算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（二）

第一課時

一、教材分析

    （一）教材所處的地位和作用

    “算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)”是全日制普通高級中學(xué)教科書（試驗修訂本·必修）數(shù)學(xué)第二冊（上）“不等式”一章的內(nèi)容，是在學(xué)完不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上對不等式的進一步研究．本節(jié)內(nèi)容具有變通靈活性、應(yīng)用廣泛性、條件約束性等特點，所以本節(jié)內(nèi)容是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，靈活解決實際問題，學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)的好素材二同時本節(jié)知識又滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學(xué)思想，所以有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)．

    （二）教學(xué)目標

　　1．知識目標：理解兩個實數(shù)的平方和不小于它們之積的2倍的重要不等式的證明及其幾何解釋；掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)定理的證明及其幾何解釋；掌握應(yīng)用平均值定理解決一些簡單的應(yīng)用問題．

　　2．能力目標：培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學(xué)思想．

　�。ㄈ�）教學(xué)重點、難點、關(guān)鍵

　　重點：用平均值定理求某些函數(shù)的最值及有關(guān)的應(yīng)用問題．

　　難點：定理的使用條件，合理地應(yīng)用平均值定理．

　　關(guān)鍵：理解定理的約束條件，掌握化歸的數(shù)學(xué)思想是突破重點和難點的關(guān)鍵．

　�。ㄋ模┙滩奶幚�

　　依據(jù)新大綱和新教材，本節(jié)分為二個課時進行教學(xué)．第一課時講解不等式（兩個實數(shù)的平方和不小于它們之積的2倍）和平均值定理及它們的幾何解釋．掌握應(yīng)用定理解決某些數(shù)學(xué)問題．第二課時講解應(yīng)用平均值定理解決某些實際問題．為了講好平均值定理這節(jié)內(nèi)容，在緊扣新教材的前提下，對例題作適當?shù)恼{(diào)整，適當增加例題．

二、教法分析

　�。ǎ�）教學(xué)方法

　　為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體意識，又有利于教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與創(chuàng)新能力，使學(xué)生能獨立實現(xiàn)學(xué)習(xí)目標．在探索結(jié)論時，采用發(fā)現(xiàn)法教學(xué)；在定理的應(yīng)用及其條件的教學(xué)中采用歸納法；在訓(xùn)練部分，主要采用講練結(jié)合法進行．

　�。ǘ�）教學(xué)手段

根據(jù)本節(jié)知識特點，為突出重點，突破難點，增加教學(xué)容量，利用計算機輔導(dǎo)教學(xué)．

三、教學(xué)過程（adivasplayground.com）設(shè)計

6．2算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（第一課時）

　�。ㄒ唬�導(dǎo)入新課

　　（教師活動）1．教師打出字幕（提出問題）；2．組織學(xué)生討論，并點評．

　�。▽W(xué)生活動）學(xué)生分組討論，解決問題．

　　[字幕] 某種商品分兩次降價，降價的方案有三種：方案甲是第一次9折銷售，第二次再8折銷售；方案乙是第一次8折銷售，第二次再9折銷售；方案丙是兩次都是 折銷售．試問降價最少的方案是哪一種？

　　［討論］

　�、僭O(shè)物價為t元，三種降價方案的銷售物價分別是：

　　方案甲： （元）；

　　方案乙： （元）；

　　方案丙： （元）．

　　故降價最少的方案是丙．

　�、谌魧�問題變?yōu)榈谝淮?i>a折銷售，第二次b折銷售．顯然可猜想有不等式 成立，即 ，當 時，

　　設(shè)計意圖：提出一個商品降價問題，要求學(xué)生討論哪一種方案降價最少．學(xué)生對問題的背景較熟悉，可能感興趣，從而達到說明學(xué)習(xí)本節(jié)知識的必要，激發(fā)學(xué)生求知欲望，合理引出新課．

