l中∠CAB=∠E，

　　∴∠F=∠E，∴EC∥DF．

　　反思：在解有關(guān)相交兩圓的問題時(shí)，常作出連心線、公共弦，或連結(jié)交點(diǎn)與圓心，從而把兩圓半徑，公共弦長的一半，圓心距集中到一個(gè)三角形中，運(yùn)用三角形有關(guān)知識來解，或者結(jié)合相交弦定理，圓周角定理綜合分析求解．

　�。�四）小結(jié)

　　知識：相交兩圓的性質(zhì)：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦．該定理可以作為證明兩線垂直或證明線段相等的依據(jù)．

　　能力與方法：①在解決兩圓相交的問題中常常需要作出兩圓的公共弦作為輔助線，使兩圓中的角或線段建立聯(lián)系，為證題創(chuàng)造條件，起到了“橋梁”作用；②圓的對稱性的應(yīng)用．

　　（五）作業(yè)  教材P152習(xí)題A組7、8、9題；B組1題．

探究活動

　　問題1：已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)O₁、O₂、…、O_n在線段AB上，分別以O(shè)₁、O₂、…、O_n為圓心作圓，使⊙O₁與⊙O內(nèi)切，⊙O₂與⊙O₁外切，⊙O₃與⊙O₂外切，…，⊙O_n與⊙O_n-1外切且與⊙O內(nèi)切．設(shè)⊙O的周長等于C，⊙O₁、⊙O₂、…、⊙O_n的周長分別為C₁、C₂、…、C_n．

　　(1)當(dāng)n=2時(shí)，判斷C_l+C₂與C的大小關(guān)系；

　　(2)當(dāng)n=3時(shí)，判斷C_l+C₂+ C₃與C的大小關(guān)系；

　　(3)當(dāng)n取大于3的任一自然數(shù)時(shí)，C_l十C₂十…十C_n與C的大小關(guān)系怎樣?證明你的結(jié)論．

　　 提示：假設(shè)⊙O、⊙O₁、⊙O₂、…、⊙O_n的半徑分別為r、r_l、r₂、…、r_n，通過周長計(jì)算，比較可得（1）C_l+C₂=C；（2）C_l+C₂+ C₃=C；（3）C_l十C₂十…十C_n=C．

　　問題2：有八個(gè)同等大小的圓形，其中七個(gè)有陰影的圓形都固定不動，第八個(gè)圓形，緊貼另外七個(gè)無滑動地滾動，當(dāng)它繞完這些固定不動的圓形一周，本身將旋轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)？

　　提示：1、實(shí)驗(yàn)：用硬幣作初步實(shí)驗(yàn)；結(jié)果硬幣一共轉(zhuǎn)了4轉(zhuǎn)．

　　2、分析：當(dāng)你把動圓無滑動地沿著 圓周長的直線上滾動時(shí)，這個(gè)動圓是轉(zhuǎn) 轉(zhuǎn)，但是，這個(gè)動圓是沿著弧線滾動，那么方才的說法就不正確了．在我們這個(gè)題目中，那動圓繞著相當(dāng)于它的圓周長的 的弧線旋轉(zhuǎn)的時(shí)候，一共走過的不是 轉(zhuǎn)；而是 轉(zhuǎn)，因此，它繞過六個(gè)這樣的弧形的時(shí)，就轉(zhuǎn)了 轉(zhuǎn)

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