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幾何初步知識(shí)教學(xué)要求綜述
數(shù)學(xué)的內(nèi)容不外乎數(shù)與形兩大部分，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容也不例外。新頒布的《九年義務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用）》（下稱“新大綱”）對(duì)幾何初步知識(shí)的教學(xué)作了一些重要的改革，教學(xué)要求更加明確�，F(xiàn)就我個(gè)人的體會(huì)，從“歷史的回顧”、“三點(diǎn)重要的改革”以及“具體的教學(xué)要求”三個(gè)方面分別闡述，和廣大老師們共同討論。一、歷史的回顧
我國(guó)對(duì)幾何學(xué)的研究有著悠久的歷史，翻開(kāi)二千多年前已經(jīng)成書(shū)的《九章算術(shù)》看一看，書(shū)中對(duì)許多平面圖形及其面積的求法已有詳細(xì)的記載。首先，它把一些平面圖形稱之為“田”，如方田（指正方形）、直田（指長(zhǎng)方形）、圭田（指三角形）、斜田（指梯形）。這里充分說(shuō)明人們是在一系列測(cè)田畝、定四時(shí)的農(nóng)業(yè)活動(dòng)中，逐步形成一些幾何形體概念的。同時(shí)，書(shū)中還記載了三角形的面積是“半廣以乘正從”，這里講的“廣”是指矩形，“正從”是指高，意思是把三角形割補(bǔ)成矩形，取其底長(zhǎng)的一半再乘高，便是三角形的面積；再看圓的面積，“半周半徑相乘得積步”，“積步”是當(dāng)時(shí)的面積單位“平方步”，就是說(shuō)圓周的一半與半徑相乘，用今日的圓面積公式表示，即。至于祖沖之的圓周率，更是早于印度半個(gè)世紀(jì)，早于歐洲一千多年。我國(guó)輝煌的幾何學(xué)成就，是我國(guó)寶貴的文化遺產(chǎn)之一。
然而，幾何作為一門學(xué)科開(kāi)設(shè)，在我國(guó)基礎(chǔ)教育，尤其是小學(xué)教育中，則是很晚的事了。一直到清政府制定的《奏定學(xué)堂章程》（1903年）中，才明確在小學(xué)設(shè)算術(shù)課，其中有一章和幾何有關(guān)，就是“求積”，內(nèi)容是田畝的算。
解放以后，隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，幾何初步知識(shí)在小學(xué)算術(shù)中所占的地位也逐步明確。1952年的《小學(xué)算術(shù)教學(xué)大綱（草案）》規(guī)定的內(nèi)容是：直線、線段、直角、正方形和長(zhǎng)方形（包括面積）、正方體和長(zhǎng)方體（包括體積）。1956年的《小學(xué)算術(shù)教學(xué)大綱（修訂草案）》又增加了角、三角形的認(rèn)識(shí)及其面積等內(nèi)容。1963年《全日制小學(xué)算術(shù)教學(xué)大綱（草案）》又增加了以下內(nèi)容：垂線和平行線，圓（包括周長(zhǎng)與面積），平行四邊形和梯形（包括它們的面積），圓柱、圓錐、棱柱、棱錐（包括它們的面積）；同時(shí)還學(xué)習(xí)一些最簡(jiǎn)單的作圖和測(cè)量。1963年的大綱是學(xué)習(xí)幾何知識(shí)最多的一個(gè)大綱。
經(jīng)過(guò)十年動(dòng)亂后，1978年在調(diào)查研究基礎(chǔ)上，頒布了《全日制十年制學(xué)校小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試行草案）》，對(duì)1963年規(guī)定的內(nèi)容作了調(diào)整，刪去較難的棱柱、棱錐，增加了扇形�，F(xiàn)行教學(xué)大綱（指1986年由國(guó)家教委正式制訂的《全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》）規(guī)定的內(nèi)容與1978年的相同。
