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讀"小學數(shù)學與數(shù)學思想方法"有感
讀"小學數(shù)學與數(shù)學思想方法"有感
黃石小數(shù)
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數(shù)學思想方法不同于一般的概念和技能，后者一般通過短期的訓練便能掌握，而數(shù)學思想方法需要通過在教學中長期地滲透和影響才能夠形成。古語云"泰山不讓土壤，故能成其大；河海不擇細流，故能就其深。"教師應在每堂課的教學中適時、適當?shù)伢w現(xiàn)思想方法的教學目標，使學生在潛移默化中日積月累，通過提高數(shù)學素養(yǎng)達到學好數(shù)學的目的。
內容簡介
本書作者王永春，作為人民教育出版社小學數(shù)學編輯室主任，長期從事小學數(shù)學教材的編寫工作，致力于課程、教材的研究，對小學業(yè)數(shù)學思想方法有深入的思考和探索�；趯μ岣呓逃|量、落實教育目標的強烈責任感，作者撰寫了系列文章，就有關數(shù)學思想方法在小學教學中的應用作了專門的論述。在此基礎上，形成了本書。
全書分上下篇，上篇是對數(shù)學思想方法的系統(tǒng)闡述，下篇是小學數(shù)學教材中數(shù)學思想方法案例解讀。
在上篇的案例選取中，基本出發(fā)點是盡量少出教材及練習冊中常用的例子，就是想給讀者多提供一些案例，以拓寬知識面、更加有利于了解和掌握思想方法、有利于中小學的銜接。有的案例是在小學知識基礎上的拓展和提高，有的是中學知識的簡化，可能在理解時會有一點難度。下篇的教材案例解讀，沒有按照思想方法分類，而是分冊編寫的，主要是為了方便教師查詢。
對學生來說，數(shù)學思想方法不同于一般的概念和技能，概念與技能通�？梢酝ㄟ^短期訓練便能掌握，而數(shù)學思想方法則需要通過教師長期的滲透和影響才能夠形成。教師應在每堂課的教學中適時、適當?shù)伢w現(xiàn)思想方法的教學目標，使學生在潛移默化中日積月累，通過提高數(shù)學素養(yǎng)達到學好數(shù)學的目的。
希望數(shù)學思想方法的教學能夠像春雨一樣，滋潤著學生的心田。
作者簡介
王永春，內蒙古莫旗人。1967年9月出生。華東師范大學數(shù)學系畢業(yè)，北京師范大學教育學碩士。人民教育出版社小學數(shù)學編輯室主任、編審。從1991年至今，一直從事小學數(shù)學課程教材的研究和編寫工作，參與策劃、編寫或主編（副主編）多套小學數(shù)學教科書、教師教學用書、教學案例等圖書�，F(xiàn)任《義務教育教科書？數(shù)學》（人教版）副主編。參與多項課題研究，主持了國家社會科學基金"十一五"規(guī)劃課題《新課改后各類教材特點的比較研究》小學數(shù)學子課題。在《課程？教材？教法》、《小學數(shù)學教育》等雜志上發(fā)表了20多篇論文。
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01
關于數(shù)學建模與數(shù)學模型的內涵
目前，數(shù)學模型還沒有一個統(tǒng)一的、準確的定義，一般學者認為：數(shù)學模型是為了某種目的，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖像、框圖等描述客觀事物的特征及其內在聯(lián)系的數(shù)學結構表達式。
由于小學數(shù)學沒有復雜的數(shù)量關系和數(shù)學結構，其基本內容是以四則運算為基礎的問題解決，從成人角度看數(shù)學模型過于簡單，但學生自主思考、建構與解決這些問題的過程并不簡單，許多問題解決過程都可以是學生再創(chuàng)造的過程。
