平行四邊形及其性質 —— 初中數(shù)學第二冊教案

 

平行四邊形及其性質

教學目標

1、知識目標

（1）使學生掌握平行四邊形的概念，理解兩條平行線間的距離的概念。

（2）掌握平行四邊形的性質定理1、2，并能運用這些知識進行有關的證明或計算．

2、能力目標

(1)通過啟發(fā)、引導，讓學生猜想結論，培養(yǎng)學生的觀察能力和猜想能力。

(2)驗證猜想結論，培養(yǎng)學生的論證和邏輯思維能力。

(3)通過開放式教學，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和實踐能力。

3、非智力目標

滲透從具體到抽象、化未知為已知的數(shù)學思想及事物之間相互轉化的辯證唯物主義觀點．

教學重點、難點

重點：平行四邊形的概念及其性質．

難點：正確理解兩條平行線間的距離的概念和性質定理2的推論。

平行四邊形的概念及性質的靈活運用

教學方法：講解、分析、轉化

教學過程設計

一、利用分類、特殊化的方法引出平行四邊形的概念

1．復習四邊形的知識．

(1)引導學生畫任意凸四邊形，指出它的主要元素——頂點、邊、角、對角線的性質，強調對角線的作用：將四邊形分割化歸為三角形來研究．

(2)將四邊形的邊角按位置關系分為兩類：

教學時應結合圖形，讓學生識別清楚，并注意與三角形中角的對邊、邊的對角及第一章中的鄰角相區(qū)別．

2．教師提問：四邊形中的兩組對邊按位置關系分為幾種情況？

引導學生畫圖回答，并出示投影片顯示四邊形與特殊四邊形的關系，如圖4－11．

3．對比引出平行四邊形的概念．

(1)引導學生根據(jù)圖4－11，敘述平行四邊形的概念，引出課題．

(2)注意它與梯形的對比，及它與四邊形的特殊與一般的關系：平行四邊形是特殊的四邊形，因此它具有四邊形的一切性質(共性)．同時它還具有一般四邊形不具備的特殊性質(個性)．

(3)強調定義既是平行四邊形的一個判定方法，同時又是平行四邊形的一個性質．

(4)介紹平行四邊形的符號表示及定義的使用方法：如圖4－12．

①∵ ABCD，∴AD∥BC，AB∥CD．(平行四邊形的定義)

②∵AD∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．(平行四邊形的定義)

練習1(投影)

如圖4－13，DC∥EF∥AB，DA∥GH∥CB，圖中的平行四邊形共有__個，它們是__．

二、探索平行四邊形的性質并證明

1．探索性質．

啟發(fā)學生從平行四邊形的主要元素——邊、角、對角線的位置關系及數(shù)量關系入手，來觀察、探索、猜想平行四邊形的特有的性質如下：

(3)對角線

⑤對角線互相平分(性質定理3)

教師注意解釋并強調對角線互相平分的含義及表示方法．

2．利用化歸的方法對性質逐一進行證明．

(1)由平行四邊形的定義及平行線的性質很快證出性質①，④，③．

(2)啟發(fā)學生添加一條或兩條對角線，將四邊形分割、化歸為三角形；利用全等三角形的知識證出性質②，⑤．

(3)寫出證明過程．

3．關于“兩條平行線間的平行線段和距離”的教學．

(1)利用性質定理2

導出推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等．

①提問：在圖4－14中，l1∥l2，AB∥CD，那么AB，CD的數(shù)量有何關系？引導學生根據(jù)平行四邊形的定義和性質進行證明．

②引導學生用語言簡練地敘述圖4－14所反映的幾何命題，并強調它的作用．證題時可節(jié)省步驟，省掉判定平行四邊形這一步，直接得到夾在兩條平行線間的平行線段相等．

