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圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系(一)
圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系(一)
教學(xué)目標(biāo)
1．使學(xué)生理解圓的旋轉(zhuǎn)不變性，理解圓心角、弦心距的概念；
2．使學(xué)生掌握?qǐng)A心角、弧、弦、弦心距之間的相等關(guān)系定理及推論，并初步學(xué)會(huì)運(yùn)用這些關(guān)系解決有關(guān)問題；
3．培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納的能力，向?qū)W生滲透旋轉(zhuǎn)變換的思想及由特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律．
教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
圓心角、弧、弦、弦心距之間的相等關(guān)系是重點(diǎn)；從圓的旋轉(zhuǎn)不變性出發(fā)，推出圓心角、弧、弦、弦心距之間的相等關(guān)系是難點(diǎn)．
教學(xué)過程設(shè)計(jì)
一、創(chuàng)設(shè)情景，引入新課
圓是軸對(duì)稱圖形．圓的這一性質(zhì)，幫助我們解決了圓的許多問題．今天我們?cè)賮硪黄鹧芯恳幌聢A還有哪些特性．
1．動(dòng)態(tài)演示，發(fā)現(xiàn)規(guī)律
投影出示圖7－47，并動(dòng)態(tài)顯示：平行四邊形繞對(duì)角線交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后．問：
(1)結(jié)果怎樣？
學(xué)生答：和原來的平行四邊形重合．
(2)這樣的圖形叫做什么圖形？
學(xué)生答：中心對(duì)稱圖形．
投影出示圖7－48，并動(dòng)態(tài)顯示：⊙O繞圓心O旋轉(zhuǎn)180°．由學(xué)生觀察后，歸納出：圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形．
投影繼續(xù)演示如圖7－49，讓直徑AB兩個(gè)端點(diǎn)A，B繞圓心旋轉(zhuǎn)30°，45°，
90°，讓學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？
得出：不論繞圓心旋轉(zhuǎn)多少度，都能夠和原來的圖形重合．
進(jìn)一步演示，讓圓繞著圓心旋轉(zhuǎn)任意角度α，你發(fā)現(xiàn)什么？
學(xué)生答：仍然與原來的圖形重合．
于是由學(xué)生歸納總結(jié)，得出圓所特有的性質(zhì)：圓的旋轉(zhuǎn)不變性．即圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度α，都能夠與原來的圖形重合．
2．圓心角，弦心距的概念．
我們?cè)谘芯繄A的旋轉(zhuǎn)不變性時(shí)，⊙O繞圓心O旋轉(zhuǎn)任意角度α后，出現(xiàn)一個(gè)角
∠AOB，請(qǐng)同學(xué)們觀察一下，這個(gè)角有什么特點(diǎn)？如圖7－50．(如有條件可電腦閃動(dòng)顯示圖形．)
在學(xué)生觀察的基礎(chǔ)上，由學(xué)生說出這個(gè)角的特點(diǎn)：頂點(diǎn)在圓心上．
在此基礎(chǔ)上，教師給出圓心角的定義，并板書．
頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．
再進(jìn)一步觀察，AB是∠AOB所對(duì)的弧，連結(jié)AB，弦AB既是圓心角∠AOB也是AB所對(duì)的弦．請(qǐng)同學(xué)們回憶，在學(xué)習(xí)垂徑定理時(shí)，常作的一條輔助線是什么？
學(xué)生答：過圓心O作弦AB的垂線．
在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師指出：點(diǎn)O到AB的垂直線段OM的長(zhǎng)度，即圓心到弦的距離叫做弦心距．如圖7－51．(教師板書定義)最后指出：這節(jié)課我們就來研究圓心角之間，以及它們所對(duì)的弧、弦、弦的弦心距之間的關(guān)系．(引出課題)
二、大膽猜想，發(fā)現(xiàn)定理
在圖7－52中，再畫一圓心角∠A′OB′，如果∠AOB=∠A′OB′，(變化顯示兩角相等)再作出它們所對(duì)的弦AB，A′B′和弦的弦心距OM，OM′，請(qǐng)大家大膽猜想，其余三組量 與 ，弦AB與A′B′，弦心距OM與OM′的大小關(guān)系如何？
學(xué)生很容易猜出： = ，AB=A′B′，OM=OM′．
教師進(jìn)一步提問：同學(xué)們剛才的發(fā)現(xiàn)僅僅是感性認(rèn)識(shí)，猜想是否正確，必須進(jìn)行證明，怎樣證明呢？
學(xué)生最容易想到的是證全等的方法，但得不到 = ，怎樣證明弧相等呢？
讓學(xué)生思考并啟發(fā)學(xué)生回憶等弧的定義是什么？
學(xué)生：在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫等弧．
請(qǐng)同學(xué)們想一想，你用什么方法讓 和 重合呢？
學(xué)生：旋轉(zhuǎn)．
下面我們就來嘗試?yán)眯D(zhuǎn)變換的思想證明 = ．
把∠AOB連同 旋轉(zhuǎn)，使OA與OA′重合，電腦開始顯示旋轉(zhuǎn)過程．教師邊演示邊提問．
我們發(fā)現(xiàn)射線OB與射線OB′也會(huì)重合，為什么？
學(xué)生：因?yàn)椤螦OB=∠A′OB′，
所以射線OB與射線OB′重合．
