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小學數(shù)學教學中邏輯規(guī)律的引入
逐步發(fā)展學生初步的邏輯思維能力是小學數(shù)學教學的主要任務之一。結合教學內容科學地、有意識地將邏 輯規(guī)律引進教學，在教學過程中加以滲透，既有利于小學生掌握數(shù)學基礎知識和基本技能，又能培養(yǎng)他們的初 步邏輯思維能力。一、知識結構、邏輯推理及相互間的關系。
在小學數(shù)學教學中，構建良好的數(shù)學知識結構是培養(yǎng)發(fā)展學生邏輯思維能力的一個重要途徑。烏辛斯基早 就指出：“所謂智力發(fā)展不是別的，只是很好組織起來的知識體系�！倍R體系因為其內在的邏輯結構而獲 得邏輯意義。數(shù)學中基本的概念、性質、法則、公式等都是遵循科學的邏輯性構成的。
“數(shù)學作為一種演繹系統(tǒng)，它的重要特點是，除了它的基本概念以外，其余一切概念都是通過定義引入的 �！边@種演繹系統(tǒng)一方面使得數(shù)學內容以邏輯意義相關聯(lián)。另一方面從知識結構所蘊含的邏輯思維形式中得到 的研究方法（如邏輯推理等），再去獲取更多的知識。如學習“能同時被2、5整除的數(shù)的特征”時，我們是通 過演繹推理得到的：
所有能被2整除的數(shù)的末尾是0、2、4、6、8；
所有能被5整除的數(shù)的末尾是0、5；
因此，能同時被2、5整除的數(shù)的末尾是0。
數(shù)學中的這種推理形式一旦被學生所熟識，他們又會運用它在已有知識的基礎上作出新的判斷和推理。
學生知識的習得和構建，主要依賴認知結構中原有的適當觀念，去影響和促進新的理解、掌握，溝通新上 知識的互相聯(lián)系，形成新的認知結構系統(tǒng)，這是數(shù)學知識學習過程中的同化現(xiàn)象。它包含三方面的內容：一是 新舊知識建立下位聯(lián)系；二是新舊知識建立上位聯(lián)系；三是新舊知識建立聯(lián)合意義。這三方面與邏輯結構中的 三類推理恰好建立相應的聯(lián)系。推理，是從一個或幾個已知的判斷得出新的判斷的過程。通常有：演繹推理（ 從一般性的前提推出特殊性結論的推理）；歸納推理（從特殊的前提推出一般結論的推理）；類比推理（從特 殊的前提推出特殊結論的推理或從一般前提推出一般結論的推理）。如：教學“循環(huán)小數(shù)”時，先在黑板上出 示算式1.2÷0.3=4、1÷2=0.5、4.8÷4=1.2、0.666÷2=0.333；1÷3=0.333……、70.7÷33=2.14242……、29 9÷37=8.081081……等。觀察各式的商學生們直觀認識到：小數(shù)有有限小數(shù)、無限小數(shù)之分。進而從一組無限 小數(shù)中，發(fā)現(xiàn)了循環(huán)小數(shù)的本質屬性，得到了循環(huán)小數(shù)的定義。由兩個或幾個單稱判斷10.333…的數(shù)字3依次不 斷地重復出現(xiàn)，2.14242…的數(shù)字42依次不斷重復出現(xiàn)等，得出一個新的全稱判斷（循環(huán)小數(shù)的定義）是歸納推 理的一種方法。
在教學的過程中，教師結合教學內容，有意識地把邏輯規(guī)律引入教學，注意示范、點撥，顯然是有利于發(fā) 展學生的邏輯思維能力。
二、邏輯推理在教與學過程中的應用。
1.如果原有的認知結構觀念極其抽象，概括性和包容性高于新知識，新舊知識建立下位聯(lián)系、新知識從屬 于舊知識時，那么宜適當運用演繹推理的規(guī)則，由一般性的前提推出特殊性的結論。
“演繹的實質就是認為每一特殊（具體）情況應當看作一般情況的特例”。為了得以關于某一對象的具體 知識，先要找出這一對象的類（最近的類概念），再將這一對象的類的屬性應用于哪個對象。如：運用乘法分 配律簡便運算時，學生必須以清晰、穩(wěn)固的乘法分配律知識為基礎，才能得出：
999×999+999=999×(999+1)=999000
這里999×999+999=999×(999+1)是根據一般性判斷a×c+b×c=(a+b)×c推出的。當學生理解這種推理的順 序，且懂得要使演繹推理正確，首先要前提正確，并學會使用這樣的語言：
只有兩個約數(shù)（1和它本身）的數(shù)是質數(shù)；
101只有兩個約數(shù)；
101是質數(shù)。
那么，符合形式邏輯的演繹法則就初步被學生所掌握。
在知識層面中，這種類屬過程的多次進行，就導致知識不斷產生新的層次，其邏輯結構就越加嚴密，新的 知識也就會不斷分化和精確化，就可以逐漸演繹出新的類屬性的具體知識。教學中正確把握這種結構，用演繹 推理的手段組織學習過程，不但能培養(yǎng)學生的思考方法，理解內容的邏輯結構，還能提高學生的模式辨認能力 ，縮短推理過程，快速找到解題途徑。
在新舊知識建立下位聯(lián)系時，整個類屬過程可分化為兩種情況。
(1)當新知識從屬于舊知識時，新知識只是舊知識的派生物�？梢詮脑姓J識結構中直接推衍。新知識可以 直接納入原有的認知結構中。