 　　（二）新課講授

　　【嘗試探索，建立新知】

　�。ń處熁顒樱┐虺鲎帜唬ㄖ匾�不等式），引導(dǎo)學(xué)生分析、思考，講解重要不等式的證明．點評有關(guān)問題．

　�。▽W(xué)生活動）參與研究重要不等式的證明，理解有關(guān)概念．

　�。圩帜唬萑绻� ，那么 （當且僅當 時取“=”號）．

　　證明：見課本

　�。埸c評］

　　①強調(diào) 的充要條件是

 　�、诮忉尅爱斍覂H當”是充要條件的表達方式（“當”表示條件是充分的，“僅當”表示條件是必要的）．

　�、蹘缀谓忉專�如圖。

　　[字幕]定理 如果a，b是正數(shù)，那么 （當且僅當 時取“=”號）．

　　證明：學(xué)生運用“ ”自己證明．

    ［點評］

　　①強調(diào)；

　　②解釋“算術(shù)平均數(shù)”和“幾何平均數(shù)”的概念，并敘述它們之間的關(guān)系；

　�、诒容^上述兩個不等式的特征（強調(diào)它們的限制條件）；

　�、軒缀谓忉專ㄒ娬n本）；

　　＠指出定理可推廣為“n個（ ）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小干它們的幾何平均數(shù)”．

    設(shè)計意圖：加深對重要不等式的認識和理解；培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法和對比的數(shù)學(xué)思想，多方面思考問題的能力．

　　【例題示范，學(xué)會應(yīng)用】

　　（教師活動）教師打出字幕（例題），引導(dǎo)學(xué)生分析，研究問題，點撥正確運用定理，構(gòu)建證題思路．

　　（學(xué)生活動）與教師一道完成問題的論證．

　�。圩帜唬堇�題已知 a，b，c，d都是正數(shù)，求證：

　　［分析］

　　 ①應(yīng)用定理證明；

　　 ②研究問題與定理之間的聯(lián)系；

　　 ③注意應(yīng)用定理的條件和應(yīng)用不等式的性質(zhì)．

　　證明：見課本．

設(shè)計意圖：鞏固對定理的理解，學(xué)會應(yīng)用定理解決某些數(shù)學(xué)問題．

    【課堂練習(xí)】

　　（教師活動）打出字幕（練習(xí)），要求學(xué)生獨立思考，完成練習(xí)；巡視學(xué)生解題情況，對正確的解法給予肯定和鼓勵，對偏差給予糾正；請甲、乙兩學(xué)生板演；點評練習(xí)解法．

　�。▽W(xué)生活動）在筆記本上完成練習(xí)，甲、動兩位同學(xué)板演．

  　�。圩帜唬菥毩�(xí)：已知 都是正數(shù)，求證：

　�。�1） ；

　　（2）

　　設(shè)計意圖：掌握定理及應(yīng)用，反饋課堂教學(xué)效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué)．

　　【分析歸納、小結(jié)解法】

　　（教師活動）分析歸納例題和練習(xí)的解題過程，小結(jié)應(yīng)用定理解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題的解題方法．

　�。▽W(xué)生活動）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄在筆記本上．

　　 1．重要不等式可以用來證明某些不等式．

　　2．應(yīng)用重要不等式證明不等式時要注意不等式的結(jié)構(gòu)特征：①滿足定理的條件；②不等式一邊為和的形式，另一邊為積或常數(shù)的形式．

　　3．用重要不等式證明有關(guān)不等式時注意與不等式性質(zhì)結(jié)合．

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，掌握應(yīng)用重要不等式解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題的方

法．

　�。ㄈ�）小結(jié)

　　（教師活動）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識要點．

　�。▽W(xué)生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄在筆記本上．

　　1．本節(jié)課學(xué)習(xí)了兩個重要不等式及它們在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用．

　　 2．注意：①兩個重要不等式使用的條件；②不等式中“=”號成立的條件．

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生對所學(xué)知識進行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)知識．

 　�。ㄋ模┎贾米鳂I(yè)

　　1．課本作業(yè)；習(xí)題 ．1，3

　　2．思考題：已知 ，求證：

　　3．研究性題：設(shè)正數(shù) ， ，試盡可能多的給出含有a和b的兩個元素的不等式．

　　設(shè)計意圖：課本作業(yè)供學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識；思考題供學(xué)有余力的學(xué)生完成，靈活掌握重要不等式的應(yīng)用；研究性題是一道結(jié)論開放性題，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識．