③強調推論中的條件：“夾”、“平行線間”、“平行線段”的含義和重要性，并做一組辨析練習．

練習2

(投影)如圖4－15，判斷下列幾組圖形能否體現(xiàn)推論所代表的含義．

(2)根據(jù)圖4－15(d)引出兩條平行線的距離的概念，并通過練習區(qū)別三個距離．

練習3

在圖4－15(d)中，

①點A與點C的距離是線段__的長；

②點A到直線l2的距離是線段__的長；

③兩條平行線l1與l2的距離是線段__或__的長；

④由推論可得：兩條平行線間的距離__．

三、平行四邊形的定義及性質的應用

1．計算．

例1填空．

(1)在 ABCD中，AB＝a，BC＝b，∠A＝50°，則 ABCD的周長為__，∠B＝__，∠C＝__，∠D＝__；

(2)在 ABCD中：①∠A∶∠B＝5∶4，則∠A＝__；②∠A＋∠C＝200°，則∠A＝___，∠B＝__；

(3)已知平行四邊形周長為54，兩鄰邊之比為4∶5，則這兩邊長度分別為__；

(4)已知 ABCD對角線交點為O，AC＝24mm，BD＝26mm，①若AD＝22mm，則△OBC周長為__；②若AB⊥AC，則△OBC比△OAB的周長大___；

(5)在 ABCD中，AB＝8cm，BC＝10cm，∠B＝30°，S ABCD＝__；

說明：通過此題讓學生熟悉平行四邊形的性質，會用它及方程的思想進行計算，并復習平行四邊形的面積公式．

2．證明．

例2 已知：如圖4－16， ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，AD上的點，AE∥CF．求證(1)BE＝DF；(2)EF過BD的中點．

分析：

(1)盡量利用平行四邊形的定義和性質，避免證三角形全等．

(2)考慮特殊化情形．在 ABCD中，若E，F(xiàn)在BC，AD上運動到如下位置：AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，求證BE＝DF．在題目的變化與聯(lián)系中靈活選用性質來解題．

例3已知：如圖4－17，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC．求證：(1)∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；(2)△ABC的頂點分別是△B′C′A′各邊的中點．

著重引導學生先分解基本圖形，圖中有3個平行四邊形： C′BCA， ABCB′， ABA′C，分別利用對角相等和對邊相等的性質使問題得到證明．對于第(2)問也可用“夾在兩條平行線間的平行線段相等”來證明．

例4 已知：如圖4－18(a)， ABCD的對角線AC，BD相交于點O，EF過點O與AB，CD分別相交于點E，F(xiàn)．求證：OE＝OF，AE＝CF，BE＝DF．

分析：

(1)引導學生證明以OE，OF為邊的兩個三角形全等，如證△AOE≌△COF或證△BOE≌△DOF．

(2)根據(jù)學生實際，對圖4－18(a)可作適當引申，如圖4－18(b)，(c)，(d)，并歸納結論如下：過平行四邊形對角線的交點作直線交對邊或對邊的延長線，所得對應線段相等．

(3)圖4－18是一組重要的基本圖形，熟悉它的性質對解答復雜問題是很有幫助的．

3．供選用例題．

(1)從平行四邊形的一個銳角頂點作平行四邊形的兩條高線．如果這兩條高線的夾角為135°，則這個平行四邊形相鄰兩內角的度數(shù)為__；若高線分別為1cm和2cm，則平行四邊形的周長為__，面積為___；若兩條高線夾角為120°呢？

(2)如圖4－19，在△ABC中，AD平分∠BAC，過D作DE∥AC交AB于E，過E作EF∥DC交AC于F．求證：AE＝FC．

(3)如圖4－20，在 ABCD中，AD＝2AB，將AB向兩方延長，使AE＝BF＝AB．求證：EC⊥FD．

四、師生共同小結

1．平行四邊形與四邊形的關系．

2．學習了平行四邊形哪些方面的性質？

3．兩條平行線的距離是怎樣定義的？有什么性質？

五、作業(yè)

課本第143頁第2，3，4，5，6題．

課堂教學設計說明

本教學設計需2課時完成．

這節(jié)內容分2課時．第1課時在復習四邊形的有關知識的基礎上，用對比的方式引入平行四邊形的概念，充分體現(xiàn)了平行四邊形在四邊形體系中的地位，然后，教師應啟發(fā)學生從邊、角、對角線三個方面探索平行四邊形的性質，使知識更加系統(tǒng)，更符合學生的認知規(guī)律，而且突出了第1課時的重點，同時更能培養(yǎng)學生主動探求知識的精神和思維的條理性．第2課時重點應用平行四邊形的定義、性質進行計算和證明，教師注意讓學生鞏固基礎知識和基本技能，加強對解題思路的分析，解題思想方法的概括、指導和結論的升華．

