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《圓錐曲線》定義的“條件”教學(xué)
《圓錐曲線》定義的“條件”教學(xué)新疆石河子高級(jí)中學(xué) 尤乃奎
【摘 要】數(shù)學(xué)定義、定理、公式或問題中都或多或少涉及到條件的限制，做好數(shù)學(xué)知識(shí)的“條件”教學(xué)，對(duì)于學(xué)生透徹地理解數(shù)學(xué)理論、全面地解決數(shù)學(xué)問題大有幫助。
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)；定義；定理；公式 問題；條件；教學(xué)
2013年4月，在高中數(shù)學(xué)選修2-1第二章《圓錐曲線與方程》（人教版）的教學(xué)中，當(dāng)我講橢圓、雙曲線、拋物線的定義時(shí)，我都會(huì)遇到同樣的一個(gè)問題，而且是學(xué)生每每質(zhì)詢的一個(gè)問題，那就是：“老師，定義中括號(hào)里的條件該怎么解釋？”
數(shù)學(xué)定義、定理、公式或問題中都或多或少涉及到條件的限制，做好數(shù)學(xué)知識(shí)的“條件”教學(xué)，對(duì)于學(xué)生透徹地理解數(shù)學(xué)理論、全面地解決數(shù)學(xué)問題都非常有幫助，現(xiàn)在已經(jīng)完成了高中數(shù)學(xué)選修2-1第二章《圓錐曲線與方程》的教學(xué)，我覺得有必要把我在《圓錐曲線》定義教學(xué)中，關(guān)于定義中條件的教學(xué)片段梳理一下。
《圓錐曲線》“條件”教學(xué)片段一：橢圓定義中的條件限制
講到2.2.1節(jié)《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》時(shí)，橢圓的定義（課本第38頁(yè)）是：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。
學(xué)生問：老師，為什么定義中括號(hào)里要加一個(gè)條件“大于|F1F2|”）呢？
教師答：因?yàn)槿绻サ暨@個(gè)條件，則定義所表示的圖形將不一定是橢圓。
學(xué)生問：為什么？
教師答：這個(gè)問題可以從三個(gè)角度理解：
�、偃绻麠l件是“大于|F1F2|”，則定義敘述的內(nèi)容表示橢圓，這毫無疑問，正如我們用小繩子按住兩頭所演示的一樣。
�、谌绻麠l件是“等于|F1F2|”，則定義敘述的內(nèi)容表示線段F1F2。（我在黑板上劃線段F1F2，并取其上一點(diǎn)P,并演示|PF1|+|PF2|=|F1F2|,學(xué)生點(diǎn)頭表示理解）。
③如果條件是“小于|F1F2|”，則定義敘述的內(nèi)容不表示任何圖形，即動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在。（我在黑板上演示，顯然|PF1|+|PF2|﹤|F1F2|不能產(chǎn)生任何圖形）。
進(jìn)一步，我用三個(gè)小問題進(jìn)行鞏固：
問題：試判斷以下情況動(dòng)點(diǎn)的軌跡：
�。�1）到兩定點(diǎn)F1（-7,0），F(xiàn)2（7,0）的距離之和大于14的點(diǎn)的軌跡是什么？
�。�2）到兩定點(diǎn)F1（-7,0），F(xiàn)2（7,0）的距離之和等于14的點(diǎn)的軌跡是什么？
�。�3）到兩定點(diǎn)F1（-7,0），F(xiàn)2（7,0）的距離之和小于14的點(diǎn)的軌跡是什么？
學(xué)生很快就可以得出結(jié)論。
《圓錐曲線》“條件”教學(xué)片段二：雙曲線定義中的條件限制
很有戲劇性，講到2.3.1節(jié)《雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》時(shí)，其境遇竟然和講橢圓的定義時(shí)，驚人的相似。
雙曲線的定義（課本第52頁(yè)）是：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。
學(xué)生問：老師，為什么定義中括號(hào)里要加一個(gè)條件“小于|F1F2|”呢？
教師答：因?yàn)槿绻サ暨@個(gè)條件，則定義所表示的圖形將不一定是雙曲線。
學(xué)生問：為什么？
教師答：這個(gè)問題可以從三個(gè)角度理解：
①如果條件是“小于|F1F2|”，則定義敘述的內(nèi)容表示雙曲線，這毫無疑問，正如我們用拉鏈按住兩頭所演示的一樣。
