正多邊形作圖教案(一)

　　使學(xué)生學(xué)會(huì)用量角器等分圓周的方法；熟練地掌握用尺規(guī)將圓周六、三、十二、四、八等分．

　　尺規(guī)等分圓周是重點(diǎn)，特別是將圓周四等分、六等分更為重要．

　　正n邊形的中心角是多少？正六邊形的邊長(zhǎng)是多少？

　　

　　前面我們講過(guò)，任意一個(gè)正n邊形都有一個(gè)外接圓，并且正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)把圓n等分．因此，正n邊形的作圖問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上就是把它的外接圓n等分問(wèn)題，把圓n等分后，依次連結(jié)各分點(diǎn)就得到正n邊形．這節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)如何把圓周三、六、十二、四、八等分．

　　等分圓周的方法有兩種：

　　1．使用量角器法

　　n等份，從而把圓周分成n等份，依次連結(jié)各分點(diǎn)，即得到圓內(nèi)接正n邊形．

　　由于在度量正n邊形的中心角時(shí)易有誤差，所以使用量角器法是近似等分圓周的方法，在精確度要求不高的情況下可以使用量角器法．

　　2．尺規(guī)作圖法

　　由于受尺規(guī)作圖的限制，不能用尺規(guī)任意等分圓周，只能對(duì)于一些特殊的正n邊形采用尺規(guī)作圖法．尺規(guī)作圖法比較準(zhǔn)確．

　　(1)正四、八邊形的作圖；

　　正四邊形的作法：

　　如圖1，①作直徑AC⊥BD；

　�、谝来芜B結(jié)AB、BC、CD、DA．

　　則四邊形的ABCD即為所求作的正四邊形．

　　證明：∵直徑AC⊥BD，

　　∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°，

　　

　　∴A、B、C、D是⊙O的四等分點(diǎn)，

　　∴四邊形ABCD是正四邊形．

　　正八邊形的作法：

　　如圖2，①作直徑AC⊥BD；

　　②作∠AOB、∠BOC的平分線交⊙O于E、F點(diǎn)．

　　③延長(zhǎng)EO、FO交⊙O于G、H點(diǎn)；

　�、芤来芜B結(jié)AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA．

　　則八邊形AEBFCGDH即為所求作的正八邊形．

　　證明：∵直徑AC⊥BD，

　　∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°

　　∵ OE、OF分別平分∠AOB、∠BOC，

　　∴∠1=∠2=∠3=∠4．

　　∵ ∠1=∠5，∠2=∠6，∠3=∠7，∠4=∠8，

　　∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=∠7=∠8，

　　

　　∴八邊形AEBFCGDH為正八邊形．

　　(2)正六、三、十二邊形的作圖

　　正六邊形的作法：

　　如圖3，①作直徑AD；

　�、诜謩e為A、D為圓心，以⊙O半徑OA為半徑畫(huà)弧交⊙O于B、F、C、E；

　�、垡来芜B結(jié)AB、BC、CD、DE、EF、FA．

　　則六邊形ABCDEF即為所求作的正六邊形．

　　證明：連結(jié)OB、OC、OE、OF．

　　∵AB=OA=OB，

　　∴∠1=60°

　　同理 ∠2=∠3=∠4=60°．

　　∵∠AOD=180°，

　　∴∠5=∠6=60°．

　　∴∠1=∠5=∠3=∠4=∠6=∠2．

　　

　　∴六邊形ABCDEF是正六邊形．

　　正三角形的作法：

　　如圖4，①作直徑AD；

　　②以D為圓心，以⊙O半徑為半徑畫(huà)弧交⊙O于B、C點(diǎn)；

　�、垡来芜B結(jié)AB、BC、CA．

　　則△ABC即為所求作的正三角形．

　　證明：連結(jié)OB、OC、BD、CD．

　　∵BD=DO=OB，

　　∴∠BOD=60°．

　　同理 ∠DOC=60°

　　∴∠BOC=120°．

　　∵∠AOD=180°，

　　∴∠AOB=∠AOC=120°．

　　∵ ∠AOB=∠BOC=∠COA，

　　

　　則△ABC為正三角形．

　　說(shuō)明：利用二等分三角形各中心角的方法也可以得到正六邊形，但是這樣產(chǎn)生的誤差較大．

　　正十二邊形的作法：

　　如圖5，①作直徑AG⊥DQ；

　�、诜謩e以A、D、G、Q為圓心，以⊙O半徑為半徑畫(huà)弧分別交⊙O于C、R、B、F、E、P、H、S點(diǎn)；

　�、垡来芜B結(jié)AB、BC、CD、DE、…、SA．

　　則十二邊形ABCD……S即為所求作的正十二邊形．

　　證明：連結(jié)AC、OB、OC、OE、…、OS．

　　∵AC=OA=OC，

　　∴∠AOC=60°．

　　∵直徑AG⊥DQ，

　　∴∠AOD=90°，

　　∴∠COD=30°．

　　同理 ∠AOB=30°，

　　∴∠BOC=30°．

　　同理 ∠DOE=…=∠SOA=30°．

　　∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=…=∠SOA，

　　

　　∴十二邊形ABCDE…S為正十二邊形．

　　說(shuō)明：這里介紹的正十二邊形的作法，比起利用二等分正六邊形的各中心角的方法作正十二邊形較為精確．

　　當(dāng)然，如果把正八邊形、正十二邊形的各中心角二等分，那么也可以作出正十六邊形、正二十四邊形，但這樣作誤差可能大些．

　　注意：在用尺規(guī)作正多邊形時(shí)，為了減少累積誤差，應(yīng)盡量避免從圓上某一點(diǎn)開(kāi)始連續(xù)截取等弧的方法．

　　小結(jié)：這節(jié)課我們著重研究了用尺規(guī)作特殊的正多邊形的方法．通過(guò)作圖，大家進(jìn)一步體會(huì)到作正n邊形的實(shí)質(zhì)就是將圓n等分的問(wèn)題．在生產(chǎn)實(shí)踐中，常常會(huì)遇到等分圓周的問(wèn)題，所以希望大家一定要掌握好這些基本的正多邊形的作法．

　　1．用量角器畫(huà)一個(gè)半徑為2cm的正五邊形，再作出這個(gè)正五邊形的各條對(duì)角線，畫(huà)出正五角星．

　　2．(1)畫(huà)一個(gè)半徑為2cm的正九邊形；

　　(2)畫(huà)一個(gè)邊心距為2cm的正六邊形．

　　3．尺規(guī)作圖：

　　(1)作半徑為2cm的⊙O內(nèi)接正八邊形；

　　(2)作半徑為2cm的⊙O內(nèi)接正十二邊形．

　　4．已知⊙O和⊙O上的一點(diǎn)A，

　　(1)作⊙O的內(nèi)接正方形ABCD和內(nèi)接正六邊形AEFCGH；

　　

　　作業(yè)答案：(略)．

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