小學生認識和理解數(shù)概念、運算、方程及各類問題解決等內容，都可以看作數(shù)學建模，即小學數(shù)學中的每個概念、每類運算都可以構成數(shù)學模型，可以從數(shù)學建模的角度學習這些內容。例如，"小強的媽媽要將2.5千克香油分裝在一些玻璃瓶里，每個玻璃瓶最多可盛0.4千克香油，需要準備幾個玻璃瓶？""把2升橙汁分裝在容量為1/4升的小瓶里，可以裝幾瓶？"等等，盡管數(shù)據(jù)不同，所描述的事情不同，但都是除法的"包含除"模型：總量÷每份數(shù)=份數(shù)。又如，植樹問題（在長120米的道路一側植樹，每5米植一棵，需要植多少棵樹）和鋸木頭問題（一根長6米的木頭，要鋸為5段，每鋸一段需要5分鐘，鋸完這根木頭需要多長時間），問題情境不同，但都是"植樹模型".雞兔同籠問題（雞和兔關在同一籠子里，從上面數(shù)有8個頭，從下面數(shù)有26只腳，問雞和兔各有幾只）和租船問題（全班一共有38人，共租了8條船，小船乘4人，大船乘6人，每條船都坐滿，大船、小船各租幾條），等等，這些問題的情境不同，數(shù)據(jù)可能也不同，但都包含了"部分+部分=總量""每份數(shù)X份數(shù)=總數(shù)"這兩個結構，即加法模型和乘法模型。
依據(jù)前面的界定，我們認為在小學階段數(shù)學模型有三種存在形態(tài)：一是現(xiàn)實問題，用語言描述（不能稱之為模型，但也是一種抽象和概括）；二是直觀模型，用直觀、形象的符號表述，例如，表征數(shù)學問題結構的示意圖、線段圖等；三是抽象模型，用抽象的數(shù)學語言表示數(shù)學關系和結構，在小學階段一個數(shù)、字母、算式、方程等都可以看作一個數(shù)學抽象模型。
構建數(shù)學模型（簡稱數(shù)學建模）即指"從數(shù)學的角度，對所需研究的問題作一個模擬，舍去無關因素，保留其數(shù)學關系，以形成某種數(shù)學結構".在小學階段，這種數(shù)學結構常用前面所說的直觀模型和抽象模型表示。小學階段的數(shù)學建模體現(xiàn)為：其一，能夠將現(xiàn)實問題（情境）用直觀模型表示（有時借助直觀圖直接求解），再用抽象式子表示；其二，在直觀模型和抽象模型基礎上求解問題的答案，并對答案進行檢驗與評價；其三，對每一幅直觀圖、每一個數(shù)、每一個含字母的代數(shù)式和方程，能夠講述不同現(xiàn)實情境的故事，進一步感悟結構相同但具體情境或問題不同的事件都能夠用相同的直觀圖或數(shù)、含字母的代數(shù)式、方程表示，必要時可能需要修改或調整模型，再應用模型解決新問題。
02
小學生數(shù)學建模的過程分析
數(shù)學建模是一個復雜并具有挑戰(zhàn)性的過程，建模的過程，實際上就是數(shù)學化的過程，是學生在數(shù)學學習中獲得某種帶有模型意義的數(shù)學結構的過程。一般而言，數(shù)學建模大致包括四個步驟：第一，理解問題的背景與結構；第二，對復雜的情境進行分析和簡化，收集必要的數(shù)據(jù)進行歸類整理；第三，找到規(guī)律并建立模型；第四，解答問題。這一建模過程如何在小學數(shù)學中落實呢？下面以經典的植樹問題為例加以分析。
植樹問題是小學階段體現(xiàn)數(shù)學建模思想的經典內容之一，植樹問題是一個簡單的"植樹模型".從植樹問題到建構起"植樹模型"需要一個過程，在建構"植樹模型"時，應該有如下步驟：
1、通過"模擬"植樹，整體理解題意，如"兩端都要植"究竟是什么意思。
2、把現(xiàn)實世界中的"樹"和"間隔"抽象看成"點"和"段".
3、通過畫圖的方式建構"點段關系":以"20米小路，每隔5米種一棵樹（兩端都要種）"為例，基本建構過程如下：
"點段"一一對應：畫一個"點",再畫一個"段",依此重復下去，直至達到要求的長度（線段長度的累加）。
4、應用"點段關系"解決實際問題：先把"求一共種多少棵樹"轉化為"求一共有多少條線段",即總長度÷間距=段數(shù)。例如，對于本題，可以先根據(jù)間距求出"段數(shù)",20÷5=4,此時的"4"表示4段，"棵數(shù)"等于"點數(shù)".再根據(jù)實際情況解決問題：若兩端都種，則"點數(shù)=段數(shù)+1";若一端種另一端不種，則"點數(shù)=段數(shù)";若兩端都不種，則"點數(shù)=段數(shù)-1".
