比較在數(shù)學教學中的應用

“比較”指的是人腦把一些事物和現(xiàn)象放在一起進行對比的思維過程。這是一種常用的思維方式，我們在生活、工作、學習中經(jīng)常用到。 
比較有三個主要作用：1、揭示某些事物的共性。世界上事物繁多，有些事物沒有共同之處，有些事物之間存在著某些共同的特點。有些時候，我們需要知道這些事物的共同屬性。通過對所要研究的事物進行比較，可以找出它們的共同點。例如、凸多面體概念的教學。常常是先出示一些不同形狀的凸多面體，讓學生對它們進行比較，找出它們的共同點，抽象出凸多面體的定義。2、揭示某些事物的不同點。世界是一個相對的世界，絕對的事物是不存在的。即便是非常相近的同類事物，也有不同之處。有時候，人們希望知道這些事物的不同點。通過對這些事物的比較可以找出它們的不同點。例如、等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩個相似的概念。如果把兩個定義放在一起進行比較，就可以發(fā)現(xiàn)它們的不同點，就而把兩個概念區(qū)分開。3、揭示某些事物之間的聯(lián)系。事物和事物之間存在著千絲萬縷的聯(lián)系，有的顯而易見，有的深不可測。然而，當我們把這些事物放在一起加以比較之后，就有可能發(fā)現(xiàn)他們之間的聯(lián)系。 
數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學。說白了，就是研究與數(shù)學有關的事物之間的不同點、相同點和它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。因此，在數(shù)學教學和數(shù)學學習中經(jīng)常使用到“比較”的方法。 
一、    定義概念 
數(shù)學的特點是邏輯嚴謹。在科學的數(shù)學體系中，知識就像一根鏈條，前后環(huán)環(huán)相扣，前面的知識是后面知識的基礎，后面的知識是在前面知識的基礎上演繹而得到的。演繹推理需要有一定的基礎，如果從后向前追溯推理的根據(jù)，那么總能夠找到一些沒有推理依據(jù)的數(shù)學知識。這就是數(shù)學中的基本概念和基本規(guī)律。譬如，幾何中的“點”、“經(jīng)過三個不共線的點有且只有一個平面”、自然數(shù)中的“0”。因為基本的概念和規(guī)律沒有推理的基礎，所以，教學這些知識，通常是先對一些特殊的事例進行比較，找出它們的共同點，再概括出概念的定義或者歸納出規(guī)律。例如、教學“正數(shù)”的定義，可以先讓學生拿5，1.5，10， ，8848與0相比較，找出它們的共同特點：都大于0。再引導學生概括出正數(shù)的定義：大于0的數(shù)叫做正數(shù)。 
二、揭示規(guī)律 
規(guī)律即事物的共性。可以通過對具體例子的比較獲得。如，在中學一年級代數(shù)課中教學加法的交換律，可以先讓學生比較下面幾個算式，找出它們的共同特點，然后歸納出一般規(guī)律。 
3+5=5+3； 
  
1.5+3.3=3.3+1.5； 
…… 
通過比較，發(fā)現(xiàn)它們等號右邊的加式，都是左邊的加式交換加數(shù)的位置得到的。由此得到“兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變”的規(guī)律。 
有一些數(shù)學知識雖然能夠通過演繹推理的方法得到，但是，教學起來有些麻煩，學生不容易接受。對于這些知識，可以采用演繹推理和比較歸納相結(jié)合的方法教學。先進行比較歸納，使學生初步認識到所學規(guī)律的正確性，再從理論上進一步證明，使學生堅信所學規(guī)律是可靠的。比如，在中學教學數(shù)列極限的運算法則�？梢韵茸寣W生計算數(shù)列 
 ……； 
與3，3，3，3，……； 
的極限，以及這兩個數(shù)列和的極限，再計算兩個常數(shù)列 
