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            不等式的證明三

            時(shí)間:2022-08-17 03:46:57 高二數(shù)學(xué)教案 我要投稿
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            不等式的證明(三)

            第四課時(shí)

            教學(xué)目標(biāo)

            不等式的證明(三)

              1.掌握分析法證明不等式;

              2.理解分析法實(shí)質(zhì)——執(zhí)果索因;

              3.提高證明不等式證法靈活性.

            教學(xué)重點(diǎn)  分析法

            教學(xué)難點(diǎn)  分析法實(shí)質(zhì)的理解

            教學(xué)方法  啟發(fā)引導(dǎo)式

            教學(xué)活動(dòng)

             。ㄒ唬⿲(dǎo)入新課

             。ń處熁顒(dòng))教師提出問題,待學(xué)生回答和思考后點(diǎn)評.

             。▽W(xué)生活動(dòng))回答和思考教師提出的問題.

             。蹎栴}1]我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪幾種不等式的證明方法?什么是比較法?什么是綜合法?

              [問題 2]能否用比較法或綜合法證明不等式:

              [點(diǎn)評]在證明不等式時(shí),若用比較法或綜合法難以下手時(shí),可采用另一種證明方法:分析法.(板書課題)

              設(shè)計(jì)意圖:復(fù)習(xí)已學(xué)證明不等式的方法.指出用比較法和綜合法證明不等式的不足之處,

            激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新的證明不等式知識的積極性,導(dǎo)入本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容:用分析法證明不等式.

              (二)新課講授

              【嘗試探索、建立新知】

             。ń處熁顒(dòng))教師講解綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系,然后提出問題供學(xué)生研究,并點(diǎn)評.幫助學(xué)生建立分析法證明不等式的知識體系.投影分析法證明不等式的概念.

             。▽W(xué)生活動(dòng))與教師一道分析綜合法的邏輯關(guān)系,在教師啟發(fā)、引導(dǎo)下嘗試探索,構(gòu)建新知.

              [講解]綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系:以已知條件中的不等式或基本不等式作為結(jié)論,逐步尋找它成立的必要條件,直到必要條件就是要證明的不等式.

             。蹎栴}1]我們能不能用同樣的思考問題的方式,把要證明的不等式作為結(jié)論,逐步去尋找它成立的充分條件呢?

             。蹎栴}2]當(dāng)我們尋找的充分條件已經(jīng)是成立的不等式時(shí),說明了什么呢?

              [問題3]說明要證明的不等式成立的理由是什么呢?

             。埸c(diǎn)評]從要證明的結(jié)論入手,逆求使它成立的充分條件,直到充分條件顯然成立為止,從而得出要證明的結(jié)論成立.就是分析法的邏輯關(guān)系.

              [投影]分析法證明不等式的概念.(見課本)

              設(shè)計(jì)意圖:對比綜合法的邏輯關(guān)系,教師層層設(shè)置問題,激發(fā)學(xué)生積極思考、研究.建立新的知識;分析法證明不等式.培養(yǎng)學(xué)習(xí)創(chuàng)新意識.

              【例題示范、學(xué)會(huì)應(yīng)用】

             。ń處熁顒(dòng))教師板書或投影例題,引導(dǎo)學(xué)生研究問題,構(gòu)思證題方法,學(xué)會(huì)用分析法證明不等式,并點(diǎn)評用分析法證明不等式必須注意的問題.

              (學(xué)生活動(dòng))學(xué)生在教師引導(dǎo)下,研究問題,與教師一道完成問題的論證.

              例1 求證

              [分析]此題用比較法和綜合法都很難入手,應(yīng)考慮用分析法.

              證明:(見課本)

              [點(diǎn)評]證明某些含有根式的不等式時(shí),用綜合法比較困難.此例中,我們很難想到從“ ”入手,因此,在不等式的證明中,分析法占有重要的位置,我們常用分析法探索證明途徑,然后用綜合法的形式寫出證明過程,這是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思維方法,事實(shí)上,有些綜合法的表述正是建立在分析法思索的基礎(chǔ)上,分析法的優(yōu)越性正體現(xiàn)在此.

