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正多邊形和圓
教學設(shè)計示例1
教學目標：
�。�1）使學生理解正多邊形概念，初步掌握正多邊形與圓的關(guān)系的第一個定理；
�。�2）通過正多邊形定義教學，培養(yǎng)學生歸納能力；通過正多邊形與圓關(guān)系定理的教學培養(yǎng)學生觀察、猜想、推理、遷移能力；
（3）進一步向?qū)W生滲透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辯證法思想．
教學重點：
正多邊形的概念與正多邊形和圓的關(guān)系的第一個定理．
教學難點：
對定理的理解以及定理的證明方法．
教學活動設(shè)計：
�。ㄒ唬┯^察、分析、歸納：
觀察、分析：1．等邊三角形的邊、角各有什么性質(zhì)？
2．正方形的邊、角各有什么性質(zhì)？
歸納：等邊三角形與正方形的邊、角性質(zhì)的共同點．
教師組織學生進行，并可以提問學生問題．
�。ǘ┱噙呅蔚母拍睿�
（1）概念：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形．如果一個正多邊形有n(n≥3)條邊，就叫正n邊形．等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形．
�。�2）概念理解：
�、僬埻瑢W們舉例，自己在日常生活中見過的正多邊形．（正三角形、正方形、正六邊形，…….）
�、诰匦问钦噙呅螁幔繛槭裁�？菱形是正多邊形嗎？為什么？
矩形不是正多邊形，因為邊不一定相等．菱形不是正多邊形，因為角不一定相等．
�。ㄈ┓治�、發(fā)現(xiàn)：
問題：正多邊形與圓有什么關(guān)系呢？
發(fā)現(xiàn)：正三角形與正方形都有內(nèi)切圓和外接圓，并且為同心圓．
分析：正三角形三個頂點把圓三等分；正方形的四個頂點把圓四等分．要將圓五等分，把等分點順次連結(jié)，可得正五邊形．要將圓六等分呢？
�。ㄋ模┒噙呅魏蛨A的關(guān)系的定理
定理：把圓分成n(n≥3)等份：
(1)依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形；
(2)經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形．
我們以n=5的情況進行證明．
已知：⊙O中， = = = = ，TP、PQ、QR、RS、ST分別是經(jīng)過點A、B、C、D、E的⊙O的切線．
求證：（1）五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形；
（2）五邊形PQRST是⊙O的外切正五邊形．
證明：（略）
引導(dǎo)學生分析、歸納證明思路：
弧相等
說明：(1)要判定一個多邊形是不是正多邊形，除根據(jù)定義來判定外，還可以根據(jù)這個定理來判定，即：①依次連結(jié)圓的n(n≥3)等分點，所得的多邊形是正多迫形；②經(jīng)過圓的n(n≥3)等分點作圓的切線，相鄰切線相交成的多邊形是正多邊形．
(2)要注意定理中的“依次”、“相鄰”等條件．
(3)此定理被稱為正多邊形的判定定理，我們可以根據(jù)它判斷一多邊形為正多邊形或根據(jù)它作正多邊形．
�。ㄎ澹┏醪綉�(yīng)用
P157練習
1、(口答)矩形是正多邊形嗎?菱形是正多邊形嗎?為什么?
2．求證：正五邊形的對角線相等．
3．如圖，已知點A、B、C、D、E是⊙O的5等分點，畫出⊙O的內(nèi)接和外切正五邊形．
�。┬〗Y(jié)：
知識：（1）正多邊形的概念．（2）n等分圓周(n≥3)可得圓的內(nèi)接正n邊形和圓的外切正n邊形．
能力和方法：正多邊形的證明方法和思路，正多邊形判斷能力
�。ㄆ撸┳鳂I(yè) 教材P172習題A組2、3．
教學設(shè)計示例2
教學目標：
�。�1）理解正多邊形與圓的關(guān)系定理；
�。�2）理解正多邊形的對稱性和邊數(shù)相同的正多邊形相似的性質(zhì)；
（3）理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；
�。�4）通過正多邊形性質(zhì)的教學培養(yǎng)學生的探索、推理、歸納、遷移等能力；
教學重點：
理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角的概念和性質(zhì)定理．
教學難點：
對“正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，并且這兩個圓是同心圓”的理解．
教學活動設(shè)計：
（一）提出問題：
問題：上節(jié)課我們學習了正多邊形的定義，并且知道只要n等分(n≥3)圓周就可以得到的圓的內(nèi)接正n邊形和圓的外切正n邊形．反過來，是否每一個正多邊形都有一個外接圓和內(nèi)切圓呢？
（二）實踐與探究：
組織學生自己完成以下活動．
實踐：1、作已知三角形的外接圓，圓心是已知三角形的什么線的交點？半徑是什么？
2、作已知三角形的內(nèi)切圓，圓心是已知三角形的什么線的交點？半徑是什么？
探究1：當三角形為正三角形時，它的外接圓和內(nèi)切圓有什么關(guān)系？
探究2：（1）正方形有外接圓嗎？若有外接圓的圓心在哪？(正方形對角線的交點．)
（2）根據(jù)正方形的哪個性質(zhì)證明對角線的交點是它的外接圓圓心？