綜上所述，我們可以看到小學(xué)幾何初步知識(shí)的內(nèi)容是隨著科技的進(jìn)步和基礎(chǔ)教育的發(fā)展而逐步增加、逐步完善的。因?yàn)閷W(xué)一些幾何知識(shí)是適應(yīng)小學(xué)生以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及將來(lái)參加生產(chǎn)建設(shè)的需要的，這是一個(gè)方面。而另一方面，還可以看到，幾十年來(lái)，我國(guó)小學(xué)幾何初步知識(shí)的教學(xué)仍始終未能完全突破“以求積為中心”的傳統(tǒng)觀念，忽視了空間觀念的培養(yǎng)，而這個(gè)問(wèn)題，則在新大綱中得到了較好的解決。
二、 新大綱中的三點(diǎn)改革
（一） 明確小學(xué)幾何初步知識(shí)的性質(zhì)——直觀幾何（實(shí)驗(yàn)幾何）。
從幾何發(fā)展的歷史中可以看到，人們對(duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí)首先根據(jù)生活、生活實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，依靠直覺(jué)觀察、反復(fù)實(shí)驗(yàn)而形成的（這一點(diǎn)在第一個(gè)問(wèn)題中已經(jīng)涉及）。很明確，不是靠后來(lái)人們整理時(shí)所運(yùn)用的邏輯推理而形成的。再看一下，小學(xué)生的思維又正處在由直觀表象思維為主向抽象邏輯思維為主的過(guò)渡階段，他們對(duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí)還相當(dāng)于人類早期認(rèn)識(shí)幾何的階段。因此，在小學(xué)階段學(xué)的應(yīng)該屬于直觀幾何，就是要通過(guò)他們自己的拼拼擺擺、折折疊疊、量量畫(huà)畫(huà)等實(shí)際操作，認(rèn)識(shí)圖形的某些特性，積累一定的空間觀念。這樣，可以為今后升入中學(xué)逐步學(xué)習(xí)論證幾何作好準(zhǔn)備。這里我想舉一個(gè)例子說(shuō)明。小學(xué)里學(xué)習(xí)“三角形的內(nèi)角和”時(shí)，總是用“撕角”拼成一個(gè)平角，或是用量角器量出三個(gè)角的度數(shù)，以此說(shuō)明其內(nèi)角和等于180°。這些方法看來(lái)是極為簡(jiǎn)單或者說(shuō)是比較“低級(jí)”的，因?yàn)樗臏?zhǔn)確度是有限的。如果采用邏輯證明，便可使人確信無(wú)疑。如下：
∠1+∠2+∠3=180°
證明：過(guò)A點(diǎn)作BC的平行線DE，
∠1=∠4 ∠2=∠5（內(nèi)錯(cuò)角相等）
∠4+∠3+∠5=180°
所以∠1+∠2+∠3=180°
但是，像上面這種推理方法，小學(xué)生是不能夠接受的，只是通過(guò)孩子們自己動(dòng)手撕撕、拼拼、量量、畫(huà)畫(huà)，直觀地“證明”或“發(fā)現(xiàn)”它們的關(guān)系，積累比較豐富的感性認(rèn)識(shí)，這樣才有可能為將來(lái)學(xué)習(xí)論證幾何打下良好的基礎(chǔ)。
為此，新大綱一再指出：“通過(guò)直觀學(xué)習(xí)一些幾何初步知識(shí)……”，強(qiáng)調(diào)“幾何初步知識(shí)的教學(xué)，要充分利用和創(chuàng)造各種條件，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)物體、模型的觀察、測(cè)量、拼擺、畫(huà)圖、制作、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)，掌握形體的基本特征和面積、體積的計(jì)算方法，并注意在實(shí)際中應(yīng)用，以利于培養(yǎng)初步的空間觀念。