              例2 已知: ,求證: (用分析法)請思考下列證法有沒有錯(cuò)誤?若有錯(cuò)誤,錯(cuò)在何處?

              [投影]證法一:因?yàn)?sub> ,所以 、去分母,化為 ,就是 .由已知 成立,所以求證的不等式成立.

              證法二:欲證 ,因?yàn)?sub>

                        只需證 ,

                        即證 ,

                        即證

              因?yàn)?sub> 成立,所以 成立.

              (證法二正確,證法一錯(cuò)誤.錯(cuò)誤的原因是:雖然是從結(jié)論出發(fā),但不是逐步逆戰(zhàn)結(jié)論成立的充分條件,事實(shí)上找到明顯成立的不等式是結(jié)論的必要條件,所以不符合分析法的邏輯原理,犯了邏輯上的錯(cuò)誤.)

              [點(diǎn)評]①用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是:

             。ńY(jié)論)(步步尋找不等式成立的充分條件)(結(jié)論)

              分析法是“執(zhí)果索因”,它與綜合法的證明過程(由因?qū)Ч┣∏∠喾矗谟梅治龇ㄗC明時(shí)要注意書寫格式.分析法論證“若A則B”這個(gè)命題的書寫格式是:

              要證命題B為真,

              只需證明 為真,從而有……

              這只需證明 為真,從而又有……

              ……

              這只需證明A為真.

              而已知A為真,故命題B必為真.

              要理解上述格式中蘊(yùn)含的邏輯關(guān)系.

              [投影] 例3  證明:通過水管放水,當(dāng)流速相同時(shí),如果水管截面(指橫截面,下同)的周長相等,那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大.

             。鄯治觯菰O(shè)未知數(shù),列方程,因?yàn)楫?dāng)水的流速相同時(shí),水管的流量取決于水管截面面積的大小,設(shè)截面的周長為 ,則周長為 的圓的半徑為 ,截面積為 ;周長為 的正方形邊長為 ,截面積為 ,所以本題只需證明:

              證明:(見課本)

              設(shè)計(jì)意圖:理解分析法與綜合法的內(nèi)在聯(lián)系,說明分析法在證明不等式中的重要地位.掌

            握分析法證明不等式,特別重視分析法證題格式及格式中蘊(yùn)含的邏輯關(guān)系.靈活掌握分析法的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力.

              【課堂練習(xí)】

             。ń處熁顒(dòng))打出字幕(練習(xí)),請甲、乙兩位同學(xué)板演,巡視學(xué)生的解題情況,對正確的證法給予肯定,對偏差及時(shí)糾正.點(diǎn)評練習(xí)中存在的問題.

             。▽W(xué)生活動(dòng))在筆記本上完成練習(xí),甲、乙兩位同學(xué)板演.

              【字幕】練習(xí)1.求證

              2.求證:

              設(shè)計(jì)意圖:掌握用分析法證明不等式,反饋課堂效果,調(diào)節(jié)課堂教學(xué).

              【分析歸納、小結(jié)解法】

             。ń處熁顒(dòng))分析歸納例題和練習(xí)的解題過程,小給用分析法證明不等式的解題方法.

              (學(xué)生活動(dòng))與教師一道分析歸納,小結(jié)解題方法,并記錄筆記.

              1.分析法是證明不等式的一種常用基本方法.當(dāng)證題不知從何入手時(shí),有時(shí)可以運(yùn)用分析法而獲得解決,特別是對于條件簡單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更是行之有效的.

              2.用分析法證明不等式時(shí),要正確運(yùn)用不等式的性質(zhì)逆找充分條件,注意分析法的證題格式.

              設(shè)計(jì)意圖:培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力,掌握分析法證明不等式的方法.

              (三)小結(jié)

             。ń處熁顒(dòng))教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識.

             。▽W(xué)生活動(dòng))與教師一道小結(jié),并記錄筆記.

