映射

教學(xué)目標(biāo)

　　1．了解映射的概念，象與原象的概念，和一一映射的概念．
　�。�1）明確映射是特殊的對應(yīng)即由集合 ，集合 和對應(yīng)法則f三者構(gòu)成的一個整體，知道映射的特殊之處在于必須是多對一和一對一的對應(yīng)；
　　（2）能準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)符號表示映射， 把握映射與一一映射的區(qū)別；
　�。�3）會求給定映射的指定元素的象與原象，了解求象與原象的方法．
　　2．在概念形成過程中，培養(yǎng)學(xué)生的觀察，比較和歸納的能力．
　　3．通過映射概念的學(xué)習(xí)，逐步提高學(xué)生對知識的探究能力．

教學(xué)建議

教材分析

　　（1）知識結(jié)構(gòu)

　　映射是一種特殊的對應(yīng)，一一映射又是一種特殊的映射，而且函數(shù)也是特殊的映射，它們之間的關(guān)系可以通過下圖表示出來，如圖：

　　由此我們可從集合的包含關(guān)系中幫助我們把握相關(guān)概念間的區(qū)別與聯(lián)系．

（2）重點，難點分析

　　本節(jié)的教學(xué)重點和難點是映射和一一映射概念的形成與認(rèn)識．

　�、儆成涞母拍钍潜容^抽象的概念，它是在初中所學(xué)對應(yīng)的基礎(chǔ)上發(fā)展而來．教學(xué)中應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)對應(yīng)集合 中的唯一這點要求的理解；

　　映射是學(xué)生在初中所學(xué)的對應(yīng)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，對應(yīng)本身就是由三部分構(gòu)成的整體，包括集  合A和集合B及對應(yīng)法則f，由于法則的不同，對應(yīng)可分為一對一，多對一，一對多和多對多．  其中只有一對一和多對一的能構(gòu)成映射，由此可以看到映射必是“對B中之唯一”，而只要是對應(yīng)就必須保證讓A中之任一與B中元素相對應(yīng)，所以滿足一對一和多對一的對應(yīng)就能體現(xiàn)出“任一對唯一”．

　�、诙�一一映射又在映射的基礎(chǔ)上增加新的要求，決定了它在學(xué)習(xí)中是比較困難的．

教法建議

??（1）在映射概念引入時，可先從學(xué)生熟悉的對應(yīng)入手， 選擇一些具體的生活例子，然后再舉一些數(shù)學(xué)例子，分為一對多、多對一、多對一、一對一四種情況，讓學(xué)生認(rèn)真觀察，比較，再引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中一對一和多對一的對應(yīng)是映射，逐步歸納概括出映射的基本特征，讓學(xué)生的認(rèn)識從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識．

　�。�2）在剛開始學(xué)習(xí)映射時，為了能讓學(xué)生看清映射的構(gòu)成，可以選擇用圖形表示映射，在集合的選擇上可選擇能用列舉法表示的有限集，法則盡量用語言描述，這樣的表示方法讓學(xué)生可以比較直觀的認(rèn)識映射，而后再選擇用抽象的數(shù)學(xué)符號表示映射，比如：

， ．

　　這種表示方法比較簡明，抽象，且能看到三者之間的關(guān)系．除此之外，映射的一般表示方法為 ，從這個符號中也能看到映射是由三部分構(gòu)成的整體，這對后面認(rèn)識函數(shù)是三件事構(gòu)成的整體是非常有幫助的．

　　（3）對于學(xué)生層次較高的學(xué)�？梢栽诮o出定義后讓學(xué)生根據(jù)自己的理解舉出映射的例子，教師也給出一些映射的例子，讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)映射的特點，并用自己的語言描述出來，最后教師加以概括，再從中引出一一映射概念；對于學(xué)生層次較低的學(xué)校，則可以由教師給出一些例子讓學(xué)生觀察，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)映射的特點，一起概括．最后再讓學(xué)生舉例，并逐步增加要求向一一映射靠攏， 引出一一映射概念．