　　（五）課后點評

　　1．導(dǎo)入新課采用學(xué)生比較熟悉的問題為背景，容易被學(xué)生接受，產(chǎn)生興趣，激發(fā)學(xué)習(xí)動機．使得學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課知識自然且合理．
　　2．在建立新知過程中，教師力求引導(dǎo)、啟發(fā)，讓學(xué)生逐步回憶所學(xué)的知識，并應(yīng)用它們來分析問題、解決問題，以形成比較系統(tǒng)和完整的知識結(jié)構(gòu)．對有關(guān)概念使學(xué)生理解難確，盡量以多種形式反映知識結(jié)構(gòu)，使學(xué)生在比較中得到深刻理解．
　　3．通過變式訓(xùn)練，使學(xué)生在對知識初步理解和掌握后，得到進一步深化，對所學(xué)的知識得到鞏固與提高，同時反饋信息，調(diào)整課堂教學(xué)．
　　4．本節(jié)課采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，體現(xiàn)學(xué)生主體地位，學(xué)生獲取知識必須通過學(xué)生自己一系列思維活動完成，啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生深入思考問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質(zhì)．

作業(yè)答案

　　思考題 證明：因為 ，所以

．又因為 ， ， ，所以 ， ，所以

　　研究性題  ① ．由條件得 ，…（A）  利用公式 …（B）． 得 ，即 ． ② ．由（A）、（B）之和即得．③ ．可利用 ．再利用①，即可得． ④ ．利用立方和公式得到： ．利用①可得 ．利用①②可得 ．還有 ……

 

第二課時

　�。ǎ�）導(dǎo)入新課

　�。ń處熁顒樱�1．教師打出字幕（引例）； 2．設(shè)置問題，引導(dǎo)學(xué)生思考，啟發(fā)學(xué)生應(yīng)用平均值定理解決有關(guān)實際問題．

　�。▽W(xué)生活動）思考、回答教師設(shè)置的問題，構(gòu)建應(yīng)用平均值定理解決實際問題的思路．

　�。圩帜唬菀�例．如圖，用籬笆圍一塊面積為50 的一邊靠墻的矩形籬笆墻，問籬笆墻三邊分別長多少時，所用籬笆最省？此時，籬笆墻長為多少米？

　　[設(shè)問]

　　①這是一個實際問題，如何把它轉(zhuǎn)化成為一個數(shù)學(xué)問題？

    （學(xué)生口答：設(shè)籬笆墻長為y，則 （ ）．問

題轉(zhuǎn)化成為求函數(shù)y的最小值及取得最值時的 的值．）

　　②求這個函數(shù)的最小值可用哪些方法？能否用平均值定理求此函數(shù)的最小值？

　�。▽W(xué)生口答：利用函數(shù)的單調(diào)性或判別式法，也可用平均值定理．）

　　設(shè)計意圖：從學(xué)生熟悉的實際問題出發(fā)，激發(fā)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的興趣，通過設(shè)問，引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生用所學(xué)的平均值定理解決有關(guān)實際問題，引入課題．

　　（二）新課講授

　　【嘗試探索、建立新知】

　　（教師活動）教師打出字幕（課本例題1），引導(dǎo)學(xué)生研究和解決問題，幫助學(xué)生建立用平均值定理求函數(shù)最值的知識體系．

　�。▽W(xué)生活動）嘗試完成問題的論證，構(gòu)建應(yīng)用平均值定理求函數(shù)最值的方法．

　　[字幕]已知 都是正數(shù)，求證：

　�。�1）如果積 是定值P，那么當 時，和 有最小值 ；

　　（2）如果和 是定值S，那么當 時，積 有最大值

　　證明：運用 ，證明（略）．

　�。埸c評］

　　 ①（l）的結(jié)論即 ，（2）的結(jié)論即

　�、谏鲜鼋Y(jié)論給出了一類函數(shù)求最值的方法，即平均值定理求最值法．

　�、蹜�(yīng)用平均值定理求最值要特別注意：兩個變元都為正值；兩個變元之積（或和）為定值；當且僅當 ，這三個條件缺一不可，即“一正，二定，三相等”同時成立．