（二）突破“以求積為中心”的框子，加強(qiáng)空間觀念的培養(yǎng)。
前面已經(jīng)提到1963年的大綱是幾何初步知識(shí)學(xué)得最多的，但是即使如此，這一大綱在加強(qiáng)“雙基”的指導(dǎo)思想之下，提出了“以四則計(jì)算為中心”，與其相應(yīng)的幾何初步知識(shí)是“以求積為中心”，因此，對(duì)空間觀念的培養(yǎng)仍是比較忽視。直到新大綱頒發(fā)前，雖然每個(gè)教學(xué)大綱都談到“初步的空間觀念”，但是什么是空間觀念？應(yīng)該怎樣培養(yǎng)？這些問(wèn)題都是含糊不清的。每次畢業(yè)考試中有關(guān)幾何的題目，也都是停留于求面積和體積。
新大綱首先回答了什么是空間觀念？空間觀念是在空間知覺(jué)基礎(chǔ)上形成起來(lái)的，它是形體的大小、形狀及其相互位置關(guān)系在人腦中的表象。新大綱又第一次比較恰當(dāng)而明確地指出了在小學(xué)階段培養(yǎng)初步空間觀念的“標(biāo)高”。這里包括三點(diǎn)要求：一是要求學(xué)生聽(tīng)到某一圖形的名稱，就能在頭腦中正確地再現(xiàn)它的形象；二是能夠獨(dú)立地看懂所畫(huà)出的已學(xué)過(guò)的平面及立體圖形，正確掌握它們的名稱；三是能夠在各種圖形或模型中，正確地找出自己所需要的圖形，恰當(dāng)?shù)匕阉鼈兎诸�。最后，新大綱又指出要充分利用各種條件，讓學(xué)生通過(guò)各種觀察、實(shí)際操作等活動(dòng)，獲取和運(yùn)用幾何初步知識(shí)，并在運(yùn)用過(guò)程中培養(yǎng)初步空間觀念。這樣，既明確了目標(biāo)，又指出了途徑，使初步空間觀念的培養(yǎng)落實(shí)在實(shí)處。
（三）幾何形體的認(rèn)識(shí)從低年級(jí)起合理安排。
這也是新大綱的一大特點(diǎn)。小學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識(shí)要由淺入深，空間觀念也靠逐步積累。從一年級(jí)起，每一年級(jí)都編排一些幾何初步知識(shí)，這是符合小學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，又有利于數(shù)形結(jié)合的，同時(shí)，算術(shù)與幾何交替學(xué)習(xí)，動(dòng)手又動(dòng)腦，也可更好地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
三、具體的教學(xué)要求
新大綱對(duì)幾何初步知識(shí)教學(xué)的具體要求，仔細(xì)分析起來(lái)可分為以下三個(gè)方面：
（一）空間觀念；
（二）求積計(jì)算；
（三）實(shí)際操作技能（指簡(jiǎn)單的測(cè)量、畫(huà)圖等）。
現(xiàn)將各年級(jí)的具體教學(xué)要求列表如下：
要求
空 間 觀 念
求 積 計(jì) 算
實(shí)際操作技能
年級(jí)
一年級(jí)
直觀認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形、正方形、三角形和圓。（有知識(shí)點(diǎn)，但不提教學(xué)要求）
直觀認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和球。（有知識(shí)點(diǎn)，但不提教學(xué)要求）
初步認(rèn)識(shí)直線和線段。
