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壽險中的破產(chǎn)理論及應(yīng)用
一、引言在我國保險公司的運(yùn)作中，保費(fèi)收入是主要收入來源，理陪是主要風(fēng)險因素，為了保障保險公司的正常運(yùn)作，保險公司必須充分考慮所面臨的風(fēng)險，而破產(chǎn)理論的研究主要針對保險公司如何估計所面臨的風(fēng)險，它主要研究在較長時間上保險公司發(fā)生盈余或破產(chǎn)的概率，以前我們所研究的破產(chǎn)理論主要是針對非壽險進(jìn)行研究，并且主要考慮在理賠次數(shù)N(t)為泊松過程，理賠額S(t)為復(fù)合泊松過程情況下的盈余過程，在非壽險研究中得到一個Lundberg不等式，這個破產(chǎn)概率上界為保險公司的風(fēng)險分析提供了有力工具。
本文利用（文獻(xiàn)[1]）風(fēng)險理論，考慮在壽險中破產(chǎn)理論的研究，得到壽險破產(chǎn)模型，設(shè)計了求解壽險中的破產(chǎn)概率的一種算法，并得到壽險破產(chǎn)概率的一個上界。
二、單一年齡結(jié)構(gòu)下的破產(chǎn)模型
設(shè)壽險中，剛投保時（t=0時刻），年齡均為x的被保險人有n[,1]個，每個被保險人的死亡概率遵循相同的生命表，初始準(zhǔn)備金為u[,1]，并且設(shè)
n[,k]：第k年年初時的被保險人數(shù)
c：被保險人每年所交的保險費(fèi)
d[,k]：第k年內(nèi)(k,k+1)被保險人死亡的人數(shù) (1)
q[,x]；被保險人在(x,x+1)死亡的人數(shù)的概率
b：每個被保險人死亡時，保險人要支付的保險金
由此假定我們知：
t=0時刻被保險人的總數(shù)n[,1],n[,k]=n[,k+1]+d[,k]。
定義1 對任意t＞0，設(shè)c＞0為單位時間內(nèi)的保費(fèi)收入率，s(t)為到時刻t保險公司支付的理賠總額，u(0)=u為時刻0時的初始準(zhǔn)備金，則
u(t)=u+ct-s(t) (2)
稱為時刻t時的盈余
由(2)可見：這里的盈余并沒有考慮除了保費(fèi)和理賠以外的影響盈余的因素，如附加費(fèi)和保單持有人的分紅等，顯然，這種盈余并不是財務(wù)意義上的盈余，只是為了數(shù)學(xué)上處理方便而已…當(dāng)盈余在某一時刻為負(fù)時，我們稱“破產(chǎn)”發(fā)生，既然此處盈余并不是財務(wù)意義上的盈余，則此時破產(chǎn)就不等價于保險公司真的破產(chǎn)，但破產(chǎn)是衡量保險公司金融風(fēng)險的極其重要的尺度。我們僅定義時間不連續(xù)時的破產(chǎn)概率
定義2 稱Ψ[,t](u,n)=Pr｛u(t)＜0/｛u(τ)≥0，對某τ,τ=1,2,…t-1｝，為給定u,n時，第t年首次出現(xiàn)破產(chǎn)的概率。
設(shè)u[,k]表示第k年年初的準(zhǔn)備金，且此時尚未收取第k年的保險費(fèi)，v[,k]表示第k年年末的準(zhǔn)備金，且此時尚未支付第k年年末的保險金，i是常數(shù)利率，則
v[,k]=(u[,k]+n[,k]c)(1+i) u[,k+1]=v[,k]-bd[,k]
定理1 壽險中，設(shè)初始準(zhǔn)備金為u[,1],t=0時刻被保險人的總數(shù)n[,1]，且，c,q[,x],b滿足(1)的假設(shè)條件，則保險人在第t年末的破產(chǎn)概率
附圖
證明：被保險人在第一年末，可能發(fā)生死亡也可能不發(fā)生死亡，當(dāng)死亡時，保險人由于支付保險金，可能導(dǎo)致破產(chǎn)發(fā)生，也可能不發(fā)生破產(chǎn)，我們考慮臨界狀態(tài)：即第1年年初所收保費(fèi)與初始準(zhǔn)備金之和等于第一年年末支付的保險金。bd[,1]=(u[,1]+n[,1]c)(1+i)，即
附圖
對給定的n[,1]，在第1年內(nèi)死亡人數(shù)的概率分布服從參數(shù)為(n[,1],q[,x])的二項分布，由此我們推得：
