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            下學(xué)期 5.4 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1

            時(shí)間:2022-08-17 03:35:45 高一數(shù)學(xué)教案 我要投稿
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            下學(xué)期 5.4 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1

            (第一課時(shí))

            一.教學(xué)目標(biāo)

              1.理解平面向量的坐標(biāo)的概念,會(huì)寫(xiě)出給定向量的坐標(biāo),會(huì)作出已知坐標(biāo)表示的向量;

              2.掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,能準(zhǔn)確表述向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)運(yùn)算法則,并能進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力;

              3.通過(guò)學(xué)習(xí)向量的坐標(biāo)表示,使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)形結(jié)合思想,認(rèn)識(shí)事物之間的相互聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生辯證思維能力.

            二.教學(xué)重點(diǎn)  理解平面向量的坐標(biāo)表示,平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.

              教學(xué)難點(diǎn)  對(duì)平面向量坐標(biāo)表示的理解.

            三.教學(xué)具準(zhǔn)備

              直尺、投影儀

            四.教學(xué)過(guò)程

              1.設(shè)置情境

              師:平面內(nèi)有點(diǎn) ,點(diǎn) ,能否用坐標(biāo)來(lái)表示向量 呢?這就是我們今天要學(xué)習(xí)的平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.

              (板書(shū)課題)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

              2.探索研究

              (1)師:平面向量的基本定理的內(nèi)容是什么?什么叫平面向量的基底?

              生:如果 、 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 、 ,使

              我們把不共線的向全 、 叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基底,這就是平面向全的基本定理.

              師:如果在直角坐標(biāo)系下,我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底,任作一向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y使得

              我們就把(x,y)叫做向量a的(直角)坐標(biāo),記作;

             

              這就叫做向量的坐標(biāo)表示

              顯然i=(1,0)  j=(0,1)  0=(0,0)

                如圖(1)所示,以原點(diǎn)O為起點(diǎn)與向量a相等的向量 ,則A點(diǎn)的坐標(biāo)就是向量a的坐標(biāo),反之設(shè) ,則點(diǎn)A的坐標(biāo)(x,y)也就是向量 的坐標(biāo).

            問(wèn)題: 1°已知 (x1, y1)   (x2, y2)   求 + , - 的坐標(biāo)

               2°已知 (x, y)和實(shí)數(shù)λ,   求λ 的坐標(biāo)

              解: + =(x1 +y1 )+( x2 +y2 )=(x1+ x2) + (y1+y2)

              即: + =(x1+ x2,  y1+y2)

              同理: - =(x1- x2,  y1-y2)

              結(jié)論:兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差。

            同理可得:一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)。

              用減法法則:   

              ∵ = - =( x2, y2) - (x1,  y1)

                 = (x2- x1, y2- y1)

              實(shí)數(shù)與向量積的坐標(biāo)運(yùn)算:已知 =(x, y)   實(shí)數(shù)λ

              則λ =λ(x +y )=λx +λy

              ∴λ =(λx, λy)

              結(jié)論:實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo),等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)的向量相應(yīng)的坐標(biāo)。

              師:如果兩個(gè)向量相等,那么這兩個(gè)向量的坐標(biāo)需滿足什么條件呢?是充要條件嗎?

              生:a=b

             。2)例題分析

              【例1】  如圖所示,用基底i、j分別表示向量a、b、c、d并求出它們的坐標(biāo)。

              解:

                

              師:平面向量可以用坐標(biāo)表示,向量的運(yùn)算可以用坐標(biāo)來(lái)運(yùn)算嗎?如何計(jì)算?

             。1)已知 ,求 、 。

              (2)已知 和實(shí)數(shù) ,求 的坐標(biāo)(由學(xué)生完成)。

              解:(1)

              ∴

               

             。2)

              ∴

              師:通過(guò)以上計(jì)算,你能得出向量運(yùn)算的加法法則、減法法則和實(shí)數(shù)與向量的乘積的運(yùn)算法則嗎?

              生:兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)的坐標(biāo)的和與差,實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于這個(gè)實(shí)數(shù)乘以原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)。

              【例2】  已知 ,求 , , 的坐標(biāo)。

              解:

                

              【例3】  已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。

              解:設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為

              

              由   得

              由

              ∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2)

              3.演練反饋。(投影儀)

              (1)已知三個(gè)力 的合力 ,求 的坐標(biāo)。

             。2)已知向量 ,則 等于(   )

              A.   B.

              C.  D.

             。3)已知點(diǎn)O(0,0),A(1,2),B(4,5)及 ,求

             、t為何值時(shí),點(diǎn)Px軸上?Py軸上?P在第二象限?

              ②四邊形OABP能成為平行四邊形嗎?若能,求出相應(yīng)的t值,若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由。

            參考答案:

             。1)

              

              ∴

              (2)B.

             。3)① ,若Px軸上,只需 ;若Py軸上,只需 ∴ ;若P在第二象限,則需 解得 。

             、

              若OABP為平行四邊形,需

              于是 無(wú)解。故四邊形OABP不能成為平行四邊形。

              4.總結(jié)提煉

             。1)引進(jìn)向量的坐標(biāo)后,向量的基本運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的基本運(yùn)算,可以解方程,可以解不等式,總之問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟知的領(lǐng)域之中。

             。2)要把點(diǎn)坐標(biāo) 與向量坐標(biāo)區(qū)分開(kāi)來(lái),兩者不是一個(gè)概念。

            五.板書(shū)設(shè)計(jì)

            1.平面向量的坐標(biāo)定義。

                (1)

            (2)i、j的含義

            (3) 是a的坐標(biāo)

            2.平面向量坐標(biāo)運(yùn)算

            例1

            例2

            演練反饋

            總結(jié)提煉


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