　　設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生分析和研究問題，建立新知——應(yīng)用平均值定理求最值的方法．

　　【例題示范，學(xué)會應(yīng)用】

　�。ń處熁顒樱┐虺鲎帜唬ɡ�題），引導(dǎo)學(xué)生分析問題，研究問題的解法．

　　（學(xué)生活動）分析、思考，嘗試解答問題．

　　 [字幕]例題1 求函數(shù) （ ）的最小值，并求相應(yīng)的 的值．

　　［分析］因為這個函數(shù)中的兩項不都是正數(shù)且 又 與的積也不是常數(shù)，所以不能直接用定理求解．但把函數(shù)變形為 后，正數(shù) ， 的積是常數(shù)1，可以用定理求得這個函數(shù)的最小值．

　　解： ，由 ，知 ， ，且 ．當且僅當 ，即 時， （ ）有最小值，最小值是 。

　　[點評] 要正確理解 的意義，即方程 要有解，且解在定義域內(nèi)．

　　[字幕] 例2 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為 4800 ，深為 3 m，如果池底每l 的造價為 150元，池壁每1 的造價為 120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？

　�。鄯治觯� 設(shè)水池底面一邊的長為 m，水池的總造價為y，建立y關(guān)干 的函數(shù)．然后用定理求函數(shù)y的最小值．

　　解：設(shè)水池底面一邊的長度為 m，則另一邊的長度為 m，又設(shè)水池總造價為y元，根據(jù)題意，得

（ ）

 

所以          

　　當 ，即 時，y有最小值297600．因此，當水池的底面是邊長為40 m的正方形時．水池的總造價最低，最低總造價是297600元．

　　設(shè)計意圖：加深理解應(yīng)用平均值定理求最值的方法，學(xué)會應(yīng)用平均值定理解決某些函數(shù)最值問題和實際問題，并掌握分析變量的構(gòu)建思想．培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，化歸的數(shù)學(xué)思想．

　　【課堂練習(xí)】

　　（教師活動）打出字幕（練習(xí)），要求學(xué)生獨立思考，完成練習(xí)；請三位同學(xué)板演；巡視學(xué)生解題情況，對正確的給予肯定，對偏差進行糾正；講評練習(xí)．

　　（學(xué)生活動）在筆記本且完成練習(xí)、板演．

　�。圩帜弧尘毩�(xí)

    A組

    1．求函數(shù) （ ）的最大值．

    2求函數(shù) （ ）的最值．

    3．求函數(shù) （ ）的最大值．

    B組

    1．設(shè) ，且 ，求 的最大值．

    2．求函數(shù) 的最值，下面解法是否正確？為什么？

　　解： ，因為 ，則 ．所以

[講評] A組 1． ； 2． ； 3．

B組 1． ； 2．不正確  ①當 時， ；②當 時， ，而函數(shù)在整個定義域內(nèi)沒有最值．

　　設(shè)計意圖；A組題訓(xùn)練學(xué)生掌握應(yīng)用平均值定理求最值．B組題訓(xùn)練學(xué)生掌握平均值定理的綜合應(yīng)用，并對一些易出現(xiàn)錯誤的地方引起注意．同時反饋課堂教學(xué)效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué)．

　　【分析歸納、小結(jié)解法】

　　（教師活動）分析歸納例題和練習(xí)的解題過程，小結(jié)應(yīng)用平均值定理解決有關(guān)函數(shù)最值問題和實際問題的解題方法．

　�。▽W(xué)生活動）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄筆記．

　　1．應(yīng)用平均值定理可以解決積為定值或和為定值條件下，兩個正變量的和或積的最值問題．

　　2．應(yīng)用定理時注意以下幾個條件：（�。﹥蓚�變量必須是正變量．（ⅱ）當它們的和為定值時，其積取得最大值；當它們的積是定值時，其和取得最小值．（iii）當且僅當兩個數(shù)相等時取最值，即必須同時滿足“正數(shù)”、“定值”、“相等”三個條件，才能求得最值．

