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雙曲線的幾何性質(zhì)數(shù)學(xué)教案設(shè)計(jì)
作為一名優(yōu)秀的教育工作者，編寫(xiě)教案是必不可少的，教案有助于學(xué)生理解并掌握系統(tǒng)的知識(shí)。那么大家知道正規(guī)的教案是怎么寫(xiě)的嗎？以下是小編精心整理的雙曲線的幾何性質(zhì)數(shù)學(xué)教案設(shè)計(jì)，歡迎閱讀與收藏。
�。ㄒ唬┱n時(shí)目標(biāo)
1．熟悉雙曲線的幾何性質(zhì)。
2．能理解離心率的大小對(duì)雙曲線形狀的影響。
3．能運(yùn)用雙曲線的幾何性質(zhì)或圖形特征，確定焦點(diǎn)的位置，會(huì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
（二）教學(xué)過(guò)程
[情景設(shè)置]
敘述橢圓的幾何性質(zhì)，并填寫(xiě)下表：
方程
性質(zhì)
圖像（略）
范圍-a≤x≤a，-b≤y≤b
對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心
頂點(diǎn)（±a，0）、（±b，0）
離心率e=(幾何意義)
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1．類(lèi)比橢圓的幾何性質(zhì)，探討雙曲線的幾何性質(zhì)：范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率。
雙曲線的實(shí)軸、虛軸、實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)及離心率的定義。
雙曲線與橢圓的幾何性質(zhì)對(duì)比如下：
方程
性質(zhì)
圖像（略）（略）
范圍-a≤x≤a，-b≤y≤bx≥a，或x≤-a，y∈R
對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心
頂點(diǎn)（±a，0）、（±b，0）（-a，0）、（a，0）
離心率0＜e=＜1
e=＞1
下面繼續(xù)研究離心率的幾何意義：
�。╝、b、c、e關(guān)系：c2=a2+b2， e=＞1）
2。漸近線的發(fā)現(xiàn)與論證
根據(jù)橢圓的上述四個(gè)性質(zhì)，能較為準(zhǔn)確地把 畫(huà)出來(lái)嗎？（能）
根據(jù)上述雙曲線的四個(gè)性質(zhì)，能較為準(zhǔn)確地把 畫(huà)出來(lái)嗎？（不能）
通過(guò)列表描點(diǎn)，能把雙曲線的頂點(diǎn)及附近的點(diǎn)，比較精確地畫(huà)出來(lái)，但雙曲線向何處伸展就不很清楚。
我們能較為準(zhǔn)確地畫(huà)出曲線y=，這是為什么？（因?yàn)楫?dāng)雙曲線伸向遠(yuǎn)處時(shí)，它與x軸、y軸無(wú)限接近）此時(shí)，x軸、y軸叫做曲線y=的漸近線。
問(wèn)：雙曲線 有沒(méi)有漸近線呢？若有，又該是怎樣的直線呢？
引導(dǎo)猜想：在研究雙曲線的范圍時(shí)，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可解出：
y=± =±
當(dāng)x無(wú)限增大時(shí)， 就無(wú)限趨近于零，也就是說(shuō)，這是雙曲線y=±
與直線y=± 無(wú)限接近。
這使我們猜想直線y=± 為雙曲線的漸近線。
直線y=± 恰好是過(guò)實(shí)軸端點(diǎn)A1、A2，虛軸端點(diǎn)B1、B2，作平行于坐標(biāo)軸的直線x=±a， y=±b所成的矩形的兩條對(duì)角線，那么，如何證明雙曲線上的點(diǎn)沿曲線向遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)時(shí)，與漸近線越來(lái)越接近呢？顯然，只要考慮第一象限即可。
證法1：如圖，設(shè)M（x0，y0）為第一象限內(nèi)雙曲線 上的仍一點(diǎn)，則
y0= ，M（x0，y0）到漸近線ay-bx=0的距離為：
∣MQ∣= =
= ．
點(diǎn)M向遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)， x0隨著增大，∣MQ∣就逐漸減小，M點(diǎn)就無(wú)限接近于 y=
故把y=± 叫做雙曲線 的漸近線。
3．離心率的幾何意義
∵e=，c＞a， ∴e＞1由等式c2-a2=b2，可得 ===
e越小（接近于1） 越接近于0，雙曲線開(kāi)口越�。ū猹M）
e越大 越大，雙曲線開(kāi)口越大（開(kāi)闊）
4．鞏固練習(xí)
求下列雙曲線的漸近線方程，并畫(huà)出雙曲線。
①4x2-y2=4 ②4x2-y2=-4
已知雙曲線的漸近線方程為x±2y=0，分別求出過(guò)以下各點(diǎn)的雙曲線方程
�、費(fèi)（4， ） ②M（4， ）
[知識(shí)應(yīng)用與解題研究]
例 1 求雙曲線9y2-16x2=144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程。
例2 雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面，如圖；它的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為25m，高為55m，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程（精確到1m）
�。ㄋ模┨釤捒偨Y(jié)
1、雙曲線的幾何性質(zhì)及a、b、c、e的關(guān)系。
2、漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，其發(fā)現(xiàn)證明蘊(yùn)含了重要的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法。
3、雙曲線的幾何性質(zhì)與橢圓的幾何性質(zhì)類(lèi)似點(diǎn)和不同點(diǎn)。
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