1，1，1，1，……； 
與1.5，1.5，1.5，1.5，……； 
的極限，以及這兩個數(shù)列和的極限。最后讓學生對兩個實例加以比較，找出它們的共同點，就而歸納出數(shù)列極限加法的運算法則： 
  
中學生雖然沒有專一地學習邏輯學，但他們憑自己的經(jīng)驗知道，這種通過不完全歸納法得到的結(jié)論不一定正確，對剛才歸納出的結(jié)論可能半信半疑。要使他們確信這一法則的正確性，還必須使用極限的“ε-N”定義進行嚴格的證明。因為“ε-N”實在是太難了，學生很難接受“ε-N”定義證明的合理性。所以，只使用“ε-N”定義證明數(shù)列極限加法法則，有相當多的學生不敢相信法則的合理性。但是，如果有比較歸納數(shù)列極限的加法法則做鋪墊，那么學生就基本上可以接受這一法則。 
數(shù)學體系中基本概念和規(guī)律的多少，取決于受教育者的接受能力。建立數(shù)學體系的目的是把數(shù)學知識傳授給他人。為了使受教育者能夠接受所要傳授的數(shù)學知識，就必須考慮受教育者的接受能力。因此，小學、初中、高中、大學的數(shù)學教材各自成一體，基本概念和規(guī)律依次減少。這就導致比較方法在不同層次的數(shù)學課堂上的使用也是不一樣的。通常，低年級的數(shù)學教學中使用的比較多一些，高年級的數(shù)學教學中使用的相對少一些。 
三、    明確概念 
有些數(shù)學知識有相同的地方，也有不同的地方。找出數(shù)學知識的相同點，可以對它們進行歸類整理，使其系統(tǒng)化，便于學生掌握。找出數(shù)學知識的不同點，可以把不同的數(shù)學概念區(qū)分開，有助于學生正確理解數(shù)學概念；尤其是哪些形式上相近的數(shù)學概念，學生易于張冠李戴、是非顛倒，通過比較找出它們的差異，使學生了解它們的不同點，就能夠使學生把這些概念區(qū)別開。有一位學生曾經(jīng)給老師出了這樣一道難題： 
關于 的算術平方根有兩種求法： 
方法一、 ； 
方法二、 。 
顯然，這位學生把平方根和算術平方根兩個概念搞混淆了。為了使學生能夠自己查找錯誤的原因，我先讓她把平方根和算術平方根的定義寫在紙上： 
平方根：如果一個數(shù)的平方等于a，這個數(shù)就叫做a的平方根。例如、 都等于4，所以，4的平方根是2和-2。 
算術平方根：正數(shù)a有兩個平方根，其中a的正平方根叫做a的算術平方根。 
然后，讓學生比較這兩個定義。問：這兩個定義一樣嗎？ 
答：不一樣。 
問：一個數(shù)的平方根有幾個？算術平方根有幾個？ 
答：平方根有兩個，算術平方根有一個。 
問：平方根和算術平方根的表示方法有什么不同？譬如、正數(shù)a的平方根和算術平方根。 
答：分別用 表示。 
問：算術平方根和平方根的關系怎樣？ 
答：算術平方根是平方根中的一個。 
問：你要求的是平方根還是算術平方根？ 
答：算術平方根。 
問：你的兩種算法中的哪一種是錯的？為什么？ 
答：等于“-1”的是錯的。因為算術平方根是大于0的，而-1小于0。 
再如：立體幾何中的“三垂線定理”和“三垂線定理的逆地理”非常相似，學生常常把三垂線定理說成三垂線定理的逆定理，把三垂線定理的逆定理說成三垂線定理。當教學了三垂線定理的逆定理之后，把二者做一個比較，讓學生認清它們的不同點，就不會出現(xiàn)這種情況。 
其實，數(shù)學中的易混概念、性質(zhì)、法則、定理、公理，通過比較都可以搞得一清二楚。 
四、記憶知識 
