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不等式和它的基本性質(zhì)
教學(xué)建議
一、知識(shí)結(jié)構(gòu)
二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)是不等式的三條基本性質(zhì)．難點(diǎn)是不等式的基本性質(zhì)3．掌握不等式的三條基本性質(zhì)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)一元一次不等式（組）的解法等后續(xù)知識(shí)的基礎(chǔ)．
1．不等式的概念
用不等號(hào)（“＜”、“＞”或“≠”表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式．
另外， （“≥”是把“＞”、“＝”）結(jié)合起來(lái)，讀作“大于或等于”，或記作“≮”，亦即“不小于”）、 （“≤”是把“＜”、“＝”結(jié)合起來(lái)，讀作“小于或等于”，或記作“≯”，也就是“不大于”）等等，也都是不等式．
2．當(dāng)不等式的兩邊都加上或乘以同一個(gè)正數(shù)或負(fù)數(shù)時(shí)，所得結(jié)果仍是不等式．但變形所得的不等式中不等號(hào)的方向，有的與原不等式中不等號(hào)的方向相同，有的則不相同．因而敘述時(shí)不能籠統(tǒng)說(shuō)成“……仍是不等式”，而應(yīng)明確變形所得的不等式中不等號(hào)的方向．
3．不等式成立與不等式不成立的意義
例如：在不等式 中，字母 表示未知數(shù)．當(dāng) 取某一數(shù)值 時(shí)， 的值小于2，我們就說(shuō)當(dāng) 時(shí)，不等式 成立；當(dāng) 取另外某一個(gè)數(shù)值 時(shí)， 的值不小于2，我們就說(shuō)當(dāng) 時(shí)， 不等式不成立．
4．不等式的三條基本性質(zhì)是不等式變形的重要依據(jù)，性質(zhì)1、2類(lèi)似等式性質(zhì)，不等號(hào)的方向不改變，性質(zhì)3不等號(hào)的方向改變，這是不等式獨(dú)有的性質(zhì)，也是初學(xué)者易錯(cuò)的地方，因此要特別注意．
一、素質(zhì)教育目標(biāo)
（－）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)
1．了解不等式的意義．
2．理解什么是不等式成立，掌握不等式是否成立的判定方法．
3．能依題意準(zhǔn)確迅速地列出相應(yīng)的不等式．
�。ǘ┠芰τ�(xùn)練點(diǎn)
1．培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用類(lèi)比方法研究相關(guān)內(nèi)容的能力．
2．訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．
�。ㄈ┑掠凉B透點(diǎn)
通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，培養(yǎng)他們積極的參與意識(shí)，競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)．
（四）美育滲透點(diǎn)
通過(guò)不等式的學(xué)習(xí)，滲透具有不等量關(guān)系的數(shù)學(xué)美．
二、學(xué)法引導(dǎo)
1．教學(xué)方法：觀察法、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法、討論法．
2．學(xué)生學(xué)法：只有準(zhǔn)確理解不等號(hào)的幾種形式的意義，才能在實(shí)際中進(jìn)行靈活的運(yùn)用．
三、重點(diǎn)·難點(diǎn)·疑點(diǎn)及解決辦法
�。ㄒ唬┲攸c(diǎn)
掌握不等式是否成立的判定方法；依題意列出正確的不等式．
�。ǘ╇y點(diǎn)
依題意列出正確的不等式
�。ㄈ┮牲c(diǎn)
如何把題目中表示不等關(guān)系的詞語(yǔ)準(zhǔn)確地翻譯成相應(yīng)的數(shù)學(xué)符號(hào)．
�。ㄋ模┙鉀Q方法
在正確理解不等號(hào)的意義后，通過(guò)抓住體現(xiàn)不等量的關(guān)系的詞語(yǔ)就能準(zhǔn)確列出相應(yīng)的不等式．
四、課時(shí)安排
一課時(shí)．