如學生已學過兩位數(shù)的筆算，清晰而穩(wěn)固地掌握了加法的計算法則，現(xiàn)在要學三、四位數(shù)的加法，只要讓 學生思考并回憶兩位數(shù)加法計算的表象結構，適當?shù)攸c撥一下三、四位數(shù)加法與兩位數(shù)加法有相同的筆算法則 ，學生就能順利解決新課題。新知識很快被舊知識同化，并使原有筆算法則得到充實新的知識獲得意義。雖然 這些知識的外延得到擴大，但內涵不變。
教學中，掌握這些知識的內涵的邏輯結構，就會有一個清晰的教學思路，就會自覺地運用演繹推理的手段 ，與學生一起愉快地順利地進行下位學習。就不會在講三、四位數(shù)加法時，著眼于竭力以三、四位數(shù)加法為例 證，說明加法的計算法則。
(2)新知識類屬于原有較高概括性的觀念中，但不能從原有上位觀念中直接派生出來，而需要對原有知識作 部分的改組，才能同化新知識。新知識納入原有知識后，原有知識得到擴展、加深、限制、修飾和精確化。新 舊知識之間處于相關類屬。這時，運用演繹推理之前，先要對原有知識作部分改組，請出一個“組織者”，再 步步演繹。（為新知識生長提供觀念上的“固定點”，增加新舊知識間的可辨性，充當新舊知識聯(lián)系的“認知 橋梁”，奧蘇伯爾稱它為“先行組織者”簡稱“組織者”。）
如學生已掌握了長方形面積計算公式：S=ab，現(xiàn)在要學習正方形的面積計算公式，這就要對長方形進行改 組，把它的長改成與寬相等(a=b)，于是“正方形面積計算”可被“長方形面積計算”同化，當a=b時，S=ab=a ·a=a[2,]。又如教圓面積之前，向學生演示或讓學生動手操作，把圓適當分割后拼成近似長方形，由長方形面 積公式導出圓面積計算公式。其間以直代曲，是由舊知識導向新知識的認知橋梁，是由演繹推理構建新知識時 ，找到的觀念上固定點。找到固定點后圓面積的計算被長方形面積同化，于是面積計算規(guī)則從直線封閉圖形的 計算，推廣到曲線封閉圖形的計算，擴展加深了對原有面積計算規(guī)則的認識內容，使有關面積計算的認識結構 趨向精確化。
2.如果原有認識結構已形成幾個觀念，要在原有的觀念上學習一個抽象、概括和包容性高于舊知識的新知 識，即新舊知識建立上位聯(lián)系時，那么適當運用歸納推理的規(guī)則，可由特殊的前提推出一般性的結論。當需要 研究某一對象集時，先要研究各個對象（情況），從中找出整個對象集所具有的性質，這就是歸納推理。歸納 推理的基礎是觀察和試驗，是從具體的、特殊的情況過渡到一般情況（結論、推論）。
教材中關于概念的形成，運算法則和運算定律、性質得出，一般是通過歸納推理得到的。如分數(shù)的初步認 識。在學習前，學生認知結構中已有了分數(shù)的某些具體經驗，加上教材提供的和教師列舉的生活實例和圖形。 如：一個蘋果平均分成兩份，每份是它的1/2，一根鋼管平均截成三段，每段是它的1/3，一張紙平均分成4份， 每份是這張紙的1/4……所有這些操作和演示都讓學生認識到幾分之一這個概念。隨后，再認識幾分之幾。這種 不完全的歸納推理，是在考察了問題的若干個具體特例后，從中找出的規(guī)律。（嚴格地說，由不完全歸納法推 理得到的結論還需要論證，才能判定它的正確性。）
運用歸納推理傳授知識時，要根據學生的實際經驗，選取典型的特例，并能夠通過典型特例的推理得出一 般性的結論。又要用這個“一般結論”，去解決具體特例。在教與學的進程中，歸納和演繹不是孤立地出現(xiàn)的 ，它們緊密交織在一起。
3.如果新舊知識間既不產生從屬關系，又不能產生上位關系，但是新知識同原有知識有某種吻合關系或類 比關系，則新舊知識間可產生并列關系。那么可以運用類比推理。
教材中，商不變性質和分數(shù)基本性質，乘數(shù)是整數(shù)的乘法和乘數(shù)是分數(shù)的乘法等，學習這類與舊知識處于 并列結合關系的新知識時，既不能以上位演繹推理到下位，又不能以下位歸納推理到上位，只能采用類比推理 。如五年級學習“一輛卡車平均每小時行40千米，0.3小時行了多少千米？”時，學生還無法根據小數(shù)乘法的意 義列出此題的解答等式。所以，教學中一般用整數(shù)乘法中的數(shù)量關系相類推。
原有的認知結構中，整數(shù)乘法與小數(shù)乘法只是一般的非特殊的并列結合關系。新知識的學習，只能利用原 有知識中的一般的和非特殊的有關內容進行同化。
由于學生們對事物間“相同程度”判斷不明確，有時因為錯誤的類比，即“有害的”類比，而造成結論性 的錯誤。如學了“20朵黃花比18朵紅花多2朵”，也可以說成“18朵紅花比黃花少2朵”，就把：“甲數(shù)比乙數(shù) 多20%”就可以說成“乙數(shù)比甲數(shù)少20%”。教師應當及時指出這些類比錯誤，同時讓學生懂得，由類比得出的 結論必須加以驗證，同時，經常作一些類比上的選擇或判斷性的練習，幫助他們不要做錯誤的類比。
新舊知識的三種聯(lián)系與三類推理相呼應，不是一種巧合，是知識結構本身科學的邏輯結構使然。正確地運 用邏輯推理的原則可以將學生的認識結構分化的程度提高，教師會不斷注意新知識的穩(wěn)定性、清晰性，新知識 的固定點、生長點。數(shù)學教學更富有科學意義。
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