　�。�4）關(guān)于求象和原象的問題，應(yīng)在計算的過程中總結(jié)方法，特別是求原象的方法是解方程或方程組，還可以通過方程組解的不同情況(有唯一解，無解或有無數(shù)解)加深對映射的認(rèn)識．

　　（5）在教學(xué)方法上可以采用啟發(fā)，討論的形式，讓學(xué)生在實例中去觀察，比較，啟發(fā)學(xué)生尋找共性，共同討論映射的特點，共同舉例，計算，最后進(jìn)行小結(jié)，教師要起到點撥和深化的作用．

教學(xué)設(shè)計方案

2.1　映射

教學(xué)目標(biāo)(1)了解映射的概念，象與原象及一一映射的概念．
　　　　(2)在概念形成過程中，培養(yǎng)學(xué)生的觀察，分析對比，歸納的能力．
　　　　(3)通過映射概念的學(xué)習(xí)，逐步提高學(xué)生的探究能力．

教學(xué)重點難點：:映射概念的形成與認(rèn)識．

教學(xué)用具：實物投影儀

教學(xué)方法：啟發(fā)討論式

教學(xué)過程：

一、引入

　　在初中，我們已經(jīng)初步探討了函數(shù)的定義并研究了幾類簡單的常見函數(shù)．在高中，將利用前面集合有關(guān)知識，利用映射的觀點給出函數(shù)的定義．那么映射是什么呢?這就是我們今天要詳細(xì)的概念．

二、新課

　　在前一章集合的初步知識中，我們學(xué)習(xí)了元素與集合及集合與集合之間的關(guān)系，而映射是重點研究兩個集合的元素與元素之間的對應(yīng)關(guān)系．這要先從我們熟悉的對應(yīng)說起(用投影儀打出一些對應(yīng)關(guān)系，共6個)  

　　我們今天要研究的是一類特殊的對應(yīng)，特殊在什么地方呢?
　　提問1：在這些對應(yīng)中有哪些是讓A中元素就對應(yīng)B中唯一一個元素?
　　讓學(xué)生仔細(xì)觀察后由學(xué)生回答，對有爭議的，或漏選，多選的可詳細(xì)說明理由進(jìn)行討論．最后得出(1)，(2)，(5)，(6)是符合條件的(用投影儀將這幾個集中在一起)
　　提問2：能用自己的語言描述一下這幾個對應(yīng)的共性嗎？
　　經(jīng)過師生共同推敲，將映射的定義引出．(主體內(nèi)容由學(xué)生完成，教師做必要的補充)

(板書)

一．映射

　　1．定義:一般地，設(shè) 兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則 ，對于集合 中的任何一個元素，在集合 中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)(包括集合 及 到 的對應(yīng)法則)叫做集合 到集合 的映射，記作 ．
　　定義給出之后，教師應(yīng)及時強(qiáng)調(diào)映射是特殊的對應(yīng)，故是三部分構(gòu)成的一個整體，從映射的符號表示中也可看出這一點，它的特殊之處在于元素與元素之間的對應(yīng)必須作到“任一對唯一”，同時指出具有對應(yīng)關(guān)系的元素即 中元素 對應(yīng) 中元素 ，則 叫 的象， 叫 的原象．

(板書)

　　2．象與原象
　　可以用前面的例子具體說明誰是誰的象，誰是誰的原象．
　　提問3：下面請同學(xué)根據(jù)自己對映射的理解舉幾個映射的例子，看對映射是否真正認(rèn)識了．
　　(開始時只要是映射即可，之后可逐步提高要求，如集合是無限集，或生活中的例子等)由學(xué)生自己評判．之后教師再給出幾個(主要是補充學(xué)生舉例類型的不足)

　　(1) ， ， ， ．

　　(2) ．

　　(3) 除以3的余數(shù)．

　　(4) {高一1班同學(xué)}， {入學(xué)是數(shù)學(xué)考試成績}， 對自己的考試成績．

　　在學(xué)生作出判斷之后，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)映射的性質(zhì)(教師適當(dāng)提出研究方向由學(xué)生說，再由老師概括)