②如果條件是“等于|F1F2|”，則定義敘述的內(nèi)容表示以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線（包含端點(diǎn)）。（我在黑板上劃出直線F1F2，并在點(diǎn)F1、F2兩側(cè)各取兩點(diǎn)P、Q,并演示|PF1|-|PF2|=|F1F2|,指出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是射線F1P、F2Q，學(xué)生點(diǎn)頭表示贊同）。
③如果條件是“大于|F1F2|”，則定義敘述的內(nèi)容不表示任何圖形，即動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在。（我在黑板上演示，顯然|PF1|-|PF2|﹥|F1F2|不能產(chǎn)生任何圖形）。
同樣，我給出三個(gè)小問題加以辨別：
問題：試判斷以下情況動(dòng)點(diǎn)的軌跡：
（1）動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1（-7,0），F(xiàn)2（7,0）的距離之差的絕對(duì)值小于14的點(diǎn)的軌跡是什么？
�。�2）動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1（-7,0），F(xiàn)2（7,0）的距離之差的絕對(duì)值等于14的點(diǎn)的軌跡是什么？
（3）動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1（-7,0），F(xiàn)2（7,0）的距離之差的絕對(duì)值大于14的點(diǎn)的軌跡是什么？
學(xué)生也可以很快得出結(jié)論。
然后，我又給出兩個(gè)問題：
條件改為“|PF1|-|PF2|﹤14”，動(dòng)點(diǎn)的軌跡又會(huì)怎樣呢？
若條件改為“|PF2|-|PF1||﹤14”，動(dòng)點(diǎn)的軌跡又會(huì)怎樣呢？
學(xué)生結(jié)合雙曲線的圖形，很容易判斷是：雙曲線的左支和右支。
《圓錐曲線》“條件”教學(xué)片段三：拋物線定義中的條件限制
講到2.4.1節(jié)《拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》一課時(shí)，同樣遇到了“條件”問題。
拋物線的定義（課本第65頁(yè)）是：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線（不經(jīng)過點(diǎn)F）距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線。
在用直尺、三角板、細(xì)繩等演示了拋物線形成過程之后，學(xué)生又不禁要對(duì)“條件”發(fā)問了。
學(xué)生問：老師，為什么定義中括號(hào)里要加一個(gè)條件“（不經(jīng)過點(diǎn)F）”呢？
教師答：如果去掉“（不經(jīng)過點(diǎn)F）”這個(gè)條件，則定義所表示的圖形將不一定是拋物線。
學(xué)生問：為什么？
教師答：這個(gè)問題可以從兩個(gè)角度理解：
�、偃绻麠l件是“（不經(jīng)過點(diǎn)F）”，則定義敘述的內(nèi)容表示拋物線，這正如我們直尺、三角板、細(xì)繩等所演示的一樣。
②如果沒有“（不經(jīng)過點(diǎn)F）”條件限制，則當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)的軌跡是過定點(diǎn)F，且垂直于直線的一條直線，定義敘述的內(nèi)容表示的圖形是一條直線而非拋物線。（然后我在黑板上畫圖演示，學(xué)生恍然大悟，看來學(xué)習(xí)知識(shí)必須要細(xì)致！）
然后，我又出了兩道題加以鞏固。
�。�1）平面內(nèi)到定點(diǎn)F的距離等于到定直線的距離的點(diǎn)的軌跡是（ ）
A.拋物線 B.直線
C.拋物線或直線 D.不存在
�。�2）求過點(diǎn)F（1,0）且與直線：x+y-1=0的距離相等的點(diǎn)的軌跡。
很顯然（1）選C,（2）答案是：x-y-1=0（即：過定點(diǎn)F，且垂直于直線的一條直線）。
通過對(duì)《圓錐曲線》中橢圓、雙曲線、拋物線的定義教學(xué)，使我體會(huì)到“條件”教學(xué)的重要性，對(duì)于每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，必須清楚、完整地點(diǎn)撥，不留知識(shí)盲區(qū)，不留認(rèn)識(shí)死角，真理越辨越明，只有讓學(xué)生全面、透徹的掌握知識(shí)，才能做到一通百通、游刃有余。
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