              本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了用分析法證明不等式.應(yīng)用分析法證明不等式時(shí),掌握一些常用技巧:

            通分、約分、多項(xiàng)式乘法、因式分解、去分母,兩邊乘方、開方等.在使用這些技巧變形時(shí),要注意遵循不等式的性質(zhì).另外還要適當(dāng)掌握指數(shù)、對數(shù)的性質(zhì)、三角公式在逆推中的靈活運(yùn)用.理解分析法和綜合法是對立統(tǒng)一的兩個(gè)方面.有時(shí)可以用分析法思索,而用綜合法書寫證明,或者分析法、綜合法相結(jié)合,共同完成證明過程.

              設(shè)計(jì)意圖:培養(yǎng)學(xué)生對所學(xué)知識進(jìn)行概括歸納的能力,鞏固所學(xué)知識.

              (四)布置作業(yè)

              1.課本作業(yè):P17  4、5.

              2.思考題:若 ,求證

              3.研究性題:已知函數(shù) ,若 、 ,且 證明

               設(shè)計(jì)意圖:思考題供學(xué)有余力同學(xué)練習(xí),研究性題供學(xué)生研究分析法證明有關(guān)問題.

                (五)課后點(diǎn)評

              教學(xué)過程(adivasplayground.com)是不斷發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的思維過程.本節(jié)課在形成分析法證明不等式認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,教師提出問題或引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題,然后開拓學(xué)生思路,啟迪學(xué)生智慧,求得問題解決.一個(gè)問題解決后,及時(shí)地提出新問題,提高學(xué)生的思維層次,逐步由特殊到一般,由具體到抽象,由表面到本質(zhì),把學(xué)生的思維步步引向深入,直到完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù).總之,本節(jié)課的教學(xué)安排是讓學(xué)生的思維由問題開始,到問題深化,始終處于積極主動(dòng)狀態(tài).

              本節(jié)課練中有講,講中有練,講練結(jié)合.在講與練的互相作用下,使學(xué)生的思維逐步深化.教師提出的問題和例題,先由學(xué)生自己研究,然后教師分析與概括.在教師講解中,又不斷讓學(xué)生練習(xí),力求在練習(xí)中加深理解,盡量改變課堂上教師包括辦代替的做法.

              在安排本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容時(shí),按認(rèn)識規(guī)律,由淺入深,由易及難,逐漸展開教學(xué)內(nèi)容,讓學(xué)生形成有序的知識結(jié)構(gòu).

              作業(yè)答案:

              思考題:

            .因?yàn)?sub> ,故 ,所以 成立.

              研究性題:令 ,則:

            ,

            故原不等式等價(jià)于

              由已知有 。所以上式等價(jià)于 ,即 。所以又等價(jià)于 .因?yàn)?sub> ,上式成立,所以原不等式成立。                                           

             

            不等式的實(shí)際解釋

              題目:不等式: 是正數(shù),且 ,則 。可以給出一個(gè)具有實(shí)際背景的解釋:在溶液里加溶質(zhì)則濃度增加,即 個(gè)單位溶液中含有 個(gè)單位的溶質(zhì),其濃度小于加入 個(gè)單位溶質(zhì)后的溶液濃度,請你仿照此例,給出兩個(gè)不等式的解釋。

              分析與解

              1.先看問題中的不等式,建筑學(xué)規(guī)定,民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積,但按采光標(biāo)準(zhǔn),窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%,并且這個(gè)比值越大,住宅的采光條件越好。我們知道如果同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積,那么住宅的條件變好。

              設(shè)地板面積為 平方米,窗戶面積為 平方米,若窗戶面積和地板面積同時(shí)增加相等的 平方米,住宅的采光條件變好了,即有

              2. 是正數(shù),不等式 可以推出 ,我們可以用混合溶液來解釋:兩個(gè)不同濃度的溶液混合后,其濃度介于混合前兩溶液濃度之間。

              3.電阻串并聯(lián)。電阻值為 、 的電阻,串聯(lián)電阻為 ,并聯(lián)電阻為 ,串聯(lián)電阻變大,并聯(lián)電阻變小,因此有不等式 ,即

              說明 許多數(shù)學(xué)結(jié)論是由實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題后,通過數(shù)學(xué)的運(yùn)算演變得到的。反過來,把抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際解釋也是一種數(shù)學(xué)運(yùn)用,值得大家關(guān)注。


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