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論數(shù)學(xué)開放題
論數(shù)學(xué)開放題
有人說“問題是數(shù)學(xué)的心臟”、“問題解決是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心”，這是數(shù)學(xué)題重要性的體現(xiàn)。數(shù)學(xué)題的特征決定了它的功能，進(jìn)而決定了它的教育價(jià)值。作為數(shù)學(xué)教師，主動(dòng)接受建構(gòu)主義教學(xué)理論的指導(dǎo)，研究數(shù)學(xué)開放題，構(gòu)建數(shù)學(xué)開放題及其教學(xué)模式并用之于數(shù)學(xué)教學(xué)是對(duì)學(xué)生進(jìn)行素質(zhì)教育的一種有效途徑。
事實(shí)上，我國(guó)的數(shù)學(xué)教育者，在“一題多解”、“一題多變”的教學(xué)中早就有許多好的經(jīng)驗(yàn)。但這并不等同于開放題的教學(xué)。
一、 數(shù)學(xué)開放題的特征
根據(jù)戴再平的研究，數(shù)學(xué)開放題一般具有以下特征：
1． 所提的問題常常是不確定和一般性的，其背景情況也是用一般詞語來描述的，主體必須收集其他必要的信息，才能著手解題。
2． 沒有現(xiàn)成的解題模式，有些答案可能易于直覺地被發(fā)現(xiàn)，但是在求解過程中往往需要從多個(gè)角度進(jìn)行思考和探索。
3． 有些問題的答案是不確定的，存在著多樣的解答，但重要的還不是答案本身的多樣性，而在于尋求解答過程中主體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重建。
4． 常常通過實(shí)際問題提出，主體必須用數(shù)學(xué)語言將其數(shù)學(xué)化，也就是建立數(shù)學(xué)模型。
5． 在求解過程中往往可以引出新的問題，或?qū)栴}加以推廣，找出更一般，更有概括性的結(jié)論。
6． 能激起多數(shù)學(xué)生的好奇心，全體學(xué)生都可以參與解答過程，而不管他是屬于何種程度和水平。
7． 教師難以用注入式進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生能自然地主動(dòng)參與，教師在解題過程中的地位是示范者、啟發(fā)者、鼓勵(lì)者和指導(dǎo)者。
二、數(shù)學(xué)開放題的分類與設(shè)計(jì)策略
1、對(duì)數(shù)學(xué)開放題的分類，從構(gòu)成數(shù)學(xué)題系統(tǒng)的四要素（條件、依據(jù)、方法、結(jié)論）出發(fā)，定性地可分成四類；如果尋求的答案是數(shù)學(xué)題的條件，則稱為條件開放題；如果尋求的答案是依據(jù)或方法，則稱為策略開放題；如果尋求的答案是結(jié)論，則稱為結(jié)論開放題；如果數(shù)學(xué)題的條件、解題策略或結(jié)論都要求解題者在給定的情景中自行設(shè)定與尋找，則稱為綜合開放題。
（一）條件開放題，即未知的要素是條件。例如，在北師大版七年級(jí)（下）的概率教學(xué)中有這樣一個(gè)問題：（P108試一試）用10個(gè)球設(shè)計(jì)一種摸球游戲，使摸到紅球的概率為
（二）結(jié)論開放，即未知的要素是判斷。例2、如圖1，
和AC邊上，且BD=2DC，CE=2EA，AD與BE
相交于G，試就有關(guān)圖形的形狀、大小和關(guān)
系得出盡可能多的結(jié)論。（解略）學(xué)生從有
關(guān)的角邊關(guān)系式，面積的關(guān)系式等可以得到
不下幾十種的結(jié)論。其思維的多向性、靈活性
顯露得淋漓盡致，學(xué)生不但可以鞏固知識(shí)，培
養(yǎng)技能，而且更可以有表現(xiàn)自己的創(chuàng)造力的機(jī)會(huì)。
（三）策略開放，即未知的要素是推理。例3：①若有兩張長(zhǎng)方形的桌子，把它們拼成一張長(zhǎng)方形桌子，有幾種拼法？（兩種，如圖2、3）。
圖3
圖2
②一張桌子可坐6個(gè)人，若按圖2方式擺放，2張桌子可坐 人。③按圖2方式繼續(xù)擺放桌子，完成下表：
桌子
張數(shù)
3
4
5
6
……
n
可坐
人數(shù)
先讓學(xué)生把表格中的前4項(xiàng)填好，之后再討論n張桌子可坐幾人？
