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“互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關系”教學案例
一、教學過程
1.復習。
反函數(shù)的概念、反函數(shù)求法、互為反函數(shù)的函數(shù)定義域值域的關系。
求出函數(shù)y=x3的反函數(shù)。
2.新課。
先讓學生用幾何畫板畫出y=x3的圖象,學生紛紛動手,很快畫出了函數(shù)的圖象。有部分學生發(fā)出了“咦”的一聲,因為他們得到了如下的圖象(圖1):
教師在畫出上述圖象的學生中選定生1,將他的屏幕內容通過教學系統(tǒng)放到其他同學的屏幕上,很快有學生作出反應。
生2:這是y=x3的反函數(shù)y=的圖象。
師:對,但是怎么會得到這個圖象,請大家討論。
(學生展開討論,但找不出原因。)
師:我們請生1再給大家演示一下,大家?guī)退艺以颉?/p>
(生1將他的制作過程重新重復了一次。)
生3:問題出在他選擇的次序不對。
師:哪個次序?
生3:作點B前,選擇xA和xA3為B的坐標時,他先選擇xA3,后選擇xA,作出來的點的坐標為(xA3,xA),而不是(xA,xA3)。
師:是這樣嗎?我們請生1再做一次。
(這次生1在做的過程中,按xA、xA3的次序選擇,果然得到函數(shù)y=x3的圖象。)
師:看來問題確實是出在這個地方,那么請同學再想想,為什么他采用了錯誤的次序后,恰好得到了y=x3的反函數(shù)y=的圖象呢?
(學生再次陷入思考,一會兒有學生舉手。)
師:我們請生4來告訴大家。
生4:因為他這樣做,正好是將y=x3上的點B(x,y)的橫坐標x與縱坐標y交換,而y=x3的反函數(shù)也正好是將x與y交換。
師:完全正確。下面我們進一步研究y=x3的圖象及其反函數(shù)y=的圖象的關系,同學們能不能看出這兩個函數(shù)的圖象有什么樣的關系?
(多數(shù)學生回答可由y=x3的圖象得到y(tǒng)=的圖象,于是教師進一步追問。)
師:怎么由y=x3的圖象得到y(tǒng)=的圖象?
生5:將y=x3的圖象上點的橫坐標與縱坐標交換,可得到y(tǒng)=的圖象。
師:將橫坐標與縱坐標互換?怎么換?
(學生一時未能明白教師的意思,場面一下子冷了下來,教師不得不將問題進一步明確。)
師:我其實是想問大家這兩個函數(shù)的圖象有沒有對稱關系,有的話,是什么樣的對稱關系?
(學生重新開始觀察這兩個函數(shù)的圖象,一會兒有學生舉手。)
生6:我發(fā)現(xiàn)這兩個圖象應是關于某條直線對稱。
師:能說說是關于哪條直線對稱嗎?
生6:我還沒找出來。
(接下來,教師引導學生利用幾何畫板找出兩函數(shù)圖象的對稱軸,畫出如下圖形,如圖2所示:)
學生通過移動點A(點B、C隨之移動)后發(fā)現(xiàn),BC的中點M在同一條直線上,這條直線就是兩函數(shù)圖象的對稱軸,在追蹤M點后,發(fā)現(xiàn)中點的軌跡是直線y=x。
生7:y=x3的圖象及其反函數(shù)y=的圖象關于直線y=x對稱。
師:這個結論有一般性嗎?其他函數(shù)及其反函數(shù)的圖象,也有這種對稱關系嗎?請同學們用其他函數(shù)來試一試。
(學生紛紛畫出其他函數(shù)與其反函數(shù)的圖象進行驗證,最后大家一致得出結論:函數(shù)及其反函數(shù)的圖象關于直線y=x對稱。)
還是有部分學生舉手,因為他們畫出了如下圖象(圖3):
教師巡視全班時已經發(fā)現(xiàn)這個問題,將這個圖象傳給全班學生后,幾乎所有人都看出了問題所在:圖中函數(shù)y=x2(x∈R)沒有反函數(shù),②也不是函數(shù)的圖象。
最后教師與學生一起總結:
點(x,y)與點(y,x)關于直線y=x對稱;
函數(shù)及其反函數(shù)的圖象關于直線y=x對稱。
二、反思與點評
1.在開學初,我就教學幾何畫板4.0的用法,在教函數(shù)圖象畫法的過程中,發(fā)現(xiàn)學生根據(jù)選定坐標作點時,不太注意選擇橫坐標與縱坐標的順序,本課設計起源于此。雖然幾何畫板4.04中,能直接根據(jù)函數(shù)解析式畫出圖象,但這樣反而不能揭示圖象對稱的本質,所以本節(jié)課教學中,我有意選擇了幾何畫板4.0進行教學。
2.荷蘭數(shù)學教育家弗賴登塔爾認為,數(shù)學學習過程中,可借助于生動直觀的形象來引導人們的思想過程,但常常由于圖形或想象的錯誤,使人們的思維誤入歧途,因此我們既要借助直觀,但又必須在一定條件下擺脫直觀而形成抽象概念,要注意過于直觀的例子常常會影響學生正確理解比較抽象的概念。
計算機作為一種現(xiàn)代信息技術工具,在直觀化方面有很強的表現(xiàn)能力,如在函數(shù)的圖象、圖形變換等方面,利用計算機都可得到其他直觀工具不可能有的效果;如果只是為了直觀而使用計算機,但不能達到更好地理解抽象概念,促進學生思維的目的的話,這樣的教學中,計算機最多只是一種普通的直觀工具而已。
在本節(jié)課的教學中,計算機更多的是作為學生探索發(fā)現(xiàn)的工具,學生不但發(fā)現(xiàn)了函數(shù)與其反函數(shù)圖象間的對稱關系,而且在更深層次上理解了反函數(shù)的概念,對反函數(shù)的存在性、反函數(shù)的求法等方面也有了更深刻的理解。
當前計算機用于中學數(shù)學的主要形式還是以輔助為主,更多的是把計算機作為一種直觀工具,有時甚至只是作為電子黑板使用,今后的發(fā)展方向應是:將計算機作為學生的認知工具,讓學生通過計算機發(fā)現(xiàn)探索,甚至利用計算機來做數(shù)學,在此過程中更好地理解數(shù)學概念,促進數(shù)學思維,發(fā)展數(shù)學創(chuàng)新能力。
3.在引出兩個函數(shù)圖象對稱關系的時候,問題設計不甚妥當,本來是想要學生回答兩個函數(shù)圖象對稱的關系,但學生誤以為是問如何由y=x3的圖象得到y(tǒng)=的圖象,以致將學生引入歧途。這樣的問題在今后的教學中是必須力求避免的。
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