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高等數(shù)學與小學數(shù)學的相天性
一般人認為小學數(shù)學與高等數(shù)學相差甚遠，事實上它們之間不僅在內容方面，而且在思維形式方面都存在 著密切的聯(lián)系。如果站在高等數(shù)學的高度來理解小學數(shù)學，會使人感到小學數(shù)學的博大和精深；如果能把小學 數(shù)學的內容放在高等數(shù)學這一背景中理解，從某種意義上講小學數(shù)學是高等數(shù)學的重要組成部分。如果小學數(shù) 學教師都能站在高等數(shù)學的高度來進行小學數(shù)學教學，那將會對小學生學習和理解數(shù)學概念起到非常積極的意 義。本文將從內容和思維形式兩個方面來揭示小學數(shù)學和高等數(shù)學之間的聯(lián)系。一、內容的互補性
高等數(shù)學中的一些概念是小學數(shù)學中一些量的抽象，而小學數(shù)學的內容則是高等數(shù)學中抽象概念的實例。 如果站在抽象后的高度對小學數(shù)學的內容進行解釋，那么小學數(shù)學的內容將是有序的、完整的。例如：加、減 、乘、除是小學數(shù)學主要的教學內容之一，在高等數(shù)學中則是映射（代數(shù)運算）的幾個特例而已。如果沒有小 學數(shù)學這些實例，那么就不可能理解、抽象出一般的代數(shù)運算的概念；如果在掌握了一般的代數(shù)運算的概念的 基礎上講解加、減、乘、除，就會把這些概念講活講完整。一般來講，高等數(shù)學和小學數(shù)學在內容上是從以下 四個方面進行互補的。
１．個別和一般
小學數(shù)學中有平均數(shù)的計算，平均數(shù)在高等數(shù)學中就是數(shù)學期望值的特例。如果站在數(shù)學期望的高度來講 解平均數(shù)，教師就會著重強調平均數(shù)和各個數(shù)之間差異，學生就會知道全班數(shù)學平均分數(shù)和每個學生的分數(shù)， 雖然都是分數(shù)，但是它們的意義是完全不同的。反之，如果學生只會計算平均分數(shù)，而沒有把平均分數(shù)和每個 學生的分數(shù)加以區(qū)別，那么學生只是多做了一些四則運算的習題。這樣不僅不能活躍學生的思維，而且也不利 于提高學生的學習興趣。再如小學數(shù)學中求自然數(shù)的正約數(shù)的個數(shù)問題，則是高等數(shù)學中代數(shù)基本定理的應用 ，并且求解任一正整數(shù)約數(shù)個數(shù)的計算公式，在高等數(shù)學中也有論證。
２．有限和無限
在小學數(shù)學中，一般是在有限的范圍內討論問題，有些問題則需要利用高等數(shù)學的觀點進行解釋。如小學 數(shù)學中數(shù)的認識，內容雖然簡單，但是其中數(shù)“數(shù)”及用“對等”的方法比較兩個集合之間元素個數(shù)關系問題 必須讓學生理解。這是因為數(shù)“數(shù)”的方法是高等數(shù)學中研究可列集、不可列集的基本方法；而“對等”的方 法則是比較兩個集合（有限集、無限集）之間元素個數(shù)問題的基本方法。又如，小學數(shù)學中對于“自然數(shù)是無 限的”這一結論，只有用極限的觀點來進行解釋，學生才能正確地理解這一結論。相反，如果教師沒有扎實的 高等數(shù)學根底，而是采用一些不正確的方法進行解釋，不僅不能幫助學生準確地理解“自然數(shù)是無限的”這一 結論，而且會影響學生今后對極限概念的理解。再如，在小學數(shù)學中無限循環(huán)小數(shù)和分數(shù)之間的互化問題，這 一問題是高等數(shù)學中級數(shù)概念的應用，教師在教學中通過“０．９”、“０．９９…９”和“１”之間關系的 解釋，就會讓學生再一次體會極限的概念。
３．靜止和運動
小學數(shù)學中的很多概念如果只強調結果，則是靜止的。如２＋３這一表達式，只討論其和為多少是靜止的 。如果分析這個表達形式，則是運動的。這是因為：若２＝３－１，３＝１＋２，……那么這個表達式變?yōu)椋?３－１＋１＋２，……；若２、３分別表示２號房間和３號房間里人數(shù)之和，那么這個表達式的意義又不同了 。通過這一次次的變化，學生對于數(shù)學概念的理解更趨完整，這一次次的變化正是代數(shù)思想的雛型。而代數(shù)思 想是研究數(shù)學的最根本的思想之一。
４．推算和預測
小學數(shù)學中有一類問題是已知現(xiàn)在的值，求原來的值。例如：現(xiàn)對甲、乙、丙三個車間的人員進行三次調 整。第一次丙車間不動，甲、乙兩個車間中的一個車間調出８人給另一車間；第二次乙車間不動，甲、丙兩車 間中的一個車間調出８人給另一車間；第三次甲車間不動，乙、丙兩車間中的一個車間調出７人給另一車間。 三次調整后甲車間有７人，乙車間有１２人，丙車間有４人。問各車間原來有多少人。
此題若按調整先后順序來推算，將很繁瑣，而用列表進行推算則十分簡單。
人 數(shù) 甲車間 乙車間 丙車間
第三次調整后 ７ １２ ４
第二次調整后 ７ ５ １１
第一次調整后 １５ ５ ３
原來 ７ １３ ３
