方差
教學(xué)設(shè)計(jì)示例1
第一課時(shí)
素質(zhì)教育目標(biāo)
。ㄒ唬┲R(shí)教學(xué)點(diǎn)
使學(xué)生了解方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義,會(huì)計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差與標(biāo)準(zhǔn)差.
。ǘ┠芰τ(xùn)練點(diǎn)
1.培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力.
2.培養(yǎng)學(xué)生觀(guān)察問(wèn)題、分析問(wèn)題的能力,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力.
。ㄈ┑掠凉B透點(diǎn)
1.培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真、耐心、細(xì)致的學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)習(xí)慣.
2.滲透數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐,又反過(guò)來(lái)作用于實(shí)踐的觀(guān)點(diǎn).
(四)美育滲透點(diǎn)
通過(guò)本節(jié)課的教學(xué),滲透了數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象美及反映在圖像上的形象美,激發(fā)學(xué)生對(duì)美好事物的追求,提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美的鑒賞力.
重點(diǎn)·難點(diǎn)·疑點(diǎn)及解決辦法
1.教學(xué)重點(diǎn):方差概念.
2.教學(xué)難點(diǎn):方差概念.
3.教學(xué)疑點(diǎn):學(xué)生不易理解為什么要用方差去描述一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小,為什么不可以用各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差的來(lái)和來(lái)衡量這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小呢?為什么對(duì)各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差不取其絕對(duì)值,而將其平方呢?對(duì)這些問(wèn)題教師在剖析方差定義時(shí)要講清楚.
4.解決辦法:教師要講清方差,標(biāo)準(zhǔn)差的意義,即它們都是用來(lái)描述一組數(shù)據(jù)波動(dòng)情況的特征數(shù),常用來(lái)比較兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小,我們所研究的僅是這兩組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)相等,平均數(shù)相等或比較接近時(shí)的情況.
教學(xué)步驟
。ㄒ唬┟鞔_目標(biāo)
前面我們學(xué)習(xí)了平均數(shù)、眾數(shù)及中位數(shù),它們都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的量,這節(jié)課我們將進(jìn)一步學(xué)習(xí)衡量樣本(或一組數(shù)據(jù))和總體的另一類(lèi)特征數(shù)——方差、標(biāo)準(zhǔn)差及其計(jì)算.
這種開(kāi)門(mén)見(jiàn)山式引入課題,能迅速將學(xué)生的注意力集中起來(lái),進(jìn)入新課講解.
。ǘ┱w感知
對(duì)于一組數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō),我們除了關(guān)心它的集中趨勢(shì)以外,還關(guān)心它的波動(dòng)大小.衡量這個(gè)波動(dòng)大小的最常用的特征數(shù),就是方差和標(biāo)準(zhǔn)差.
(三)教學(xué)過(guò)程
1.請(qǐng)同學(xué)們看下面的問(wèn)題:(用幻燈出示)
兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)直徑是40毫米的零件,為了檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量,從產(chǎn)品中各抽出10件進(jìn)行測(cè)量,結(jié)果如下(單位:毫米)
機(jī)床甲
40
39.8
40.1
40.2
39.9
40
40.2
39.8
40.2
39.8
機(jī)床乙
40
40
39.9
40
39.9
40.2
40
40.1
40
39.9
上面表中的數(shù)據(jù)如圖所示
教師引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察表格中的數(shù)據(jù)和圖,提出問(wèn)題:怎樣能說(shuō)明在使所生產(chǎn)的10個(gè)零件的直徑符合規(guī)定方面,哪個(gè)機(jī)床做得好呢?
