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            下學(xué)期 4.2 弧度制

            時(shí)間:2022-08-17 03:34:10 高一數(shù)學(xué)教案 我要投稿
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            下學(xué)期 4.2 弧度制

            教學(xué)目標(biāo):

              1.明確引入弧度制的必要性,理解新單位制意義.

              2.熟練掌握角度制與弧度制的換算.

            教學(xué)重點(diǎn):理解弧度制引入的必要性,掌握定義,能熟練地進(jìn)行角度制與弧度制的互化.

            教學(xué)難點(diǎn):弧度制定義的理解.

            教學(xué)用具:投影儀.

            教學(xué)過(guò)程

            1.設(shè)置情境

              在角度制下,當(dāng)把兩個(gè)帶著度、分、秒各單位的角相加、相減時(shí),由于運(yùn)算進(jìn)率非十進(jìn)制,總給我們帶來(lái)不少困難.那么我們能否重新選擇角單位,使在該單位制下兩角的加、減運(yùn)算與常規(guī)的十進(jìn)制加減法一樣去做呢?本節(jié)課就來(lái)嘗試選擇這種新單位.

            2.探索研究

            (1)復(fù)習(xí)角度制

              我們?cè)谄矫鎺缀沃醒芯拷堑亩攘浚?dāng)時(shí)是用度做單位來(lái)度量角, 的角是如何定義的?

              規(guī)定把周角的 作為1度的角.

              我們把用度做單位來(lái)度量角的制度叫做角度制,在數(shù)學(xué)和其他許多科學(xué)研究中還要經(jīng)常用到另一種度量角的制度—弧度制,它是如何定義呢?

            (2)弧度制定義   

              我們把等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角,如圖1,弧 的長(zhǎng)等于半徑 , 所對(duì)的圓心角 就是1弧度的角,弧度制的單位符號(hào)是 ,讀作弧度.

            圖1

               的弧度數(shù)       的弧度數(shù)

              提問(wèn):若弧是一個(gè)半圓,則其圓心角的弧度數(shù)是多少?若弧是一個(gè)整圓呢?

              因?yàn)榘雸A的弧長(zhǎng) ,其圓心角的弧度數(shù)是 ,同理,若弧是一個(gè)整圓,其圓心角的弧度數(shù)是

              在 的角的弧度數(shù) 必然適合不等式 ,角的概念推廣后,弧的概念也隨之推廣,任一正角的弧度數(shù)都是一個(gè)正數(shù).如果圓心角表示一個(gè)負(fù)角,且它以所對(duì)的弧長(zhǎng) ,則這個(gè)圓心角的弧度數(shù)是 ,由此我們給出弧度制的定義:一般地,可以得到:正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù),負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù),零角的弧度數(shù)是0;角 的弧度數(shù)的絕對(duì)值 ,其中 是以角 作為圓心角時(shí)所對(duì)的弧長(zhǎng), 是圓的半徑,這種以弧度作為單位來(lái)度量角的單位制,叫做弧度制.

              提問(wèn):為什么可以用弧長(zhǎng)與其半徑的比值來(lái)度量角的大小呢?即這個(gè)比值是否與所取的圓的半徑大小無(wú)關(guān)呢?

              如圖2,設(shè) 的角,圓弧 和 的長(zhǎng)分別為 ,點(diǎn) 到點(diǎn) 的距離(即圓半徑)分別為 ,由初中學(xué)過(guò)的弧長(zhǎng)公式可得: , ,于是 .上式表明,以角 為圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)與其半徑的比值,由 的大小來(lái)確定,與所取的半徑大小無(wú)關(guān),僅與角的大小有關(guān).

              因 ,可以得到 ,那弧長(zhǎng)等于圓弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)的絕對(duì)值與半徑的積,這個(gè)公式比采用角度制時(shí)相應(yīng)公式 要簡(jiǎn)單.