　

 

 

 

平行四邊形及其性質

教學目標

1、知識目標

（1）使學生掌握平行四邊形的概念，理解兩條平行線間的距離的概念。

（2）掌握平行四邊形的性質定理1、2，并能運用這些知識進行有關的證明或計算．

2、能力目標

(1)通過啟發(fā)、引導，讓學生猜想結論，培養(yǎng)學生的觀察能力和猜想能力。

(2)驗證猜想結論，培養(yǎng)學生的論證和邏輯思維能力。

(3)通過開放式教學，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和實踐能力。

3、非智力目標

滲透從具體到抽象、化未知為已知的數(shù)學思想及事物之間相互轉化的辯證唯物主義觀點．

教學重點、難點

重點：平行四邊形的概念及其性質．

難點：正確理解兩條平行線間的距離的概念和性質定理2的推論。

平行四邊形的概念及性質的靈活運用

教學方法：講解、分析、轉化

教學過程設計

一、利用分類、特殊化的方法引出平行四邊形的概念

1．復習四邊形的知識．

(1)引導學生畫任意凸四邊形，指出它的主要元素——頂點、邊、角、對角線的性質，強調對角線的作用：將四邊形分割化歸為三角形來研究．

(2)將四邊形的邊角按位置關系分為兩類：

教學時應結合圖形，讓學生識別清楚，并注意與三角形中角的對邊、邊的對角及第一章中的鄰角相區(qū)別．

2．教師提問：四邊形中的兩組對邊按位置關系分為幾種情況？

引導學生畫圖回答，并出示投影片顯示四邊形與特殊四邊形的關系，如圖4－11．

3．對比引出平行四邊形的概念．

(1)引導學生根據(jù)圖4－11，敘述平行四邊形的概念，引出課題．

(2)注意它與梯形的對比，及它與四邊形的特殊與一般的關系：平行四邊形是特殊的四邊形，因此它具有四邊形的一切性質(共性)．同時它還具有一般四邊形不具備的特殊性質(個性)．

(3)強調定義既是平行四邊形的一個判定方法，同時又是平行四邊形的一個性質．

(4)介紹平行四邊形的符號表示及定義的使用方法：如圖4－12．

①∵ ABCD，∴AD∥BC，AB∥CD．(平行四邊形的定義)

②∵AD∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．(平行四邊形的定義)

練習1(投影)

如圖4－13，DC∥EF∥AB，DA∥GH∥CB，圖中的平行四邊形共有__個，它們是__．

二、探索平行四邊形的性質并證明

1．探索性質．

啟發(fā)學生從平行四邊形的主要元素——邊、角、對角線的位置關系及數(shù)量關系入手，來觀察、探索、猜想平行四邊形的特有的性質如下：

(3)對角線

⑤對角線互相平分(性質定理3)

教師注意解釋并強調對角線互相平分的含義及表示方法．

2．利用化歸的方法對性質逐一進行證明．

(1)由平行四邊形的定義及平行線的性質很快證出性質①，④，③．

(2)啟發(fā)學生添加一條或兩條對角線，將四邊形分割、化歸為三角形；利用全等三角形的知識證出性質②，⑤．

(3)寫出證明過程．

3．關于“兩條平行線間的平行線段和距離”的教學．

(1)利用性質定理2

導出推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等．

①提問：在圖4－14中，l1∥l2，AB∥CD，那么AB，CD的數(shù)量有何關系？引導學生根據(jù)平行四邊形的定義和性質進行證明．

②引導學生用語言簡練地敘述圖4－14所反映的幾何命題，并強調它的作用．證題時可節(jié)省步驟，省掉判定平行四邊形這一步，直接得到夾在兩條平行線間的平行線段相等．