對(duì)于這個(gè)問(wèn)題,學(xué)生會(huì)馬上想到計(jì)算它們的平均數(shù).教師可把學(xué)生分成兩級(jí)分別計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù).(請(qǐng)兩名同學(xué)到黑板計(jì)算)
計(jì)算的結(jié)果說(shuō)明兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都等于規(guī)定尺寸40毫米.這時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生思考,這能說(shuō)明兩個(gè)機(jī)床做的一樣好嗎?不能!我們?cè)儆^(guān)察上圖(給學(xué)生充分的時(shí)間觀(guān)察,找出左右兩圖的區(qū)別)從圖中看到,機(jī)床甲生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸偏差較大,偏離40毫米線(xiàn)較多;機(jī)床乙生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸偏差較小,比較集中在40毫米線(xiàn)的附近.這
說(shuō)明,在使所生產(chǎn)的10個(gè)零件的直徑符合規(guī)定方面,機(jī)床乙比機(jī)床甲要好.
教師說(shuō)明:從上面看到,對(duì)于一組數(shù)據(jù),除需要了解它們的平均水平外,還常常需要了解它們的波動(dòng)大小(即偏離平均數(shù)的大。
通過(guò)引例的學(xué)習(xí),使學(xué)生理解為什么要研究數(shù)據(jù)波動(dòng)的大小,為提出方差概念做好了準(zhǔn)
備.
2.方差概念
教師講解,為了描述一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小,可以采用不止一種辦法,例如,可以先求得各個(gè)數(shù)據(jù)與這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的差的絕對(duì)值,再取其平均數(shù),用這個(gè)平均數(shù)來(lái)衡量這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小,通常,采用的是下面的做法:
設(shè)在一組數(shù)據(jù) 中,各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù) 的差的平方分別是 ,那么我們用它們的平均數(shù),即用
、
來(lái)衡量這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小,并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差.一組數(shù)據(jù)方差越大,說(shuō)明這組數(shù)據(jù)波動(dòng)越大.教師要剖析公式中每一個(gè)元素的意義,以便學(xué)生理解和掌握.
在學(xué)生理解方差概念時(shí),可能會(huì)提出疑問(wèn):為什么要這樣定義方差?(教師說(shuō)明,在表示各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的倔離程度時(shí),為了防止正偏差與負(fù)偏差的相互抵消)為什么對(duì)各數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差不取其絕對(duì)值,而要將它們平方?(教師說(shuō)明,這主要是因?yàn)樵诤芏鄦?wèn)題里,含有絕對(duì)值的式子不便于運(yùn)算,且在衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的“功能”上,方差更強(qiáng)些)為什么要除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n?(是為了消除數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的影響).
在學(xué)生理解了方差概念之后,再回到了引例中,通過(guò)計(jì)算機(jī)床甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差,再根據(jù)理論說(shuō)明哪個(gè)機(jī)床做得更好.
教師范解
從 知道,機(jī)床甲生產(chǎn)的10個(gè)零件直徑比機(jī)床乙生產(chǎn)的10個(gè)零件直徑波動(dòng)要大.
這樣做使學(xué)生深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐,又反過(guò)來(lái)作用實(shí)踐,不僅使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣,而且培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí).
3.例1 (用幻燈出示)已知兩組數(shù)據(jù):
甲:9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7
乙:10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1
分別計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)的方差.
讓學(xué)生自己動(dòng)手計(jì)算,求平均數(shù)時(shí)激發(fā)學(xué)生用簡(jiǎn)化公式計(jì)算,找一名好學(xué)生到黑板計(jì)算.
解:根據(jù)公式②(取 ),有
從 知道,乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)波動(dòng)大.
4.標(biāo)準(zhǔn)差概念
在有些情況下,需要用到方差的算術(shù)平方根
④
并把它叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.它也是一個(gè)用來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的重要的量.
教師引導(dǎo)學(xué)生分析方差與標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別與聯(lián)系:
計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差要比計(jì)算方差多開(kāi)一次平方,但它的度量單位與原數(shù)據(jù)一致,有時(shí)用它比較方便.
課堂練習(xí) 教材P165中(1)、(2)
。ㄋ模┛偨Y(jié)、擴(kuò)展
知識(shí)小結(jié):通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí),使我們知道了對(duì)于一組數(shù)據(jù),有時(shí)只知道它的平均數(shù)還不夠,還需要知道它的波動(dòng)大。欢枋鲆唤M數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的量不止一種,最常用的是方差和標(biāo)準(zhǔn)差.方差與標(biāo)準(zhǔn)差這兩個(gè)概念既有聯(lián)系又有區(qū)別.