五、教具學(xué)具準(zhǔn)備
投影儀或電腦、自制膠片．
六、師生互動(dòng)活動(dòng)設(shè)計(jì)
1．創(chuàng)設(shè)情境，通過(guò)復(fù)習(xí)有關(guān)等式的知識(shí)，自然導(dǎo)入新課的學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情．
2．從演示的有關(guān)實(shí)驗(yàn)中，探究相應(yīng)的不等量關(guān)系，從學(xué)生的討論、分析中探究代數(shù)式的不等關(guān)系的幾種常見(jiàn)形式．
3．從師生的互動(dòng)講解練習(xí)中掌握不等式的有關(guān)知識(shí)，并培養(yǎng)學(xué)生具有一定的靈活應(yīng)用能力．
七、教學(xué)步驟
�。ㄒ唬┟鞔_目標(biāo)
本節(jié)課主要學(xué)習(xí)依題意正確迅速地列出不等式．
�。ǘ┱w感知
通過(guò)復(fù)習(xí)等式創(chuàng)設(shè)情境，自然過(guò)渡到不等式的學(xué)習(xí)過(guò)程中，又通過(guò)細(xì)心的分析、審題尋找出正確的不等量關(guān)系，從而列出正確的不等式．
（三）教學(xué)過(guò)程
1．創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)導(dǎo)入
我們已經(jīng)學(xué)過(guò)等式和它的基本性質(zhì)，請(qǐng)同學(xué)們觀察下面習(xí)題，思考并回答：
�。�1）什么是等式？等式中“＝”兩側(cè)的代數(shù)式能否交換？“＝”是否具有方向性？
（2）已知數(shù)值：－5， ，3，0，2，7，判斷：上述數(shù)值哪些使等式 成立？哪些使等式 不成立？
學(xué)生活動(dòng)：首先自己思考，然后指名回答．
教師釋疑：①“＝”表示相等關(guān)系，它沒(méi)有方向性，等號(hào)兩例可以相互交換，有時(shí)不交換只是因?yàn)闀?shū)寫(xiě)習(xí)慣，例如方程的解 ．
�、谂袛鄶�(shù)取何值，等式 成立和不成立實(shí)質(zhì)上是在判斷給定的數(shù)值是否為方程 的解，因?yàn)榈仁?為一元一次方程，它只有惟一解 ，所以等式 只有在 時(shí)成立，此外，均不成立．
【教法說(shuō)明】設(shè)置上述習(xí)題，目的是使學(xué)生溫故而知新，為學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容提供必要的知識(shí)準(zhǔn)備．
2．探索新知，講授新課
不等式和等式既有聯(lián)系，又有區(qū)別，大家在學(xué)習(xí)時(shí)要自覺(jué)進(jìn)行對(duì)比，請(qǐng)觀察演示實(shí)驗(yàn)并回答：演示說(shuō)明什么問(wèn)題？
師生活動(dòng)：教師演示課本第54頁(yè)天平稱物重的兩個(gè)實(shí)例（同時(shí)指出演示中物重為 克，每個(gè)砝碼重量均為1克），學(xué)生觀察實(shí)驗(yàn)，思考后回答：演示中天平若不平衡說(shuō)明天平兩邊所放物體的重量不相等．
【教法說(shuō)明】結(jié)合實(shí)際生活中同類(lèi)量之間具有一種不相等關(guān)系的實(shí)例引入不等式的知識(shí)，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．
在實(shí)際生活中，像演示這樣同類(lèi)量之間具有不相等關(guān)系的例子是大量的、普遍的，這種關(guān)系需用不等式來(lái)表示．那么什么是不等式呢？請(qǐng)看：
， ，
， ，
提問(wèn)：（l）上述式子中有哪些表示數(shù)量關(guān)系的符號(hào)？（2）這些符號(hào)表示什么關(guān)系？（3）這些符號(hào)兩側(cè)的代數(shù)式可以隨意交換位置嗎？（4）什么叫不等式？
學(xué)生活動(dòng)：觀察式予，思考并回答問(wèn)題．
答案：（1）分別使用“＜”“＞”“≠”．（2）表示不等關(guān)系．（3）不可以隨意互換位置．（4）用不等號(hào)表示不等關(guān)系的式子叫不等式．
不等號(hào)除了“＜”“＞”“≠”之外，還有無(wú)其他形式？
學(xué)生活動(dòng)：同桌討論，嘗試得到結(jié)論．