學(xué)生可以從不同的角度思考，得到不同的策略：①一張桌子可坐6人，每增加一張桌子增加4人，幾張桌子增加4（n-1）人，因此n張桌子可坐[6+4（n-1）]人，即（4n+2）人；②桌子無論增加幾張，左右兩側(cè)始終只能坐2人，而每張桌子的上下兩側(cè)都可坐4人，故有（4n+2）人；③每張桌子可坐6人，那么n張桌子按理可坐6n人，但要減去每?jī)蓮堊雷又睾系?人。列式得6n-2（n-1），等于（4n+2）人；④一張桌子的一半可坐（2+1）人，n張桌子的一半可坐（2n+1）人，因此，n張桌子可坐2（2n+1）人，即（4n+2）人。這一系列問題的設(shè)計(jì)給學(xué)生的不同見解留下了足夠的空間，學(xué)生可以在自己原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中進(jìn)行同化，多角度、多方位地去尋找解題策略。
2、從開放題答案的開口情況出發(fā)，數(shù)學(xué)開放題可以定量地分成三類：弱開放題──答案情況（包括可能情況）只有兩種的開放題；中開放題──答案情況（包括可能情況）超過兩種，但為數(shù)目確定的有限種；強(qiáng)開放題──只能給出部分答案情況，答案情況（包括可能情況）總數(shù)難以確定的開放題
三、數(shù)學(xué)開放題的功能
美國(guó)加利福尼亞州教育部于1989年指出了開放性問題的五個(gè)功能：
1． 為學(xué)生提供了自己進(jìn)行思考并用他們自己的數(shù)學(xué)觀是來表達(dá)的機(jī)會(huì)，這和他們的數(shù)學(xué)發(fā)展是一致的。
2． 要求構(gòu)建他們自己的反映，而不是選擇一個(gè)簡(jiǎn)單的答案。
3． 允許學(xué)生表達(dá)他們對(duì)問題的深層次的理解，這在多項(xiàng)選擇中是無法做到的。
4． 鼓勵(lì)學(xué)生用不同的方法來解決問題，反過來提示老師用不同的方法解釋數(shù)學(xué)概念。
5． 開放性問題的模式是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的基本成份。
我國(guó)的數(shù)學(xué)教育工作者經(jīng)過教學(xué)試驗(yàn)和理論研究，認(rèn)為數(shù)學(xué)開放題有以下幾方面的作用：
1．開放題能引起學(xué)生認(rèn)知的不平衡，為學(xué)生主動(dòng)選擇信息，超越所給定的信息留下了充分的余地，有利于完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
2．開放題由于具有結(jié)果開放、方法開放、思路開放等特點(diǎn)，能有效地反映高層次思維，為高層次思維創(chuàng)造條件，因而能更好地培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和探索精神，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造意識(shí)與能力。
3．開放題有助于培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的積極態(tài)度，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提高平常數(shù)學(xué)成績(jī)較差學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生體驗(yàn)智力活動(dòng)的歡樂，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的靈感。
4．開放題是挖掘、提煉數(shù)學(xué)思想方法，充分展示應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法的良好載體，使每個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)才能在自己的基礎(chǔ)上有一個(gè)最大的發(fā)展，體現(xiàn)受教育者公平和人人有份的原則。
5．開放性問題的研究和教學(xué)，有利于教師轉(zhuǎn)變教育觀念，激發(fā)教育熱情，擺脫一種淺層次的教學(xué)循環(huán)，體現(xiàn)教師自身的生命活力。
四、數(shù)學(xué)開放題對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的意義
數(shù)學(xué)開放題作為一種教學(xué)思想反映在以下幾個(gè)方面：