③強調推論中的條件：“夾”、“平行線間”、“平行線段”的含義和重要性，并做一組辨析練習．

練習2

(投影)如圖4－15，判斷下列幾組圖形能否體現(xiàn)推論所代表的含義．

(2)根據(jù)圖4－15(d)引出兩條平行線的距離的概念，并通過練習區(qū)別三個距離．

練習3

在圖4－15(d)中，

①點A與點C的距離是線段__的長；

②點A到直線l2的距離是線段__的長；

③兩條平行線l1與l2的距離是線段__或__的長；

④由推論可得：兩條平行線間的距離__．

三、平行四邊形的定義及性質的應用

1．計算．

例1填空．

(1)在 ABCD中，AB＝a，BC＝b，∠A＝50°，則 ABCD的周長為__，∠B＝__，∠C＝__，∠D＝__；

(2)在 ABCD中：①∠A∶∠B＝5∶4，則∠A＝__；②∠A＋∠C＝200°，則∠A＝___，∠B＝__；

(3)已知平行四邊形周長為54，兩鄰邊之比為4∶5，則這兩邊長度分別為__；

(4)已知 ABCD對角線交點為O，AC＝24mm，BD＝26mm，①若AD＝22mm，則△OBC周長為__；②若AB⊥AC，則△OBC比△OAB的周長大___；

(5)在 ABCD中，AB＝8cm，BC＝10cm，∠B＝30°，S ABCD＝__；

說明：通過此題讓學生熟悉平行四邊形的性質，會用它及方程的思想進行計算，并復習平行四邊形的面積公式．

2．證明．

例2 已知：如圖4－16， ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，AD上的點，AE∥CF．求證(1)BE＝DF；(2)EF過BD的中點．

分析：

(1)盡量利用平行四邊形的定義和性質，避免證三角形全等．

(2)考慮特殊化情形．在 ABCD中，若E，F(xiàn)在BC，AD上運動到如下位置：AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，求證BE＝DF．在題目的變化與聯(lián)系中靈活選用性質來解題．

例3已知：如圖4－17，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC．求證：(1)∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；(2)△ABC的頂點分別是△B′C′A′各邊的中點．

著重引導學生先分解基本圖形，圖中有3個平行四邊形： C′BCA， ABCB′， ABA′C，分別利用對角相等和對邊相等的性質使問題得到證明．對于第(2)問也可用“夾在兩條平行線間的平行線段相等”來證明．

例4 已知：如圖4－18(a)， ABCD的對角線AC，BD相交于點O，EF過點O與AB，CD分別相交于點E，F(xiàn)．求證：OE＝OF，AE＝CF，BE＝DF．

分析：

(1)引導學生證明以OE，OF為邊的兩個三角形全等，如證△AOE≌△COF或證△BOE≌△DOF．

(2)根據(jù)學生實際，對圖4－18(a)可作適當引申，如圖4－18(b)，(c)，(d)，并歸納結論如下：過平行四邊形對角線的交點作直線交對邊或對邊的延長線，所得對應線段相等．

(3)圖4－18是一組重要的基本圖形，熟悉它的性質對解答復雜問題是很有幫助的．

3．供選用例題．

(1)從平行四邊形的一個銳角頂點作平行四邊形的兩條高線．如果這兩條高線的夾角為135°，則這個平行四邊形相鄰兩內角的度數(shù)為__；若高線分別為1cm和2cm，則平行四邊形的周長為__，面積為___；若兩條高線夾角為120°呢？

(2)如圖4－19，在△ABC中，AD平分∠BAC，過D作DE∥AC交AB于E，過E作EF∥DC交AC于F．求證：AE＝FC．

(3)如圖4－20，在 ABCD中，AD＝2AB，將AB向兩方延長，使AE＝BF＝AB．求證：EC⊥FD．

四、師生共同小結

1．平行四邊形與四邊形的關系．

2．學習了平行四邊形哪些方面的性質？

3．兩條平行線的距離是怎樣定義的？有什么性質？

五、作業(yè)

課本第143頁第2，3，4，5，6題．

課堂教學設計說明

本教學設計需2課時完成．

這節(jié)內容分2課時．第1課時在復習四邊形的有關知識的基礎上，用對比的方式引入平行四邊形的概念，充分體現(xiàn)了平行四邊形在四邊形體系中的地位，然后，教師應啟發(fā)學生從邊、角、對角線三個方面探索平行四邊形的性質，使知識更加系統(tǒng)，更符合學生的認知規(guī)律，而且突出了第1課時的重點，同時更能培養(yǎng)學生主動探求知識的精神和思維的條理性．第2課時重點應用平行四邊形的定義、性質進行計算和證明，教師注意讓學生鞏固基礎知識和基本技能，加強對解題思路的分析，解題思想方法的概括、指導和結論的升華．

　

 

 

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