方法小結(jié):求一組數(shù)據(jù)方差的方法;先求平均數(shù),再利用③求方差,求一組數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的方法:先求這組數(shù)據(jù)的方差,然后再求方差的算術(shù)平方根.
布置作業(yè)
教材P173中1,2(1)(2)
板書(shū)設(shè)計(jì)
14.3 方差(一)
方差公式③ 引例 例1
標(biāo)準(zhǔn)差公式④
教學(xué)設(shè)計(jì)示例2
一、教學(xué)目的
1.使學(xué)生了解方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義,會(huì)計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差與標(biāo)準(zhǔn)差.
2.使學(xué)生了解樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、總體方差的意義.
二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn):方差、標(biāo)準(zhǔn)差、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、總體方差的意義.
難點(diǎn):樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算.
三、教學(xué)過(guò)程
復(fù)習(xí)提問(wèn)
計(jì)算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)有哪些方法?
引入新課
在很多實(shí)際問(wèn)題中,只知道一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是不夠的,還需要知道這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小.如何了解數(shù)據(jù)的波動(dòng)大。窟@正是我們要解決的問(wèn)題.
新課
引例 兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)直徑是40毫米的零件.為了檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量,從產(chǎn)品中抽出10件進(jìn)行測(cè)量,結(jié)果如下(單位:毫米):
表中數(shù)據(jù)表成如下形式:
可在此處讓學(xué)生用公式②分別計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)(還可提問(wèn)學(xué)生a取什么值最好,這樣學(xué)生能在教師的啟發(fā)下得到a=40最合適).當(dāng)學(xué)生算出如下平均數(shù):
讓學(xué)生思考,兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都等于規(guī)定尺寸40毫米時(shí),甲、乙兩機(jī)床性能是否都一樣好?提出問(wèn)題讓學(xué)生議議后,再引導(dǎo)學(xué)生看圖1,讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“機(jī)床甲生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸編差較大,偏離40毫米線(xiàn)較多;機(jī)床乙生產(chǎn)的零件的直徑與規(guī)定尺寸的偏差較小,比較集中在40毫米線(xiàn)的附近.”這說(shuō)明,在使所生產(chǎn)的10個(gè)零件的直徑符合規(guī)定方面,機(jī)床乙比機(jī)床甲要好.
這反映出,對(duì)一組數(shù)據(jù),除需要了解它們的平均水平以外,還常常需要了解它們的波動(dòng)大小(即偏離平均數(shù)的大小).
在此處要告訴學(xué)生:描述一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小,可以采用不止一種辦法.本課介紹“方差”即是一種方法.即:
來(lái)衡量這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小,并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差.
要強(qiáng)調(diào)“一組數(shù)據(jù)方差越大,說(shuō)明這組數(shù)據(jù)波動(dòng)越大”.條件許可時(shí),還可介紹③式可表示為:
接下來(lái)可以請(qǐng)兩個(gè)學(xué)生計(jì)算引例中機(jī)床甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差.
從0.026>0.008可以比較出,機(jī)床甲生產(chǎn)的10個(gè)零件直徑比機(jī)床乙生產(chǎn)的10個(gè)零件直徑波動(dòng)要大.(接下來(lái)教師再給出如下例題.)
例1 已知兩組數(shù)據(jù):
分別計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)的方差.
講此例后,要強(qiáng)調(diào)求解步驟為:
(1)求平均數(shù);(2)求方差;(3)比較方差得出結(jié)論.
此后接前面問(wèn)題說(shuō),用來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)的方法還可用一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差,即
公式④(即標(biāo)準(zhǔn)差)也是用來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的重要的量.
在本節(jié)引例中,兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差,可讓學(xué)生算一下,得出:
說(shuō)明:計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差要比計(jì)算方差多開(kāi)一次平方,但它的度量單位與原數(shù)據(jù)一致,有時(shí)用它比較方便.