1．?dāng)?shù)學(xué)開放題強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性。封閉式的例題——習(xí)題式的數(shù)學(xué)教學(xué)僅停留在分類介紹技巧和方法的水平，指向知識(shí)、技能、原理和它們的適用性，往往會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)某個(gè)結(jié)論或方法的記憶；重視的是學(xué)生計(jì)算、演繹等嚴(yán)格推理的能力，忽視的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐，尋找相似性等非形式推理的能力。我們嘉興市2005年中考試題中用相似扇形來考查學(xué)生對(duì)相似形的最基礎(chǔ)的有關(guān)知識(shí)，而不是通常的用相似三角形，許多學(xué)生就不知所云，即證明了這一點(diǎn)。而數(shù)學(xué)題開放作為一種教學(xué)思想把數(shù)學(xué)教學(xué)作為一個(gè)互相聯(lián)系的有機(jī)整體，使學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到全面的培養(yǎng)。
2．?dāng)?shù)學(xué)開放題強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)教學(xué)的思維性。封閉的數(shù)學(xué)題教學(xué)面向事實(shí)性的知識(shí)和程序性的技能而不是強(qiáng)調(diào)高層次的技能，而數(shù)學(xué)開放題作為一個(gè)教學(xué)思想強(qiáng)調(diào)反映學(xué)生高層次的能力和開放性、創(chuàng)造性的思維。學(xué)生在解答開放題的過程中，以已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，對(duì)問題作出富有個(gè)人意義的解釋和理解，經(jīng)歷一個(gè)從現(xiàn)實(shí)條件到用數(shù)學(xué)語言表述的數(shù)學(xué)化過程，不斷檢索或修正、提出解題設(shè)想并嘗試解決問題。開放性數(shù)學(xué)題有利于培養(yǎng)學(xué)生關(guān)鍵性思考，應(yīng)用知識(shí)和解決問題，讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)地思維，更好地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。
3．?dāng)?shù)學(xué)開放題強(qiáng)調(diào)解決問題的過程。數(shù)學(xué)開放題教學(xué)與封閉的數(shù)學(xué)題教學(xué)的另一不同點(diǎn)是側(cè)重學(xué)生解決問題的思路和策略而不是問題的答案，側(cè)重學(xué)生獲得解答的過程。因?yàn)樵跀?shù)學(xué)教學(xué)中，不僅要注意其產(chǎn)物，而且要注意其過程，注意對(duì)學(xué)生解決問題的思路的分析。
4．?dāng)?shù)學(xué)開放題強(qiáng)調(diào)了學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中的主體作用。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生會(huì)表現(xiàn)出各種不同的特點(diǎn)，對(duì)同一數(shù)學(xué)問題的理解會(huì)有不同側(cè)面深刻程度上的差異，具有強(qiáng)烈的個(gè)性特質(zhì)。數(shù)學(xué)開放題把數(shù)學(xué)教學(xué)建立在以學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)之上，更能反映出學(xué)生的主動(dòng)性和創(chuàng)造性，反映出學(xué)生的主體作用，有利于改變以教師為中心的教學(xué)方法。
5．?dāng)?shù)學(xué)開放題有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提高學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)力。數(shù)學(xué)開放題提供學(xué)生以一種數(shù)學(xué)活動(dòng)，在活動(dòng)中展示和提高自己的數(shù)學(xué)才能，在活動(dòng)中交流體會(huì)，增強(qiáng)主體意識(shí)，在解決問題的過程中感受到數(shù)學(xué)的美感和解決問題的有趣，全體學(xué)生都會(huì)有收獲，特別有利于調(diào)動(dòng)數(shù)學(xué)成績(jī)較差學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓每個(gè)學(xué)生都有進(jìn)步。
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