5、運用模型解決其他問題，感悟模型思想。這個模型也適用于設置車站、路燈、臺階等問題，樹、路燈、車站、臺階等可抽象看成"點",各種間隔可抽象看成"段","點數(shù)"與"段數(shù)"之間的數(shù)量關系結構都一樣。
可以看到，"植樹模型"本質上是乘法模型和一一對應的"點段模型"相互結合后產生的新模型。在教學中我們往往會發(fā)現(xiàn)，大部分學生遇到這類題目會直接列式，即用"總長度÷間距=段數(shù)"解決。找到這個基本模型對學生來說并不難，但由于沒有直觀圖的支撐，很難通過想象發(fā)現(xiàn)"段數(shù)"與"點數(shù)"之間的對應關系，不能意識到求出的實際上不是"點數(shù)"而是"段數(shù)".即便有部分學生知道公式能夠計算出結果，也不明了什么時候該"+1",什么時候該"-1",因而無法回到實際情境中真正解決問題，遇到其他現(xiàn)實問題更加無法找到對應關系。
出現(xiàn)上述情況，一方面是由于部分學生在課外已經知道或背誦了抽象數(shù)量關系（即公式），另一方面是由于小學生畫圖意識和能力不足，不愿意或不會通過畫圖表征問題情境。教師在課堂上需要正確面對學生已有的基礎，根據(jù)學生的不同情況，對于不知道公式的學生，可以從現(xiàn)實情境到直觀模型再到抽象模型，對于已經知道公式和答案的學生，可以從現(xiàn)實情境到抽象模型再回歸直觀模型進行解釋，重要的是建立這三者之間的關系，借助直觀模型真正理解抽象模型，綜合利用乘法模型和"點段模型"解決實際問題。
對于路燈問題、鋸木頭問題、樓層問題等相關問題，一旦學生通過畫圖找到了"點"和"段"之間的對應關系，就會發(fā)現(xiàn)：拋開具體情境，這些問題的本質和結構是相同的，這樣才真正有了模型的影子。
03
小學生數(shù)學建模的層次水平與教學滲透
在小學實踐中，我們提出，小學階段數(shù)學建模有以下幾個層次、水平（如表1）
表1 小學生數(shù)學建模的層次、水平
水平
學生表現(xiàn)
層次
0
不理解題意，不能用任何方式表征題意或表征錯誤
1
理解題意，能用直觀、形象的方式（如畫圖、列表等）正確表征題意，但不能發(fā)現(xiàn)規(guī)律
層次一：從現(xiàn)實問題到直觀模型、抽象算式
2
理解題意，能用直觀、形象的方式（如畫圖、列表等）正確表征題意，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并轉化為數(shù)量關系或符號表達式
層次一：從現(xiàn)實問題到直觀模型、抽象算式
3
在水平2基礎上，利用直觀模型、數(shù)量關系式或符號表達式求得正確答案，檢驗與評價答案
層次二：針對直觀模型、抽象算式求得結果并檢驗
4
列舉其他不同情境的問題（故事）并能運用相同數(shù)量關系解決更多的現(xiàn)實問題
層次三：運用該模型講述不同故事并解決其他問題
除植樹問題、雞兔同籠問題等經典內容以外，小學數(shù)學中的每個概念、每類運算都可以構成數(shù)學模型。在小學階段，植樹問題、雞兔同籠問題并不要求學生的建模水平達到最高級的層次三，但對于數(shù)學基本概念、運算意義等則要求達到層次三。在概念或運算教學和問題解決教學中，如何使學生向更高層次提升？怎樣在小學數(shù)學教學中有效滲透建模思想？下面以雞兔同籠問題為例簡要分析。
雞兔同籠問題的基礎模型是乘法模型和加法模型，是2個乘法模型和2個加法模型的綜合應用，具體表述如下：
每只雞的腳數(shù)×雞的只數(shù)=雞腳數(shù)
每只兔的腳數(shù)×兔的只數(shù)=兔腳數(shù)
兔頭+雞頭=動物數(shù)之和
兔腳+雞腳=動物腳數(shù)之和
但其根本是乘法模型，即將每份數(shù)不相同的量都轉化為每份數(shù)相同的量，也就是問題解決中常用的假設法（都假設為雞或都假設為兔，這樣每份腳數(shù)都相同）：總只數(shù)×假設的腳數(shù)=假設的腳總數(shù)，再尋找假設的腳總數(shù)與實際腳總數(shù)差的來源，從而求解出答案。