附圖
注：定理1給出求解破產(chǎn)概率的公式，實際上我們可以利用迭代法求解保險期內(nèi)任意年的破產(chǎn)概率。
實際上，壽險保險人數(shù)相當(dāng)大，而且被保險人死亡的概率非常小，存活過保險期的人數(shù)也相當(dāng)大。我們知道二項分布中當(dāng)n[,1]充分大，q[,x]充分小時，由概率論中泊松定理知，泊松分布可更好逼近二項分布，記λ[,1]=n[,1]q[,x]，由泊松定理及定理1可得：
推論1 壽險中，設(shè)初始準(zhǔn)備金為u[,1],t=0時刻被保險人的總數(shù)n[,1]，且c,d[,k],q[,x],b滿足(1)的假設(shè)條件，則保險人在第t年末的破產(chǎn)概率
附圖
三、不同年齡結(jié)構(gòu)下的破產(chǎn)模型
為便于研究，對壽險中的被保險人進(jìn)行分組，不妨設(shè)，剛投保時（t=0時刻），年齡為x(j)的被保險人有n[,1](j)個，共分成m組（這m組相互獨(dú)立，且每個被保險人的死亡概率遵循相同的生命表），初始準(zhǔn)備金為u[,1]，并且設(shè)
n[,k](j)表示第k年年初時的第j組的被保險人數(shù)
c(j)表示第j組的被保險人每年所交的保險費(fèi) (3)
d[,k](j)表示第k年內(nèi)(k,k+1)第j組保險人死亡的人數(shù)
q[,x(j)]表示第j組被保險人在(x,x+1)死亡的人數(shù)的概率
b表示每個被保險人死亡時保險人要支付的保險金
由此假定我們知：
附圖
附圖
四、破產(chǎn)概率上界
在非壽險破產(chǎn)理論研究中，人們得到破產(chǎn)概率的上界，即Lundberg不等式。本文證明了在壽險破產(chǎn)理論研究中，破產(chǎn)概率的上界仍然滿足Lundberg不等式。
附圖
附圖
定理2 壽險中，初始準(zhǔn)備金為u[,1]，初始投保人數(shù)為N，則保險人的破產(chǎn)概率滿足：
附圖
由定理2我們看到當(dāng)初始準(zhǔn)備金u增大（減�。⿻r，破產(chǎn)概率上界減少（增大），即破產(chǎn)概率相應(yīng)減小（增大），u趨于無窮時，破產(chǎn)概率為0。
五、算例
設(shè)對于保險期限為10年期的定期保險，有兩組被保險人，當(dāng)t=0時，第一組被保險人數(shù)50人，年齡為40歲，第二組被保險人數(shù)100人，年齡為50歲，第一組被保險人每年交150元人民幣，第二組被保險人每年交250元人民幣，假定每個被保險人死亡時，保險人支付30000元人民幣保險金，利率i=0.03，死亡率遵循[2]附錄的生命表，由推論2和定理2可得：初始準(zhǔn)備金為一萬元人民幣時，破產(chǎn)概率上界=0.36788
附圖
初始準(zhǔn)備金為0時，破產(chǎn)概率上界=1
由此我們看到初始準(zhǔn)備金增加時，破產(chǎn)概率減小，破產(chǎn)概率上界減小。
附圖
六、結(jié)論
本文對壽險中破產(chǎn)理論進(jìn)行研究，給出了壽險中求解破產(chǎn)概率的一種算法，這種算法對于求解非壽險的破產(chǎn)概率仍然成立，并得到具有與非壽險破產(chǎn)概率相同的上界。這對促進(jìn)壽險和非壽險風(fēng)險理論研究的統(tǒng)一，具有拋磚引玉的作用。但在考慮影響保險公司盈余的附加費(fèi)和保單持有人分紅等因素在破產(chǎn)理論中的研究仍需進(jìn)一步探討。
【責(zé)任編輯】黃立虎
【參考文獻(xiàn)】
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5 Thomas Siegl,Robert F.Tichy.Ruin theory with risk proportional to the free reserve and securitization[J].Insurance: mathematics and Economics,1999,26:59-73.
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