會(huì)量線段的長(zhǎng)度（限整厘米）。
二年級(jí)
初步認(rèn)識(shí)角和直角，知道角的各部分名稱。
初步掌握長(zhǎng)方形、正方形的特征，知道周長(zhǎng)的含義。
直觀認(rèn)識(shí)平行四邊形。
會(huì)計(jì)算長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)。
會(huì)用三角板判斷直角和畫(huà)直角。會(huì)在方格紙上畫(huà)長(zhǎng)方形和正方形。
三年級(jí)
知道面積的含義。
認(rèn)識(shí)面積單位（平方米、平方分米、平方厘米，公頃、平方千米）。
初步建立1平方米、1平方分米、1平方厘米的面積觀念。
掌握長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算公式。
四年級(jí)
認(rèn)識(shí)射線和角（直角、銳角、鈍角）。
知道角的大小。
初步認(rèn)識(shí)垂線和平行線。
掌握三角形、平行四邊形和梯形的特征。
△ 知道三角形內(nèi)角和。
△ 認(rèn)識(shí)組合圖形。
掌握長(zhǎng)方體、正方體的特征。知道體積的含義。
認(rèn)識(shí)常用的體積單位（立方米、立方分米、立方厘米、升、毫升）。
掌握平行四邊形、三角形和梯形的面積計(jì)算公式。
掌握長(zhǎng)方體和正方體的體積計(jì)算公式。
會(huì)計(jì)算長(zhǎng)方體和正方體的表面積。
初步學(xué)會(huì)用測(cè)量工具在地面上測(cè)定直線和測(cè)量較短的距離。
會(huì)用量角器量角和按照指定的度數(shù)畫(huà)角。
會(huì)用直尺和三角板畫(huà)垂線、平行線、長(zhǎng)方形和正方形。
五年級(jí)
認(rèn)識(shí)圓。
認(rèn)識(shí)扇形。
認(rèn)識(shí)圓柱和圓錐。
△ 初步認(rèn)識(shí)球的半徑和直徑。
掌握?qǐng)A周長(zhǎng)和圓面積的計(jì)算公式。會(huì)算圓柱的表面積和圓柱、圓錐的體積。
*通過(guò)介紹圓周率的史料，使學(xué)生受到思想教育。
會(huì)畫(huà)圓。
（注）①△指選學(xué)要求，*指思想品德教育。
②六年制的要求總的與五年制相同，只是分為六年安排。
根據(jù)上表，分析如下：
（一）空間觀念
小學(xué)生對(duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí)都基本屬于表象階段，因此，一般只描述其某些特征而不下定義。為了便于教師掌握其教學(xué)要求，新大綱中把它們由低到高分為“直觀認(rèn)識(shí)”、“初步認(rèn)識(shí)”、“認(rèn)識(shí)“和“掌握特征”四個(gè)層次。
直觀認(rèn)識(shí)——看到有關(guān)圖形、實(shí)物或模型，能初步認(rèn)識(shí)其外形，說(shuō)出名稱。
初步認(rèn)識(shí)——較前者略高一些，能略知圖形的一、兩個(gè)簡(jiǎn)單的特征。
認(rèn)識(shí)（知道）——較“初步認(rèn)識(shí)”又略高一些，知道圖形一般特征。
掌握特征——知道圖形某些本質(zhì)特征。這是認(rèn)識(shí)的最高層次，但仍不要求對(duì)概念下定義。
新大綱中對(duì)大多數(shù)的平面及立體圖形都分幾個(gè)層次逐步要求，目的是加強(qiáng)空間觀念的培養(yǎng)。例如：
1．直線、線段
一年級(jí)要求“初步認(rèn)識(shí)”，即知道把一根長(zhǎng)線拉緊，就成為直線；直線中的一段就是線段。四年級(jí)在認(rèn)識(shí)射線同時(shí)，再進(jìn)一步認(rèn)識(shí)直線和線段，知道直線沒(méi)有端點(diǎn)，可以無(wú)限延長(zhǎng)；線段有兩個(gè)端點(diǎn)；射線只有一個(gè)端點(diǎn)，另一端可以無(wú)限延長(zhǎng)。