雞兔同籠問題出現(xiàn)在小學幾個版本的教材中，不同教材安排的年級不同。安排在年級較低的教材更側重畫圖法和嘗試法，讓學生經歷畫圖、列表、嘗試和不斷調整的過程，從中體會解決問題的一般策略；安排在較高年級的教材則更側重假設方法和方程法。雞兔同籠問題的算術解法多種多樣，例如，金雞獨立法、假設雞的兩只翅膀也變成兩只腳、假設雞全都飛起來（或坐地上）、兔全用雙腳站立等。盡管奇思妙想的解法很多，但其本質歸根結底都是假設法，而且都是先轉化為乘法模型，再利用加法模型解決問題。一旦掌握了模型的本質，就可以相應地解決類似的許多問題，如儲蓄罐里有1角和5角兩種不同的硬幣（共有多少枚硬幣，價值多少元）、買成人票和兒童票兩種票價的電影票（共買了幾張票，花了多少元）、購買兩種價錢不同的玩具（共買幾個玩具，花了多少錢）等。
教學雞兔同籠問題時，部分學生已經從課外渠道對于雞兔同籠的情境問題形成了思維定式，而且通過記憶或背誦抽象的數(shù)量關系，一看到"雞和兔子關在同一個籠子里"的情境就自動化地列式計算，貌似已經能夠用抽象的算式模型解決問題，實際上并不能深刻理解其意義，從而掩蓋了學生的真實水平。怎樣才能暴露學生的真實水平而不讓教師被學生"盲目、套用公式"的假象蒙弊呢？下面是北京第二實驗小學索桂超教師設計的教學片段：
師：同學們，喜歡玩魔術嗎？
生：（齊）喜歡！
師：索老師也特別喜歡玩魔術，今天我給大家變個魔術。有兩種牌，一種牌的點數(shù)是4,另一種牌的點數(shù)是9,告訴魔術師一共翻了多少張牌，牌面點數(shù)總和是多少，魔術師就能知道翻出來幾張4點和幾張9點的牌。
……
在魔術結束后，教師呈現(xiàn)問題："有5點和2點的牌，一共抽了12張牌，牌面點數(shù)總和為45.5點和2點的牌各有幾張？"可通過畫圖、列表、假設等各種方法解決問題。學生的各種方法如下（具體方法的描述略）：
方法一：憑借數(shù)感嘗試，然后調整；
方法二：列表嘗試，假設全是5點或2點的牌；
方法三：先計算平均數(shù)，再做調整；
方法四：分組計算，再作調整。
在這一引入環(huán)節(jié)中，教師將"雞兔同籠"的情境改編為有趣的撲克牌魔術，借用"雞兔同籠"問題的模型結構，隱藏"雞兔同籠"的問題類型，激發(fā)了學生學習和研究的興趣。
完成這一任務后，教師拋出"雞兔同籠"問題，學生自覺進行了遷移：
生：35個頭就相當于牌的數(shù)量35張，94只腳相當于94點。
生：兔子其實就是4點的牌，雞是2點的牌，因為兔子有4只腳，雞有2只腳。
找到了共同的數(shù)學結構，學生就能很容易地解決問題。
完成"雞兔同籠"問題后，為了讓學生向更高水平邁進，教師又拋出了新的問題：
師：如果不使用雞和兔這兩種動物，換為其他動物或物體，你還可以創(chuàng)編一個類似問題嗎？
生：狗和貓。
生：不可以，因為都是4只腳。
師：改一改。
生：鵝和狗。
生：摩托車和三輪車。
師：總而言之，我們只要保證什么不一樣就可以了？
生：只要保證"腳"數(shù)不同就可以了。
師：不瞞大家說，今天索老師和大家玩的數(shù)學魔術就是根據(jù)"雞兔同籠"問題改編而來的。其實你也可以像索老師一樣創(chuàng)編出一個數(shù)學小游戲，如果你感興趣的話，還可以搜索相關的資料，制作一個小板報，也可以寫一篇小論文或小發(fā)現(xiàn)。
從上述案例中我們可以看到，盡管建模對小學生來說有一定困難，但如果教師深刻理解模型的內涵、建模的過程及學生學習的路徑，就能夠很好地讓學生經歷這個過程，從而在小學階段有效地滲透模型思想。
04
小學階段滲透數(shù)學建模思想的價值及建議
如前所述，如果我們將數(shù)學建模的內涵適當放寬，降低數(shù)學建模的要求，則在小學數(shù)學中能夠滲透數(shù)學建模思想，實現(xiàn)數(shù)學建模所承載的教育價值呢？在滲透數(shù)學建模思想的教學過程中，需要關注哪些問題？這些都是教師設計有價值學習活動的重要前提和依據(jù)。