記憶是學習數(shù)學的基礎，如果不把以前學習過的數(shù)學概念、性質(zhì)、定理等應該掌握的知識記住，那么就沒有辦法在這些知識的基礎上教學新的數(shù)學知識。數(shù)學是學校教育的主要學科，內(nèi)容繁多。如果一字不漏地記憶學習過的數(shù)學知識，那記憶量太大了，恐怕學生的腦袋瓜子難以裝下。為了減輕學生的記憶負擔，通常拿新學的知識和舊知識做比較，找出它們的不同點。相同點已經(jīng)學習過，按照課程標準的要求，學生應該掌握，不需要在用心去記憶。只要把它們的不同點記下就可以了。例如、教學極限的運算法則。極限的運算法則有兩類，即數(shù)列的極限運算法則和函數(shù)的極限運算法則，一般先教學數(shù)列的極限運算法則，后教學函數(shù)的極限運算法則。雖然兩類運算法則的內(nèi)涵不同，但是兩類運算的方法卻完全一樣。因此，我們可以讓學生把兩類法則放在一起加以比較，  
數(shù)列極限運算法則1：  
函數(shù)極限運算法則1：  
找出它們的不同點：自變量的表現(xiàn)形式變化了，其它沒有變化。這樣，學生在記憶函數(shù)的極限運算法則時，大可不必一字不漏地記憶，可以在掌握數(shù)列極限運算法則的基礎上，把自變量改一下就可以啦。這既減輕了學生的記憶負擔，又提高了記憶的效率。 
五、尋找聯(lián)系 
數(shù)學教學有兩大任務：一、研究數(shù)學概念。包括它們的屬性。二、研究概念間的關系。包括定義和屬性之間的關系。揭示事物之間的聯(lián)系，靠的是比較。有些看上去似乎沒有什么聯(lián)系的事物，如果放在一起進行比較，卻能夠發(fā)現(xiàn)它們之間存在的微妙聯(lián)系。例如、和圓有關的比例線段有幾個定理 
1、相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段的積相等。 
2、相交弦定理的推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。 
3、切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。 
4、切割線定理的推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。 
5、切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等。 
把這五個定理放在一起加以比較，不難看出，后面四個定理是第一個定理的特例，或者說是由第一個定理演變過來的。讓相交弦定理中的兩條弦動起來，當兩條弦互相垂直，且其中一條過圓心時，即為相交弦定理的推論。讓相交弦定理中的交點運動到圓的外面，即得到切割線定理的推論。當切割線定理的推論中，一條割線旋轉(zhuǎn)到與圓相切的位置時，得到切割線定理，當另一條割線也旋轉(zhuǎn)到相對的切線位置時，就得到切線長定理。教學時，可以結(jié)合課堂教學軟件的演示，讓學生比較這幾個定理，找出它們之間的運動變化關系，學生就比較容易掌握這些定理。 
在數(shù)學教學中，凡需要揭示事物之間關系的問題，都可以使用比較的方法進行教學。 
六、確定方向 
解決數(shù)學問題的關鍵是確定解決問題的方向。解決問題的方向不對，要走許多彎路，耗費很大精力，卻收效甚微，甚至根本無法達到解決問題的目的；解決問題的方向正確，能夠收到事半功倍的效果。不論什么樣的數(shù)學問題，一般都由條件和預期結(jié)果兩個部分組成。在解決問題的過程中，不斷地把條件或者解題的位置與預期結(jié)果相比較，常常能夠獲得正確地解題方向。譬如、證明 ： 
如果從左向右證明，那么原式等號左邊的是條件，右邊的是預期結(jié)果，等號左邊和右邊相比較，等號左邊沒有角 ，所以，要想把等號左邊統(tǒng)一到等號的右邊，就必須在左邊生產(chǎn)出 。 
因為，1= ， 
所以，左=  
對于計算題而言，要求的結(jié)果是預期結(jié)果；就應用題來說，問題是預期結(jié)果。在解答數(shù)學問題的過程中，通常是一邊解題，一邊和預期結(jié)果做比較，在不斷的比較中，及時矯正解題的方向。 
“比較”是學習、研究數(shù)學時使用頻率比較高的數(shù)學思想方法。可以說，拋棄“比較”，數(shù)學學習和研究將無法進行。所以，我們必須認真研究“比較”在數(shù)學教學中的應用。