2．角
二年級(jí)“初步認(rèn)識(shí)”，要求知道角有兩條邊和一個(gè)頂點(diǎn)，知道哪些實(shí)物的哪些部分是角。四年級(jí)要求“認(rèn)識(shí)”，知道從一點(diǎn)引出兩條射線，組成一個(gè)角，知道角的大小，知道角可分成直角、銳角、鈍角、平角和周角。
3．長(zhǎng)方形和正方形
一年級(jí)有直觀認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形和正方形的內(nèi)容，但不提要求，不作考核。二年級(jí)要初步掌握長(zhǎng)、正方形的特征，到三年級(jí)已學(xué)了計(jì)算它們的周長(zhǎng)和面積時(shí)，則要求進(jìn)一步掌握它們的特征。
4．平行四邊形
二年級(jí)要求“直觀認(rèn)識(shí)”，由于當(dāng)時(shí)還不認(rèn)識(shí)平行線，不可能知道平行四邊形的特征，只要求通過(guò)實(shí)物直觀地知道哪些是平行四邊形，哪些不是，如解放軍的領(lǐng)章是平行四邊形；也可以從擺弄七巧板中，挑出平行四邊形。這樣，到四年級(jí)便要求“掌握特征”，知道兩組對(duì)邊分別平行的四邊形就是平行四邊形。
5．三角形
三角形是兒童在日常生活中最常見(jiàn)的圖形之一。一年級(jí)只能“直觀認(rèn)識(shí)”，以后不斷發(fā)展，四年級(jí)要求“掌握特征”，知道三角形的穩(wěn)定性、三角形的分類、三角形的內(nèi)角和。
6．長(zhǎng)方體和正方體
由于小學(xué)生在入學(xué)前接觸過(guò)長(zhǎng)、正方體的實(shí)物，如積木等，為此，一年級(jí)只能“直觀認(rèn)識(shí)”，從外形能分辨什么樣的物體是長(zhǎng)方體，什么樣的物體是正方體，四年級(jí)再要求“掌握特征”。這樣逐步形成“體”的觀念。
7．圓和圓柱
圓和圓柱在孩子們?nèi)粘Ｉ钪幸踩菀滓?jiàn)到，但長(zhǎng)期以來(lái)到高年級(jí)才認(rèn)識(shí)，低于學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)識(shí)水平�，F(xiàn)改為一年級(jí)先“直觀認(rèn)識(shí)”，如認(rèn)識(shí)圓盤面是圓形、罐頭筒是圓柱體；到五年級(jí)再正式“認(rèn)識(shí)”，知道圓心、半徑和直徑，知道同一圓內(nèi)的半徑、直徑都相等；知道圓柱體上下兩底面是相等的圓形，側(cè)面展開(kāi)是長(zhǎng)方形。但這種認(rèn)識(shí)都沒(méi)有或沒(méi)有真正地揭示其本質(zhì)特征。
8．球
球體的認(rèn)識(shí)是新大綱所增加的內(nèi)容。分為兩個(gè)階段：一年級(jí)直觀認(rèn)識(shí)球，與直觀認(rèn)識(shí)圓同時(shí)進(jìn)行，以便從外形上使兒童能開(kāi)始體會(huì)一個(gè)是面，一個(gè)是體。到五年級(jí)則直觀認(rèn)識(shí)球的半徑和直徑，其目的也為以后學(xué)習(xí)打下一個(gè)最起碼的基礎(chǔ)。這部分作選學(xué)內(nèi)容。
此外，還有一些圖形是只在一個(gè)年級(jí)內(nèi)集中一次編排，如四年級(jí)要求初步認(rèn)識(shí)垂線和平行線，掌握梯形的特征；五年級(jí)要求認(rèn)識(shí)圓錐。
（二）求積計(jì)算
幾何求積是幾何初步知識(shí)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，也有利于數(shù)形結(jié)合，發(fā)揮其相互為用的功能。新大綱對(duì)這部分的教學(xué)要求是：