教師釋疑：①不等號(hào)除“＜”“＞”“≠”外，還有“≥”“≤”兩種形式（“≥”是指“＞”與“＝”結(jié)合起來(lái)，讀作“大于或等于”，也可理解成“不小于”；同理“≤”讀作“小于或等于”，也可理解成“不大于”．）現(xiàn)在，我們來(lái)研究用“＞”“＜”表示的不等式．
�、诓坏忍�(hào)“＞”“＜”表示不等關(guān)系，它們具有方向性，因而不等號(hào)兩側(cè)不可互交換，例如 ，不能寫(xiě)成 ．
【教法說(shuō)明】①通過(guò)學(xué)生自己觀察思考，進(jìn)而猜測(cè)出不等式的意義，這種教法充分發(fā)揮了學(xué)生的主體作用．
②通過(guò)教師釋疑，學(xué)生對(duì)不等號(hào)的種類(lèi)及其使用有了進(jìn)一步的了解．
3．嘗試反饋，鞏固知識(shí)
同類(lèi)量之間的大小關(guān)系常用“＞”“＜”來(lái)表示，請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)自己對(duì)不等式的理解，解答習(xí)題．
�。�1）用“＜”或“＞”境空．（搶答）
①4___－6；②－1____0③－8___－3；④－4.5___－4．
�。�2）用不等式表示：
�、� 是正數(shù)；② 是負(fù)數(shù)；③ 與3的和小于6；④ 與2的差大于－1；⑤ 的4倍大于等于7；⑥ 的一半小于3．
�。�3）學(xué)生獨(dú)立完成課本第55頁(yè)例1．
注意：不是所有同類(lèi)量都可以比較大小，例如不在同一直線上的兩個(gè)力，它們只有等與不等關(guān)系，而無(wú)大小關(guān)系，這一點(diǎn)無(wú)需向?qū)W生說(shuō)明．
學(xué)生活動(dòng)：第（l）題搶答；第（2）題在練習(xí)本上完成，由兩個(gè)學(xué)生板演，完成之后，由學(xué)生判斷板演是否正確
教師活動(dòng)：巡視輔導(dǎo)，統(tǒng)計(jì)做題正確的人數(shù)，同時(shí)給予肯定或鼓勵(lì)．
【教法說(shuō)明】①第（1）題是為了調(diào)動(dòng)積極性，強(qiáng)化競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)；第（2）題則是為了訓(xùn)練學(xué)生書(shū)面表述能力．
�、诮虒W(xué)時(shí)要注意引導(dǎo)學(xué)生將題目中表示不等關(guān)系的詞語(yǔ)翻譯成相應(yīng)的不等號(hào)，例如“小于”用“＜”表示，“大于等于”用“≥”表示．
下面研究什么使不等式成立，請(qǐng)同學(xué)們嘗試解答習(xí)題：
已知數(shù)值；－5， ，3，0，2，－2.5，5.2；
�。�1）判斷：上述數(shù)值哪些使不等式 成立？哪些使 不成立？
�。�2）說(shuō)出幾個(gè)使不等式 成立的 的數(shù)值；說(shuō)出幾個(gè)使 不成立的 數(shù)值．
學(xué)生活動(dòng)：同桌研究討論，嘗試得到答案．
教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生回答，使未知數(shù) 的取值不僅有正整數(shù)，還有負(fù)數(shù)、零、小數(shù)．
師生總結(jié)：判定不等式是否成立的方法就是：如果不等號(hào)兩側(cè)數(shù)值的大小關(guān)系與不等另一致，稱不等式成立；否則不成立．例如對(duì)于 ；當(dāng) 時(shí)， 的值小于6，就說(shuō) 時(shí)不等式 成立；當(dāng) 時(shí)， 的值不小于6，就說(shuō) 時(shí)， 不成立．
【教法說(shuō)明】通過(guò)學(xué)生自己舉例，培養(yǎng)他們運(yùn)用已有的知識(shí)探索新知識(shí)的意識(shí)，同時(shí)也活躍了課堂氣氛．
4．變式訓(xùn)練，培養(yǎng)能力
（1）當(dāng) 取下列數(shù)值時(shí)，不等式 是否成立？
�。�7，0，0.5，1， ，10
�。�2）①用不等式表示： 與3的和小于等于（不大于）6；
�、趯�(xiě)出使上述不等式成立的幾個(gè) 的數(shù)值；
�、� 取何值時(shí)，不等式 總成立？取何值時(shí)不成立？
學(xué)生在練習(xí)本上完成1題，2題，同桌訂正；教師抽查，強(qiáng)調(diào)注意事項(xiàng)．
【教法說(shuō)明】
�、偈箤W(xué)生進(jìn)一步了解使不等式成立的未知數(shù)的值可以有多個(gè)，為6.2講解不等式的解集做準(zhǔn)備．
�、趶�(qiáng)化思維能力和歸納總結(jié)能力．