　　3．在求某些函數(shù)的最值時，會恰當?shù)暮愕茸冃巍�—分析變量、配置系�?shù)．

　　4．應(yīng)用平均值定理解決實際問題時，應(yīng)注意：（l）先理解題意，沒變量，把要求最值的變量定為函數(shù)．（2）建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最值問題，確定函數(shù)的定義域．（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最值，正確寫出答案．

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，幫助學(xué)生形成知識體系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解決實際問題的方法．

　　（三）小結(jié)

　�。ń處熁顒樱┙處熜〗Y(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識要點．

　　（學(xué)生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記．

　　這節(jié)課學(xué)習(xí)了利用平均值定理求某些函數(shù)的最值問題．現(xiàn)在我們又多了一種求正變量在定積或定和條件下的函數(shù)最值方法．這是平均值定理的一個重要應(yīng)用，也是本節(jié)的重點內(nèi)容，同學(xué)們要牢固掌握．

　　應(yīng)用定理時要注意定理的適用條件，即“正數(shù)、定值、相等”三個條件同時成立，且會靈活轉(zhuǎn)化問題，達到化歸的目的．

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生對所學(xué)知識進行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)知識．

　�。ㄋ模┎贾米鳂I(yè)

　　1．課本作業(yè)：P ，6，7．

　　2．思考題：設(shè) ，求函數(shù) 的最值．

　　3．研究性題：某種汽車購車時費用為10萬元，每年保險、養(yǎng)路、汽車費用9千元；汽車的維修費各年為：第一年2千元，第二年4千元，依每年2千元的增量逐年遞增．問這種汽車最多使用多少年報廢最合算（即使用多少年的平均費用最少）？

　　設(shè)計意圖：課本作業(yè)供學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識；思考題供學(xué)有余力的學(xué)生練習(xí)，使學(xué)生能靈活運用定理解決某些數(shù)學(xué)問題；研究性題培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力．

　　（五）課后點評

　　1．關(guān)于新課引入設(shè)計的想法：

　　導(dǎo)入這一環(huán)節(jié)是調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)生探究精神的重要環(huán)節(jié)，本節(jié)課開始給出一個引例，通過探究解決此問題的各種解法，產(chǎn)生用平均值定理求最值，點明課題．事實上，在解決引例問題的過程中也恰恰突出了教學(xué)重點．

　　2．關(guān)于課堂練習(xí)設(shè)計的想法：

　　正確理解和使用平均值定理求某些函數(shù)的最值是教學(xué)難點．為突破難點，教師單方面強調(diào)是遠遠不夠的，只有讓學(xué)生通過自己的思考、嘗試，發(fā)現(xiàn)使用定理的三個條件缺一不可，才能大大加深學(xué)生對正確使用定理的理解，設(shè)計解法正誤討論能夠使學(xué)生嘗試失敗，并從失敗中找到錯誤原因，加深了對正確解法的理解，真正把新知識納入到原有認知結(jié)構(gòu)中．

　　3．培養(yǎng)應(yīng)用意識．

　　 教學(xué)中應(yīng)不失時機地使學(xué)生認識到數(shù)學(xué)源于客觀世界并反作用干客觀世界．為增強學(xué)生的應(yīng)用意識，在平時教學(xué)中就應(yīng)適當增加解答應(yīng)用問題的教學(xué)．本節(jié)課中設(shè)計了兩道應(yīng)用問題，用剛剛學(xué)過的數(shù)學(xué)知識解決了問題，使學(xué)生不禁感到“數(shù)學(xué)有用，要用數(shù)學(xué)”．

　　作業(yè)解答

　　思考題：

 ．當且僅當 ，即 時，上式取等號．所以當 時，函數(shù)y有最小值9，無最大值．

　　研究性題：設(shè)使用 年報廢最合算，由題意有；

年平均費用

當且僅當 ，即 時，取得最小值，即使用10年報廢最合算，年平均費用3萬元．

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