�。�3）正方形有內(nèi)切圓嗎？圓心在哪？半徑是誰？
�。ㄈ┩卣�、推理、歸納：
�。�1）拓展、推理：
過正五邊形ABCDE的頂點A、B、C、作⊙O連結(jié)OA、OB、OC、OD．
同理，點E在⊙O上．
所以正五邊形ABCDE有一個外接圓⊙O．
因為正五邊形ABCDE的各邊是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等．因此，以點O為圓心，以弦心距(OH)為半徑的圓與正五邊形的各邊都相切．可見正五邊形ABCDE還有一個以O(shè)為圓心的內(nèi)切圓．
�。�2）歸納：
正五邊形的任意三個頂點都不在同一條直線上
它的任意三個頂點確定一個圓，即確定了圓心和半徑．
其他兩個頂點到圓心的距離都等于半徑．
正五邊形的各頂點共圓．
正五邊形有外接圓．
圓心到各邊的距離相等．
正五邊形有內(nèi)切圓，它的圓心是外接圓的圓心，半徑是圓心到任意一邊的距離．
照此法證明，正六邊形、正七邊形、…正n邊形都有一個外接圓和內(nèi)切圓．
定理： 任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓．
正多邊形的外接圓(或內(nèi)切圓)的圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距．正多邊形各邊所對的外接圓的圓心角都相等．正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角．正n邊形的每個中心角都等于 ．
�。�3）鞏固練習：
1、正方形ABCD的外接圓圓心O叫做正方形ABCD的______．
2、正方形ABCD的內(nèi)切圓⊙O的半徑OE叫做正方形ABCD的______．
3、若正六邊形的邊長為1，那么正六邊形的中心角是______度，半徑是______，邊心距是______，它的每一個內(nèi)角是______．
4、正n邊形的一個外角度數(shù)與它的______角的度數(shù)相等．
�。ㄋ模┱噙呅蔚男再|(zhì)：
1、各邊都相等．
2、各角都相等．
觀察正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形是不是軸對稱圖形？如果是，它們又各應(yīng)有幾條對稱軸？
3、正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心．邊數(shù)是偶數(shù)的正多邊形還是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心．
4、邊數(shù)相同的正多邊形相似．它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．
5、任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓．
以上性質(zhì)，教師引導(dǎo)學生自主探究和歸納，可以以小組的形式研究，這樣既培養(yǎng)學生的探究問題的能力、培養(yǎng)學生的研究意識，也培養(yǎng)學生的協(xié)作學習精神．
（五）總結(jié)
知識：（1）正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；
�。�2）正多邊形與圓的關(guān)系定理、正多邊形的性質(zhì)．
能力：探索、推理、歸納等能力．
方法：證明點共圓的方法．
�。┳鳂I(yè) P159中練習1、2、3．
教學設(shè)計示例3
教學目標：
�。�1）鞏固正多邊形的有關(guān)概念、性質(zhì)和定理；
（2）通過證明和畫圖提高學生綜合運用分析問題和解決問題的能力；
�。�3）通過例題的研究，培養(yǎng)學生的探索精神和不斷更新的創(chuàng)新意識及選優(yōu)意識．
教學重點：
綜合運用正多邊形的有關(guān)概念和正多邊形與圓關(guān)系的有關(guān)定理來解決問題，要理解通過對具體圖形的證明所給出的一般的證明方法，還要注意與前面所學知識的聯(lián)想和化歸．
教學難點：綜合運用知識證題．
教學活動設(shè)計：
�。ㄒ唬┲R回顧
1．什么叫做正多邊形？
2．什么是正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角？
3．正多邊形有哪些性質(zhì)？(邊、角、對稱性、相似性、有兩圓且同心)
4．正n邊形的每個中心角都等于 ．
5．正多邊形的有關(guān)的定理．
�。ǘ├}研究：
例1、求證：各角相等的圓外切五邊形是正五邊形．
已知：如圖，在五邊形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，邊AB、BC、CD、DE、EA與⊙O分別相切于A’、B’、C’、D’、E’．
求證：五邊形ABCDE是正五邊形．
分析：要證五邊形ABCDE是正五邊形，已知已具備了五個角相等，顯然證五條邊相等即可．
教師引導(dǎo)學生分析，學生動手證明．
證法1：連結(jié)OA、OB、OC，
∵五邊形ABCDE外切于⊙O．
∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，
又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD．