要證明 與 重合，關(guān)鍵在于點(diǎn)A與點(diǎn)A′，點(diǎn)B與點(diǎn)B′是否分別重合．這兩對(duì)點(diǎn)分別重合嗎？
學(xué)生：重合．
你能說明理由嗎？
學(xué)生：因?yàn)镺A=OA′，OB=OB′，
所以點(diǎn)A與點(diǎn)A′重合，點(diǎn)B與點(diǎn)B′重合．
當(dāng)兩段孤的兩個(gè)端點(diǎn)重合后，我們可以得到哪些量重合呢？
學(xué)生： 與 重合，弦AB與A′B′重合，OM與OM′重合．
為什么OM也與OM′重合呢？
學(xué)生：根據(jù)垂線的唯一性．
于是有結(jié)論： = ，AB=A′B′，OM＝OM′．
以上證明運(yùn)用了圓的旋轉(zhuǎn)不變性．得到結(jié)論后，教師板書證明過程，并引導(dǎo)學(xué)生用簡(jiǎn)潔的文字?jǐn)⑹鲞@個(gè)真命題．
教師板書定理．
定理：在同圓____中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等．
教師引導(dǎo)學(xué)生補(bǔ)全定理內(nèi)容．
投影顯示如圖7－53，⊙O與⊙O′為等圓，∠AOB=∠A′O′B′，OM與
O′M′分別為AB與A′B′的弦心距，請(qǐng)學(xué)生回答 與 ．AB與A′B′，OM與O′M′還相等嗎？為什么？
在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師指出：以上三組量仍然相等，因?yàn)閮蓚�(gè)等圓可以疊合成同圓．(投影顯示疊合過程)
這樣通過疊合，把等圓轉(zhuǎn)化成了同圓，教師把定理補(bǔ)充完整．
然后，請(qǐng)同學(xué)們思考定理的條件和結(jié)論分別是什么？并回答：
定理是在同圓或等圓這個(gè)大前提下，已知圓心角相等，得出其余三組量相等．請(qǐng)同學(xué)們思考，在這個(gè)大前提下，把圓心角相等與三個(gè)結(jié)論中的任何一個(gè)交換位置，可以得到三個(gè)新命題，這三個(gè)命題是真命題嗎？如何證明？
在學(xué)生討論的基礎(chǔ)上，簡(jiǎn)單地說明證明方法．
最后，教師把這四個(gè)真命題概括起來，得到定理的推論．
請(qǐng)學(xué)生歸納，教師板書．
推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．
三、鞏固應(yīng)用、變式練習(xí)
例1 判斷題，下列說法正確嗎？為什么？
(1)如圖7－54：因?yàn)椤螦OB=∠A′OB′，所以AB= ．
(2)在⊙O和⊙O′中，如果弦AB=A′B′，那么 = ．
分析：(1)、(2)都是不對(duì)的．在圖7－54中，因?yàn)?和 不在同圓或等圓中，不能用定理．對(duì)于(2)也缺少了等圓的條件．可讓學(xué)生舉反例說明．
例2 如圖7－55，點(diǎn)P在⊙O上，點(diǎn)O在∠EPF的角平分線上，∠EPF的兩邊交⊙O于點(diǎn)A和B．求證：PA=PB．
讓學(xué)生先思考，再敘述思路，教師板書示范．
證明：作OM⊥PA，ON⊥PB，垂足為M，N．
把P點(diǎn)當(dāng)做運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，將例2演變?nèi)缦拢?/p>
變式1(投影打出)
已知：如圖7－56，點(diǎn)O在∠EPF的平分線上，⊙O和∠EPF的兩邊分別交于點(diǎn)A，B和C，D．
求證：AB=CD．
師生共同分析之后，由學(xué)生口述證明過程．
變式2(投影打出)
已知：如圖7－57，⊙O的弦AB，CD相交于點(diǎn)P，∠APO=∠CPO，
求證：AB=CD．
由學(xué)生口述證題思路．
說明：這組例題均是利用弦心距相等來證明弦相等的問題，當(dāng)然，也可利用其它方法來證，只不過前者較為簡(jiǎn)便．
練習(xí)1 已知：如圖7－58，AD=BC．
求證：AB=CD．
師生共同分析后，學(xué)生練習(xí)，一學(xué)生上黑板板演．
變式練習(xí)．已知：如圖7－58， = ，求證：AB=CD．
四、師生共同小結(jié)
教師提問：
(1)這節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些具體內(nèi)容？
(2)本節(jié)的定理和推論是用什么方法證明的？
(3)應(yīng)注意哪些問題？
在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師總結(jié)．
(1)這節(jié)課主要學(xué)習(xí)了兩部分內(nèi)容：一是證明了圓是中心對(duì)稱圖形．得到圓的特性——圓的旋轉(zhuǎn)不變性；二是學(xué)習(xí)了在同圓或等圓中，圓心角、圓心角所對(duì)的弧、所對(duì)的弦、所對(duì)的弦的弦心距之間的關(guān)系定理及推論．這些內(nèi)容是我們今后證明弧相等、弦相等、角相等的重要依據(jù)．
(2)本節(jié)通過觀察——猜想——論證的方法，從運(yùn)動(dòng)變化中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出定理及推論，同時(shí)遵循由特殊到一般的思維認(rèn)識(shí)規(guī)律，滲透了旋轉(zhuǎn)變換的思想．
(3)在運(yùn)用定理及推論解題時(shí)，必須注意要有“在同圓或等圓”這一前提條件．
五、布置作業(yè)
思考題：已知AB和CD是⊙O的兩條弦，OM和ON分別是AB和 CD的弦心距，如果AB＞CD，那么OM和ON有什么關(guān)系？為什么？
板書設(shè)計(jì)
課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明
這份教案為1課時(shí)．
如果內(nèi)容多，部分練習(xí)題可在下節(jié)課中處理．
——摘自《初中幾何教案》
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