            (3)角度制與弧度制的換算

              用“弧度”與“度”去度量每一個(gè)角時(shí),除了零角以外,所得到的量數(shù)都是不同的,但它們既然是度量同一個(gè)角的結(jié)果,二者就可以相互換算.我們已經(jīng)知識(shí)若弧是一個(gè)整圓,它的圓心角是周角,其弧度數(shù)是 ,而在角度制里它是 ,因此 ,兩邊除以2.

              得         等式兩邊同除180

              得  

              同理,把弧度換成角度.

                                 

                                 

                                 

            【例1】把 化成弧度.

            解:∵

              ∴

            【例2】把 化成度.

            解:

            同學(xué)們?cè)谶M(jìn)行角度制與弧度制互化時(shí)要抓住 弧度這個(gè)關(guān)鍵.

            下面請(qǐng)大家寫(xiě)出一些特殊角的弧度數(shù).

            角度

             

             

               

             

            弧度

               

             

               

             

            按從左至右順序其答案是:0、 、 、 、 、 、 、 、 .今后我們用弧度制表示角的時(shí)候,“弧度”二字或“ ”通常省略不寫(xiě),而只寫(xiě)相應(yīng)的弧度數(shù).例如:角 就表示 的角, 就表示 的角的余弦,即

            (4)角度制與弧度制的比較

              引進(jìn)弧度制后,我們應(yīng)將它與角度制進(jìn)行比較,同學(xué)們應(yīng)明確:①弧度制是以“弧度”為單位度量角的制度,角度制是以“度”為單位度量角的制度;②1弧度是等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角(或該。┑拇笮,而 是圓的 所對(duì)的圓心角(或該。┑拇笮;③不論是以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個(gè)與半徑大小無(wú)關(guān)的定值.

            【例3】計(jì)算:

            (1) ;(2)

            解:(1)∵        ∴

             。2)∵

                

            練習(xí)(用投影儀)

            1.把下列各角化成 的形式:

             。1) ;(2)

             。3)

            2.求右圖3中公路彎道處弧 的長(zhǎng) (精確到 ,圖中長(zhǎng)度單位: ).                                                   

            參考答案:

            1.(1)

             。2)

             。3)            

            2.∵

              ∴

               

              答:彎道處 的長(zhǎng)約為

            3.練習(xí)反饋

             。1)若三角形的三個(gè)內(nèi)角之比是2:3:4,求其三個(gè)內(nèi)角的弧度數(shù).

             。2)已知扇形的周長(zhǎng)為 ,面積為 ,求扇形的中心角的弧度數(shù).

             。3)下列終邊相同的是(  ).

              A.

              B.

              C.

              D.

            參考答案:(1) 、 ;。2)2 。3)B

            4.總結(jié)提煉

              (1) 弧度;

             。2)“角化弧”時(shí),將 乘以 ;“弧化角”時(shí),將 乘以

             。3)弧長(zhǎng)公式:

            扇形面積公式: .(其中 為圓心角 所對(duì)的弧長(zhǎng), 為圓心角的弧度數(shù), 為圓半徑.)

            課時(shí)作業(yè)

            1.角集合 之間的關(guān)系為(      )

              A.  B.   C.   D.不確定

            2.若角 的終邊互為反向延長(zhǎng)線(xiàn),則有(      )

              A.     B.

              C.     D.

            3.中心角為 的扇形,它的弧長(zhǎng)為 ,則該扇形所在圓的半徑為_(kāi)_____________.

            4.若 ,且 的角的終邊垂直,則

            5.已知直徑為 的滑輪上有一條長(zhǎng)為 的弦, 是此弦的中點(diǎn),若滑輪以每秒5弧度的角速度旋轉(zhuǎn),則經(jīng)過(guò)5秒鐘后點(diǎn) 轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)等于多少?

            6.已知一個(gè)扇形周長(zhǎng)為 ,當(dāng)扇形的中心角為多大時(shí),它有最大面積

            參考答案:1.C  2.D   3.6; 4. ; 5. ; 6.中心角 時(shí),


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