∴∠BAO=∠OCB．
又∵OB=OB
∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理 BC=CD=DE=EA．
∴五邊形ABCDE是正五邊形．
證法2：作⊙O的半徑OA’、OB’、OC’，則
OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD．
∠B=∠C ∠1=∠2 = ．
同理 = = = ，
即切點A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分點．所以五邊形ABCDE是正五邊形．
反思：判定正多邊形除了用定義外，還常常用正多邊形與圓的關(guān)系定理1來判定，證明關(guān)鍵是證出各切點為圓的等分點．由同樣的方法還可以證明“各角相等的圓外切n邊形是正邊形”．
此外，用正多邊形與圓的關(guān)系定理1中“把圓n等分，依次連結(jié)各分點，所得的多邊形是圓內(nèi)接正多邊形”還可以證明“各邊相等的圓內(nèi)接n邊形是正n邊形”，證明關(guān)鍵是證出各接點是圓的等分點。
拓展1：已知：如圖，五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．
求證：五邊形ABCDE是正五邊形．（證明略）
分小組進行證明競賽，并歸納學生的證明方法．
拓展2：已知：如圖，同心圓⊙O分別為五邊形ABCDE內(nèi)切圓和外接圓，切點分別為F、G、H、M、N．
求證：五邊形ABCDE是正五邊形．（證明略）
學生獨立完成證明過程，對B、C層學生教師給予及時指導(dǎo)，最后可以應(yīng)用實物投影展示學生的證明成果，特別是對證明方法好，步驟推理嚴密的學生給予表揚．
例2、已知：正六邊形ABCDEF．
求作：正六邊形ABCDEF的外接圓和內(nèi)切圓．
作法：1過A、B、C三點作⊙O．⊙O就是所求作的正六邊形的外接圓．
2、以O(shè)為圓心，以O(shè)到AB的距離(OH)為半徑作圓，所作的圓就是正六邊形的內(nèi)切圓．
用同樣的方法，我們可以作正n邊形的外接圓與內(nèi)切圓．
練習：P161
1、求證：各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形．
2、(口答)下列命題是真命題嗎?如果不是，舉出一個反例．
(1)各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形；
(2)各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形．
3、已知：正方形ABCD．求作：正方形ABCD的外接圓與內(nèi)切圓．
�。ㄈ┬〗Y(jié)
知識：復(fù)習了正多邊形的定義、概念、性質(zhì)和判定方法．
能力與方法：重點復(fù)習了正多邊形的判定．正多邊形的外接圓與內(nèi)切圓的畫法．
�。ㄋ模┳鳂I(yè)
教材P172習題4、5；另A層學生：P174B組3、4．
探究活動
折疊問題：（1）想一想：怎樣把一個正三角形紙片折疊一個最大的正六邊形．
（提示：①對折；②再折使A、B、C分別與O點重合即可）
�。�2）想一想：能否把一個邊長為8正方形紙片折疊一個邊長為4的正六邊形．
（提示：可以．主要應(yīng)用把一個直角三等分的原理．參考圖形如下：
�、賹φ鄢尚≌叫蜛BCD；
�、趯φ坌≌叫蜛BCD的中線；
�、蹖φ凼裹cB在小正方形ABCD的中線上（即B’）；
�、軇tB、B’為正六邊形的兩個頂點，這樣可得滿足條件的正六邊形．）
探究問題：
（安徽省2002）某學習小組在探索“各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形”時，進行如下討論：
甲同學：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內(nèi)接矩形；
乙同學：我發(fā)現(xiàn)邊數(shù)是6時，它也不一定是正多邊形．如圖一，△ABC是正三角形, 形， = = ，可以證明六邊形ADBECF的各內(nèi)角相等，但它未必是正六邊形；
丙同學：我能證明，邊數(shù)是5時，它是正多邊形．我想，邊數(shù)是7時，它可能也 是正多邊形．
(1)請你說明乙同學構(gòu)造的六邊形各內(nèi)角相等．
(2)請你證明，各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接七邊形ABCDEFG(如圖二)是正七邊形(不必寫已知、求證)．
(3)根據(jù)以上探索過程，提出你的猜想(不必證明)．
（1）[說明]
（2）[證明]
（3）[猜想]
解：（1）由圖知∠AFC對 ．因為 = ，而∠DAF對的 = + = + = ．所以∠AFC=∠DAF．
同理可證，其余各角都等于∠AFC．所以，圖1中六邊形各內(nèi)角相．
（2）因為∠A對 ，∠B對 ，又因為∠A=∠B，所以 = ．所以 = ．
同理 = = = = = = ．所以 七邊形ABCDEFG是正七邊形．
猜想：當邊數(shù)是奇數(shù)時(或當邊數(shù)是3，5，7，9，……時)，各內(nèi)角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形．
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