小結(jié)
1.本課學(xué)了計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差的公式③.
2.本課在方差的基礎(chǔ)上又學(xué)了計(jì)算一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的公式④.
練習(xí):選用課本練習(xí)題.
作業(yè):選用課本習(xí)題.
四、教學(xué)注意問(wèn)題
要注意通過(guò)例題講好求方差題目的解題格式.
教學(xué)設(shè)計(jì)示例3
一、教學(xué)目的
1.使學(xué)生進(jìn)一步理解方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義.
2.使學(xué)生掌握利用簡(jiǎn)化公式計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差的方法.
3.使學(xué)生會(huì)根據(jù)同類(lèi)問(wèn)題兩組數(shù)據(jù)的方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)比較兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況.
二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn):簡(jiǎn)化計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差公式.
難點(diǎn):利用方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)比較兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況.
三、教學(xué)過(guò)程
復(fù)習(xí)提問(wèn)
1.什么是一組數(shù)據(jù)的方差、標(biāo)準(zhǔn)差?
2.一組數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)如何計(jì)算?
引入新課
我們看到,用公式③計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差比較麻煩.那么,有否較簡(jiǎn)便的計(jì)算方法呢?
新課
教師應(yīng)在黑板上進(jìn)行如下推導(dǎo):
推導(dǎo)上述公式后,可讓學(xué)生仿①~④四個(gè)公式的方法歸納推理出如下結(jié)論:
一般地,如果一組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是n,那么它們的方差可以用下面的公式計(jì)算:
在這時(shí),教師要強(qiáng)調(diào):當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的數(shù)較小時(shí),用公式⑤計(jì)算方差比公式③計(jì)算少了求各數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差一步,因此比較方便.
例2 計(jì)算下面數(shù)據(jù)的方差(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后第1位):
3 -1 2 1 -3 3
教師可讓學(xué)生共同來(lái)完成此例.
接下來(lái)教師按教材指出,當(dāng)一組數(shù)據(jù)較大時(shí),可按下述公式計(jì)算方差:
其中x'1=x1-a,x'2=x2-a,…,x'n=xn-a,x1,x2,…,xn是原已知的n個(gè)數(shù)據(jù),a是接近這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的一個(gè)常數(shù).
為使學(xué)生對(duì)公式⑥加深印象,可讓學(xué)生用公式⑥解下例.
例3 甲、乙兩個(gè)小組各10名學(xué)生的英語(yǔ)口語(yǔ)測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)缦?單位:分):
哪個(gè)小組學(xué)生的成績(jī)比較整齊?
解后,指出解題步驟有如下三步:
(3)代入公式⑥計(jì)算方差并比較得解.
小結(jié)
1.本課介紹了當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的數(shù)值較小時(shí),用以計(jì)算方差的簡(jiǎn)化計(jì)算公式⑤.
2.本課又學(xué)習(xí)了當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的數(shù)值較大時(shí),用以計(jì)算方差的簡(jiǎn)化公式⑥.
練習(xí):選用課本練習(xí)題.
作業(yè):選用課本習(xí)題.
補(bǔ)充作業(yè)
2.甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差之和為13,標(biāo)準(zhǔn)差之和為5,且甲的波動(dòng)比乙的波動(dòng)大,求它們各自的標(biāo)準(zhǔn)差.(答案:S甲=3,S乙=2.)
3.在某次數(shù)學(xué)考試中,甲、乙兩校各8個(gè)班,不及格的人數(shù)分別如下:
分別計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差.
四、教學(xué)注意問(wèn)題
要注意給學(xué)生講如下三點(diǎn):
1.方差與標(biāo)準(zhǔn)差是衡量樣本和總體波動(dòng)大小的特征數(shù).
2.用簡(jiǎn)化計(jì)算公式求方差較為方便.
3.對(duì)同類(lèi)問(wèn)題的兩組數(shù)據(jù),方差小的波動(dòng)小、方差大的波動(dòng)大.
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