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下學(xué)期 4.6 兩角和與差的正弦、余弦、正切1
4.6兩角和與差的正弦、余弦、正切(第一課時(shí))
(一)教具準(zhǔn)備
直尺、圓規(guī)、投影儀
(二)教學(xué)目標(biāo)
1.掌握 公式的推導(dǎo),并能用賦值法,求出公式 .
2.應(yīng)用公式 ,求三角函數(shù)值.
(三)教學(xué)過程
1.設(shè)置情境
上一單元我們學(xué)習(xí)了同一個(gè)角的三角函數(shù)的性質(zhì)以及各三角函數(shù)之間的相互關(guān)系.本節(jié)開始討論兩個(gè)角的三角函數(shù),已知任意角 的三角函數(shù)值,如何求出 , 或 的三角函數(shù)值,這一節(jié)課我們將研究 、 .
2.探索研究
(1)公式 、 推導(dǎo).
請(qǐng)大家考慮,如果已知 、 ,怎樣求出 ?
是否成立.
生:不成立, , 等式就不成立.
師:很好,把 寫成 是想應(yīng)用乘法對(duì)加法的分配律,可是 是角 的余弦值,并不是“ ”乘以 ,不能應(yīng)用分配律.
事實(shí)上如果 都是銳角,那么總有 .
考慮兩組數(shù)據(jù)
① , 這時(shí) , 而
② , 這時(shí) , 而
從這組數(shù)據(jù)我們發(fā)現(xiàn)不能由 、 直接得出 .師:如果我們?cè)偎愠? , ,試試看能否找到什么關(guān)系.
生:① , , , ,
而
、 , , , ,
而
由(1)、(2)可得出,
師:這位同學(xué)用具體的例子得到的一個(gè)關(guān)系式:
只有通過嚴(yán)格的理論證明才行.下面給出證明:為了證明它,首先給出兩點(diǎn)間的距離,圖1(也可以利用多媒體課件演示).考慮坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn) , 過點(diǎn) 分別作 軸的垂線 , ,與 軸交于點(diǎn) , ;同理 ,
那么 , ,由勾股定理 ,由此得到平面內(nèi) 兩點(diǎn)間的距離公式
師:(可以用課件演示)如右圖2,在直角坐標(biāo)系 內(nèi)作單位圓 ,并作出角 、 與 請(qǐng)同學(xué)們把坐標(biāo)系中 , , , 各點(diǎn)的坐標(biāo)用三角函數(shù)表示出來.
生: , , ,
師:線段 與 有什么關(guān)系?為什么?
生:因?yàn)椤? ≌△ ,所以 .
師:請(qǐng)同學(xué)們用兩點(diǎn)間的距離公式把 表示出來并加以整理.
展開并整理,得
所以 (記為 )
這個(gè)公式對(duì)任意的 , 均成立,如果我們把公式中的 都換成 ,又會(huì)得到什么?
生:
即
。ㄓ洖 )
(2)例題分析
【例1】不查表,求 及 的值.
因?yàn)轭}目要求不查表,所以要想辦法用特殊角計(jì)算,為此 化成 , 化成 ,請(qǐng)同學(xué)們自己利用公式計(jì)算.
注:拆角方法并不惟一.事實(shí)上,如果求出 ,那么 ,再者, 也可寫成 ,甚至 等均可以.
【例2】已知 , , , ,求 的值.
分析:觀察公式 要算 應(yīng)先求出 , .
解:由 , 得
又由 , 得
【例3】 不查表,求下列各式的值:
(1) ;
(2) ;
(3) .
解:(1)
。2)
。3)
【例4】 證明公式:
(1) ;(2)
證明:(1)利用 可得
∴
(2)因?yàn)樯鲜街? 為任意角,故可將 換成 ,就得
即
練習(xí)(投影、學(xué)生板演)
。1)
。2)已知 , ,求
解答:
(1)逆用公式
(2)湊角:∵ ,∴ ,故
.
說明:請(qǐng)同學(xué)們很好體會(huì)一下,上述湊角的必然性和技巧性,并能主動(dòng)嘗試訓(xùn)練,以求熟練。
3.演練反饋
(1) 的值是(。
A. B. C. D.
(2) 等于( )
A.0 B. C. D.2
(3)已知銳角 滿足 , ,則 為( )
A. B. C. 或 D. ,
參考答案:(1)B; (2)B; (3)A.
4.總結(jié)提煉
。1)牢記公式“ ”結(jié)構(gòu),不符合條件的要能通過誘導(dǎo)公式進(jìn)行變形,使之符合公式結(jié)構(gòu),即創(chuàng)造條件用公式.
。2)在“給值求值”題型中,要能靈活處理已、未知關(guān)系,如已知角 、 的值,求 ,應(yīng)視 、 分別為已知角, 為未知角,并實(shí)現(xiàn)“ ”與“ ”及“ ”之間的溝通: .
。3)利用特值代換證明 , ,體會(huì) 的強(qiáng)大功能.
(四)板書設(shè)計(jì)
1.平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式
2.兩角和余弦公式及推導(dǎo)
例1
例2
例3
例4
練習(xí)反饋
總結(jié)提煉
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