1．必須在建立相應(yīng)的空間觀念基礎(chǔ)上進(jìn)行幾何量的計(jì)算。例如，首先要求知道周長(zhǎng)、面積、體積的含義，認(rèn)識(shí)相應(yīng)的計(jì)量單位（長(zhǎng)度、面積、體積），有的還要建立相應(yīng)的觀念，如初步建立1平方米、1平方分米、1平方厘米的面積觀念，才能開(kāi)始求積計(jì)算。
2．求積計(jì)算分兩個(gè)層次：一是“會(huì)計(jì)算”，二是“掌握……計(jì)算公式”。顯然，后者要求較高，而前者一般可不出現(xiàn)公式，學(xué)生根據(jù)圖形的特征便可直接推知計(jì)算方法。
屬于第一層次的有：會(huì)計(jì)算長(zhǎng)、正方形的周長(zhǎng)，長(zhǎng)方體和正方體的表面積、圓柱的表面積和圓柱、圓錐的體積。
屬于第二層次的有：掌握長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形的面積公式；掌握長(zhǎng)方體和正方體的體積計(jì)算公式；掌握?qǐng)A周長(zhǎng)和圓面積的計(jì)算公式。
3．整個(gè)求積計(jì)算的數(shù)據(jù)不應(yīng)過(guò)繁。組合圖形也一般控制在兩個(gè)圖形的組合。
（三）操作技能（主要指測(cè)量與畫(huà)圖）
測(cè)量與畫(huà)圖都從低、中、高年級(jí)由淺入深地進(jìn)行訓(xùn)練。
1．測(cè)量：
（1）量線段的長(zhǎng)度
一年級(jí)測(cè)量時(shí)限整厘米，以后隨著學(xué)習(xí)輔助的長(zhǎng)度單位，測(cè)量時(shí)不受這種限制；
四年級(jí)初步學(xué)會(huì)用測(cè)量工具在地面上測(cè)定直線和測(cè)量較短的距離。
（2）量角的大小
二年級(jí)先用直角板會(huì)判斷直角；
四年級(jí)會(huì)用量角器量角。
2．畫(huà)圖：
（1）畫(huà)角
二年級(jí)會(huì)用三角板畫(huà)直角；
四年級(jí)會(huì)用量角器和直尺按指定角度畫(huà)角。
（2）畫(huà)垂線和平行線
四年級(jí)會(huì)用直尺和三角板畫(huà)垂線和平行線。
（3）畫(huà)長(zhǎng)方形、正方形和圓
二年級(jí)會(huì)在方格紙上畫(huà)長(zhǎng)、正方形；
四年級(jí)會(huì)用直尺和三角板畫(huà)長(zhǎng)、正方形；
五年級(jí)會(huì)用圓規(guī)畫(huà)圓。
（四）進(jìn)行思想教育
新大綱明確規(guī)定要通過(guò)圓周率的史料，介紹我國(guó)古代輝煌的數(shù)學(xué)成就，介紹我國(guó)古代的數(shù)學(xué)家祖沖之，有目的地向小學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義思想教育。有機(jī)而恰當(dāng)?shù)亟Y(jié)合數(shù)學(xué)史實(shí)進(jìn)行思想教育是新大綱的特色之一。
小學(xué)幾何初步知識(shí)的三項(xiàng)具體教學(xué)要求是密切聯(lián)系，相輔相成的。在教學(xué)前，我們要明確它們各自的教學(xué)目標(biāo)；而在教學(xué)中，又應(yīng)充分發(fā)揮它們相互促進(jìn)的作用。這樣才能收到較好的效果。
改革幾何初步知識(shí)的教學(xué)，是貫徹新大綱精神中的一個(gè)重要課題，只要我們能領(lǐng)會(huì)新大綱的指導(dǎo)思想，把握各項(xiàng)具體的教學(xué)要求，不超前也不滯后，運(yùn)用各種行之有效的教學(xué)方法和手段，不久的將來(lái)，幾何初步知識(shí)的教學(xué)改革一定會(huì)呈現(xiàn)出新的面貌。
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