�。ㄒ唬┬W階段滲透數(shù)學建模思想的價值。
1、在建模中提升數(shù)學表達。
數(shù)學表達是數(shù)學學習中的重要內容。"通過數(shù)學表達，可以幫助學生不斷建構對數(shù)學知識的理解，強化對數(shù)學技能的掌握，呈現(xiàn)數(shù)學觀察、實驗、猜想、運算、推理、驗證等思維過程及數(shù)學問題解決的思路和方案，是聚焦學生數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展的有效實踐范式。"在建模的過程中，學生要學會用數(shù)學語言（包括圖示、圖表、符號等多種方式）簡潔表達出數(shù)量關系或規(guī)律，這種意識和能力為學生后繼的數(shù)學學習積累了重要經驗。
2、在建模中提高抽象思維水平。
模型是從現(xiàn)實情境中高度抽象和概括得到的，小學生在建模中之所以比較困難，很大程度上是因為小學生還處于具體、形象的直觀操作階段，其抽象思維的發(fā)展還不夠完善，所以應從現(xiàn)實情境中抽象出數(shù)學模型，再用來解決更多現(xiàn)實情境問題，例如，"植樹模型"不僅僅解決種樹問題，"雞兔同籠模型"不僅僅解決雞和兔子的問題，建模的過程能夠幫助學生超越具體情境，向抽象思維水平邁進。
3、在建模中培養(yǎng)應用意識。
《義務教育課標2011》指出："應用意識有兩個方面的含義：一方面，有意識利用數(shù)學的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實世界中的問題；另一方面，認識到現(xiàn)實生活中蘊含著大量與數(shù)量和圖形有關的問題，這些問題可以抽象成數(shù)學問題，用數(shù)學的方式予以解決。"通過數(shù)學建模，能夠促進學生了解數(shù)學與其他學科及日常生活的相互聯(lián)系，深刻領悟數(shù)學的應用價值，有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識和應用數(shù)學的基本能力。
�。ǘ┬W階段滲透數(shù)學建模思想的幾點建議。
學生學習能力和思維水平的提升需要依賴教師設計的好活動，尤其是在小學階段，數(shù)學建模思想的滲透既要經歷過程，又不能過高要求，同時要兼顧不同層次和水平的學生需求，這就更加需要教師的精心設計。
1、關注學生建模中的難點，使其充分暴露，并作為重要教學資源。
學生在建模過程中的每一步都有可能遇到困難，如不會畫圖或畫出的圖不能準確表征題意、觀察不到規(guī)律或不會用抽象的數(shù)學語言表達、只能解決例題但不能類推到變式題目等。學生遇到的這些困難都是重要的教學資源，敏銳地發(fā)現(xiàn)并充分暴露學生的難點，引導學生在質疑、爭論、舉例、辯論、追問中逐步澄清，是突破學生學習困難的重要途徑和手段。
2、重視直觀模型（畫圖），不要急于套用公式解決問題。
建模過程中，建立直觀模型（畫圖）是重要且關鍵的一步，教學中要防止急于套公式的做法。波利亞指出："即使你的題目不是一道幾何題，你也可以嘗試畫一張圖。給你的非幾何題找到一個清晰的幾何表示，也許是邁向解答的重要一步。"小學生處于具體、形象的思維階段，畫的圖既可以是具體的實物圖，也可以是抽象的線段圖。隨著年齡的增長，建模過程中借助的直觀模型也可以慢慢由具體走向抽象。
3、不同學生建模的過程與能力水平不同，要正視差異。
學生在建模過程中表現(xiàn)出的不同能力水平是客觀存在的，教學過程中要正視這種差異，等待學生逐步提升，不能急于求成。作為《高中課2017》提出的數(shù)學核心素養(yǎng)之一，數(shù)學建模對學生中學階段繼續(xù)學習的價值是不言而喻的，在小學做些滲透、讓學生有些感悟和體驗、嘗試經歷這樣的過程、積累有價值的數(shù)學經驗、使學生能夠在中學甚至大學的學習中達到更高的建模水平，這是我們的期望。
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