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數(shù)學(xué)教案-三角形的內(nèi)切圓
1、教材分析
。1)知識(shí)結(jié)構(gòu)
。2)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
重點(diǎn):三角形內(nèi)切圓的概念及內(nèi)心的性質(zhì).因?yàn)樗侨切蔚闹匾拍钪唬?/p>
難點(diǎn):①難點(diǎn)是“接”與“切”的含義,學(xué)生容易混淆;②畫三角形內(nèi)切圓,學(xué)生不易畫好.
2、教學(xué)建議
本節(jié)內(nèi)容需要一個(gè)課時(shí).
。1)在教學(xué)中,組織學(xué)生自己畫圖、類比、分析、深刻理解三角形內(nèi)切圓的概念及內(nèi)心的性質(zhì);
(2)在教學(xué)中,類比“三角形外接圓的畫圖、概念、性質(zhì)”,開展活動(dòng)式教學(xué).
教學(xué)目標(biāo):
1、使學(xué)生了解尺規(guī)作三角形的內(nèi)切圓的方法,理解三角形和多邊形的內(nèi)切圓、圓的外切三角形和圓的外切多邊形、三角形內(nèi)心的概念;
2、應(yīng)用類比的數(shù)學(xué)思想方法研究?jī)?nèi)切圓,逐步培養(yǎng)學(xué)生的研究問題能力;
3、激發(fā)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦主動(dòng)參與課堂教學(xué)活動(dòng).
教學(xué)重點(diǎn):
三角形內(nèi)切圓的作法和三角形的內(nèi)心與性質(zhì).
教學(xué)難點(diǎn):
三角形內(nèi)切圓的作法和三角形的內(nèi)心與性質(zhì).
教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)
(一)提出問題
1、提出問題:如圖,你能否在△ABC中畫出一個(gè)圓?畫出一個(gè)最大的圓?想一想,怎樣畫?
2、分析、研究問題:
讓學(xué)生動(dòng)腦筋、想辦法,使學(xué)生認(rèn)識(shí)作三角形內(nèi)切圓的實(shí)際意義.
3、解決問題:
例1 作圓,使它和已知三角形的各邊都相切.
引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖,寫出已知、求作,然后師生共同分析,尋找作法.
提出以下幾個(gè)問題進(jìn)行討論:
、僮鲌A的關(guān)鍵是什么?
、诩僭O(shè)⊙I是所求作的圓,⊙I和三角形三邊都相切,圓心I應(yīng)滿足什么條件?
、圻@樣的點(diǎn)I應(yīng)在什么位置?
、軋A心I確定后半徑如何找.
A層學(xué)生自己用直尺圓規(guī)準(zhǔn)確作圖,并敘述作法;B層學(xué)生在老師指導(dǎo)下完成.
完成這個(gè)題目后,啟發(fā)學(xué)生得出如下結(jié)論: 和三角形的各邊都相切的圓可以作一個(gè)且只可以作出一個(gè).
(二)類比聯(lián)想,學(xué)習(xí)新知識(shí).
1、概念:和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓,內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心,這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形.
2、類比:
名稱
確定方法
圖形
性質(zhì)
外心(三角形外接圓的圓心)
三角形三邊中垂線的交點(diǎn)
(1)OA=OB=OC;
(2)外心不一定在三角形的內(nèi)部.
內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)
三角形三條角平分線的交點(diǎn)
(1)到三邊的距離相等;
(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB;
(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.
3、概念推廣:和多邊形各邊都相切的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓,這個(gè)多邊形叫做圓的外切多邊形.
4、概念理解:
引導(dǎo)學(xué)生理解三角形的內(nèi)切圓及圓的外切三角形的概念,并與三角形的外接圓與圓的內(nèi)接三角形概念相比較,以加深對(duì)這四個(gè)概念的理解.使學(xué)生弄清“內(nèi)”與“外”、“接”與“切”的含義.“接”與“切”是說明三角形的頂點(diǎn)和邊與圓的關(guān)系:三角形的頂點(diǎn)都在圓上,叫做“接”;三角形的邊都與圓相切叫做“切”.
(三)應(yīng)用與反思
例2 如圖,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=75°,點(diǎn)O是三角形的內(nèi)心.
求∠BOC的度數(shù)
分析:要求∠BOC的度數(shù),只要求出∠OBC和∠0CB的度數(shù)之和就可,即求∠l十∠3的度數(shù).因?yàn)镺是△ABC的內(nèi)心,所以O(shè)B和OC分別為∠ABC和∠BCA的平分線,于是有∠1十∠3= (∠ABC十∠ACB),再由三角形的內(nèi)角和定理易求出∠BOC的度數(shù).
解:(引導(dǎo)學(xué)生分析,寫出解題過程)
例3 如圖,△ABC中,E是內(nèi)心,∠A的平分線和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D
求證:DE=DB
分析:從條件想,E是內(nèi)心,則E在∠A的平分線上,同時(shí)也在∠ABC的平分線上,考慮連結(jié)BE,得出∠3=∠4.
從結(jié)論想,要證DE=DB,只要證明BDE為等腰三角形,同樣考慮到連結(jié)BE.于是得到下述法.
證明:連結(jié)BE.
E是△ABC的內(nèi)心
又∵∠1=∠2
∠1=∠2
∴∠1+∠3=∠4+∠5
∴∠BED=∠EBD
∴DE=DB
練習(xí) 分析作出已知的銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的內(nèi)切圓,并說明三角形的內(nèi)心是否都在三角形內(nèi).
。ㄋ模┬〗Y(jié)
1.教師先向?qū)W生提出問題:這節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些概念?怎樣作已知三角形的內(nèi)切圓?學(xué)習(xí)時(shí)互該注意哪些問題?
2.學(xué)生回答的基礎(chǔ)上,歸納總結(jié):
(1)學(xué)習(xí)了三角形內(nèi)切圓、三角形的內(nèi)心、圓的外切三角形、多邊形的內(nèi)切圓、圓的外切多邊形的概念.
(2)利用作三角形的內(nèi)角平分線,任意兩條角平分線的交點(diǎn)就是內(nèi)切圓的圓心,交點(diǎn)到任意一邊的距離是圓的半徑.
(3)在學(xué)習(xí)有關(guān)概念時(shí),應(yīng)注意區(qū)別“內(nèi)”與“外”,“接”與“切”;還應(yīng)注意“連結(jié)內(nèi)心和三角形頂點(diǎn)”這一輔助線的添加和應(yīng)用.
。ㄎ澹┳鳂I(yè)
教材P115習(xí)題中,A組1(3),10,11,12題;A層學(xué)生多做B組3題.
探究活動(dòng)
問題:如圖1,有一張四邊形ABCD紙片,且AB=AD=6cm,CB=CD=8cm,∠B=90°.
(1)要把該四邊形裁剪成一個(gè)面積最大的圓形紙片,你能否用折疊的方法找出圓心,若能請(qǐng)你度量出圓的半徑(精確到0.1cm);
。2)計(jì)算出最大的圓形紙片的半徑(要求精確值).
提示:(1)由條件可得AC為四邊形似的對(duì)稱軸,存在內(nèi)切圓,能用折疊的方法找出圓心:
如圖2,①以AC為軸對(duì)折;②對(duì)折∠ABC,折線交AC于O;③使折線過O,且EB與EA邊重合.則點(diǎn)O為所求圓的圓心,OE為半徑.
(2)如圖3,設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r,則通過面積可得:6r+8r=48,∴r=.
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