（四）總結(jié)、擴(kuò)展
學(xué)生小結(jié)，師生共同完善：
本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容：1．掌握不等式是否成立的判斷方法；2．依題意列出正確的不等式．
注意：列不等式時(shí)，要注意把表示不等關(guān)系的詞語(yǔ)用相慶的不等號(hào)來(lái)表示．例如“不大于”用“≤”表示，而不用“＜”表示，這一點(diǎn)學(xué)生容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．
八、布置作業(yè)
�。ㄒ唬┍刈鲱}：P61 A組1，2，3．
（二）選做題：
1．單項(xiàng)選擇
�。�1）絕對(duì)值小于3的非負(fù)整數(shù)有（�。�
A．1，2 B．0，1 C．0，1，2 D．0，1，3
�。�2）下列選項(xiàng)中，正確的是（�。�
A． 不是負(fù)數(shù)，則
B． 是大于0的數(shù)，則
C． 不小于－1，則
D． 是負(fù)數(shù)，則
2．依題意列不等式
�。�1） 的3倍與7的差是非正數(shù)
�。�2） 與6的和大于9且小于12
�。�3）A市某天的最低氣溫是－5℃，最高氣溫是10℃，設(shè)這天氣溫為 ℃，則 滿足的條件是____________________．
【設(shè)計(jì)說(shuō)明】1．再現(xiàn)本節(jié)重點(diǎn)，鞏固所學(xué)知識(shí)．
2．有層次性地布置作業(yè)，可以調(diào)動(dòng)全體學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，這也是實(shí)施素質(zhì)教育的具體體現(xiàn)．
參考答案
1．＜，＜，＞，＞，＜，＜
2．5.2，6，8.3，11是 的解，－10，－7，－4. 5，0，3不是解
3．（1） �。�2） �。�3） （4）
�。ǘ�1．（1）C �。�2）D
2．（1） （2） �。�3）
九、板書(shū)設(shè)計(jì)
6.1 不等式和它的基本性質(zhì)（一）
一、什么叫不等式？
用：“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示不等關(guān)系的式子叫不等式．
重點(diǎn)研究“＞”“＜”
二、依題意列不等式
“大于”“＞”；“小于”“＜”；“不大于”“≤”；“不小于”“≥”；
三、不等式 能否成立
時(shí)， （√）； 時(shí)， （×）；
時(shí)， （×）
四、歸納總結(jié)重點(diǎn)
�。ㄒ唬┮李}意列不等式．
�。ǘ⿻�(huì)判斷不等式是否成立．
十、背景知識(shí)與課外閱讀
費(fèi) 馬 數(shù)
費(fèi)馬（P．de Fermat）是17世紀(jì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家，是法國(guó)南部土魯斯議會(huì)的議員，他在數(shù)論、解析幾何、概率論三個(gè)方面都有重要貢獻(xiàn)．他無(wú)意發(fā)表自己的著作，平生沒(méi)有完整的著作問(wèn)世．去世后，人們才把他寫(xiě)在書(shū)頁(yè)空白處和給朋友的書(shū)信中，以及一些陳舊手稿中的論述收集匯編成書(shū)．費(fèi)馬特別愛(ài)好數(shù)論，在這方面有好幾項(xiàng)成就，如費(fèi)馬數(shù)、費(fèi)馬小定理、費(fèi)馬大定理等．
費(fèi)馬于1640年前后，在驗(yàn)算了形如
的數(shù)當(dāng) 的值分別為
3，5，17，257，65537
后（請(qǐng)注意這些數(shù)均為質(zhì)數(shù)）便宣稱：對(duì)于為任何自然數(shù)，是質(zhì)數(shù)．
大約過(guò)了100年，1732年數(shù)學(xué)家歐拉（L．Euler）指出
．
從而否定了費(fèi)馬的上述結(jié)論（猜想）．
爾后，人們又對(duì) 進(jìn)行了大量研究，發(fā)現(xiàn)在 中，除了上述五個(gè)質(zhì)數(shù)外，人們尚未再發(fā)現(xiàn)新的質(zhì)數(shù)．
雖然費(fèi)馬的這個(gè)猜想是錯(cuò)誤的，但為了紀(jì)念這位數(shù)學(xué)家，人們?nèi)园堰@種形式的數(shù)叫做費(fèi)馬數(shù)．
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