求解這一類問題的方法是用列表（或作圖）進行的，一般稱這種方法為倒退法。而高等數(shù)學中更多的是已 知過去和現(xiàn)在的值，求未來，這一類問題稱為預測，也是通過列表（或作圖）利用統(tǒng)計的方法進行求解的。
二、思維形式的相通性
常用的思維方法有分析和綜合、比較和分類、歸納和演繹、系統(tǒng)等方法。研究和學習高等數(shù)學必須以科學 的思維方法作指導，這已達成共識，而很多人則把小學數(shù)學看成是以培養(yǎng)技巧為主。從小學數(shù)學的內容來看， 如果不強調思維的培養(yǎng)，只是一味地訓練運算技巧，那么小學數(shù)學的教學將會變得非常枯燥乏味。如果在小學 數(shù)學中強化科學思維的培養(yǎng)，那么將會產生事半功倍的效果，同時也會提高學生的學習興趣。下面分別敘述四 種常用的思維方法在小學數(shù)學和高等數(shù)學中的應用。
１．分析和綜合
分析，是將被研究對象的整體分為各個部分、方面、因素和層次，并分別加以考察，從而認識事物本質的 思維方法。綜合，是將已有的關于研究對象的各個部分、方面、因素和層次的認識聯(lián)結起來，形成對研究對象 整體性的新認識的思維方法。
分析和綜合是數(shù)學中常用的思維方法，“曹沖稱象”這則故事正是分析和綜合方法應用的實例。七歲的小 曹沖以“稱石頭代稱象”，運用的就是一種把整體分成若干較小而簡單的問題，逐個地加以解決，從而使原問 題得以解決的方法。小學數(shù)學中運用分析和綜合的方法求解的實例也很多。
例如：某一項建筑工程，由甲、乙兩隊承包，１２／５天可以完成，需支付１８００元；由乙、丙兩隊承 包，１５／４天可以完成，需支付１５００元；由甲、丙兩隊承包，２０／７天可以完成，需支付１６００元 。在保證“一個星期內完成這項工程”的前提下，選擇哪個隊單獨承包費用最少？
解答這個問題必須在“天數(shù)”和“錢數(shù)”上想辦法。由于同時兼顧二者難以下手，故采取把整體分成個體 分別求解。
從天數(shù)考慮，甲、乙、丙三隊每天共做：
（５／１２＋４／１５＋７／２０）÷２＝３１／６０
甲隊每天做：３１／６０－４／１５＝１／４
乙隊每天做：３１／６０－７／２０＝１／６
丙隊每天做：３１／６０－５／１２＝１／１０
即：單獨承包這項工程，甲、乙、丙隊分別需要４天、６天、１０天。
從錢數(shù)考慮，甲、乙、丙三隊合做一天共需支付工資：
（７５０＋４００＋５６０）÷２＝８５５（元）
甲隊每天所需：８５５－４００＝４５５（元）
乙隊每天所需：８５５－５６０＝２９５（元）
丙隊每天所需：８５５－７５０＝１０５（元）
綜合列表如下：
單獨承包需要天數(shù) 單獨承包每天工資 完成工程工資
甲 ４ ４５５元 １８２０元
乙 ６ ２９５元 １７７０元
丙 １０ １０５元 １０５０元
根據(jù)題意可知，在一個星期內完成這項工程，選擇乙隊最理想。
２．比較和分類
比較，是從具有同一性的事物間尋找其差異性，或者從具有差異性的事物間尋找其同一性的思維方法。分 類，是通過比較建立集合的思維方法。
在高等數(shù)學中可以利用同態(tài)、同構的方法把整數(shù)與多項式、矩陣與線性變換、多面體和平面圖等建立聯(lián)系 。這就是比較、分類的方法。而小學數(shù)學中在學生掌握了自然數(shù)的四則運算法則的基礎上，也是通過比較的方 法使學生掌握小數(shù)的四則運算的。
３．歸納和演繹
歸納，是從已知個別的或特殊的知識出發(fā)，概括出一般性或普遍性結論的思維方法。演繹，是從已知一般 性的或普遍性的知識出發(fā)，推斷出個別或特殊的結論的思維方法。
這一方法在小學數(shù)學和高等數(shù)學中的應用是最為廣泛的，這里就不一一例舉了。
４．系統(tǒng)的方法
系統(tǒng)的方法，就是把研究對象作為整體，從整體的部分與部分、整體與環(huán)境的相互聯(lián)系、相互作用中綜合 地考察對象的思維方法，即整體思考的思維方法。
高等數(shù)學中的集合、向量空間、群等都是系統(tǒng)方法的應用。在小學數(shù)學中，如果利用這一思想方法不僅可 以發(fā)展學生的思維，而且在解題時，可以化繁為簡，由此及彼。
例如：獵人甲帶著他的獵狗到１２０千米外的獵人乙家去做客，當甲出發(fā)時，乙也正好走出家門迎接甲。 甲每小時走１０千米，乙每小時走２０千米，獵狗每小時跑３０千米。當獵狗先與乙相遇后，又返回來迎接甲 ，與甲相遇后，再轉頭去迎接乙。這樣，獵狗在甲、乙之間往返奔跑。試問：當甲乙相遇時，獵狗共跑了多少 路程？
本題可以從問題的整體出發(fā)考慮，因為獵狗從出發(fā)起到甲、乙相遇止，它就以每小時３０千米的速度整整 跑了１２０÷（１０＋２０）＝４（小時），所以一共跑了３０×４＝１２０（千米）。
綜合所述，高等數(shù)學和小學數(shù)學之間確實存在著密切的聯(lián)系。如果在小學數(shù)學的教學過程中能科學地認識 高等數(shù)學與小學數(shù)學在內容上的互補性，能有意識地運用高等數(shù)學與小學數(shù)學在思維形式上的相通性，準確地 把握每個知識點的內涵和外延，融會貫通，并且積極發(fā)展學生的思維，那么將會對小學數(shù)學教學水平的提高起 到一定的推動作用。
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