(板書)3．對概念的認(rèn)識

　　(1) 與 是不同的，即 與 上有序的．

　　(2)象的集合是集合B的子集．

　　(3)集合A，B可以是數(shù)集，也可以是點集或其它集合．

　　在剛才研究的基礎(chǔ)上，教師再提出(2)和(4)有什么共性，能否把它描述出來，如果學(xué)生不能找出共性，教師可再給出幾個例子，(用投影儀打出)

　　如：

　　(1)

　　(2) {數(shù)軸上的點}， 實數(shù)與數(shù)軸上相應(yīng)的點對應(yīng)．
　　(3) {中國，日本，韓國}， {北京，東京，漢城}， 相應(yīng)國家的首都．
　　引導(dǎo)學(xué)生在元素之間的對應(yīng)關(guān)系和元素個數(shù)上找共性，由學(xué)生提出兩點共性集合A中不同的元素對集合B中不同的元素;②B中所有元素都有原象．
　　那么滿足以上條件的映射又是一種特殊的映射，稱之為一一映射．

(板書)4．一一映射

　�。�1）定義:設(shè)A，B是兩個集合， 是集合A到集合B的映射，如果在這個映射下 對于集合A中的不同元素，在集合B中又不同的象，而且B中每一個元素都有原象，那么這個映射叫做A到B上的一一映射．
　　給出定義后，可再返回到剛才的例子，讓學(xué)生比較它與映射的區(qū)別，從而進(jìn)一步明確“一一”的含義．然后再安排一個例題．
　　例1 下列各表表示集合A(元素a)到集合B(元素b)的一個映射，判斷這些映射是不是A到B上的一一映射．

　　其中只有第三個表可以表示一一映射，由此例點明一一映射的特點

(板書)(2)特點:兩個集合間元素是一對一的關(guān)系，不同的對的也一定是不同的(元素個數(shù)相同);集合B與象集C是相等的集合．
　　對于映射我們現(xiàn)在了解了它的定義及特殊的映射一一映射，除此之外對于映射還要求能求出指定元素的象與原象．

(板書)5．求象與原象．

　　例2 (1)從R到 的映射 ，則R中的-1在 中的象是_____； 中的4在R中的原象是_____．
　　(2)在給定的映射 下，則點 在 下的象是_____，       點 在 下的原象是______．
　　(3) 是集合A到集合B的映射， ，則A 中     元素 的象是_____，B中象0的原象是______， B中象-6的原象是______．
　　由學(xué)生先回答第(1)小題，之后讓學(xué)生自己總結(jié)一下，應(yīng)用什么方法求象和原象，學(xué)生找到方法后，再在方法的指導(dǎo)下求解另外兩題，若出現(xiàn)問題，教師予以點評，最后小結(jié)求象用代入法，求原象用解方程或解方程組．
　　注意：所解的方程解的情況可能有多種如有唯一解，也可能無解，可能有無數(shù)解，這與映射的定義也是相吻合的．但如果是一一映射，則方程一定有唯一解．

三、小結(jié)

　　1．映射是特殊的對應(yīng)

　　2．一一映射是特殊的映射．
　　3．掌握求象與原象的方法．

四、作業(yè):略

五、板書設(shè)計

 

 

探究活動

　�。�1） {整數(shù)}， {偶數(shù)}， ，試問 與 中的元素個數(shù)哪個多?為什么?如果我們建立一個由 到 的映射對應(yīng)法則 乘以2，那么這個映射是一一映射嗎?

　　答案：兩個集合中的元素一樣多，它們之間可以形成一一映射．

　　（2）設(shè) ， ，問最多可以建立多少種集合 到集合 的不同映射?若將集合 改為 呢?結(jié)論是什么？如果將集合 改為 ，結(jié)論怎樣?若集合 改為 ， 改為 ，結(jié)論怎樣?

　　從以上問題中，你能歸納出什么結(jié)論嗎?依此結(jié)論，若集合A中含有 個元素，集合B中含有 個元素，那么最多可以建立多少種集合 到集合 的不同映射?            

　　答案：若集合A含有m個元素，集合B含有n個元素，則不同的映射 有 個．