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求和問題的解決
（配合義務(wù)教材第七冊使用）［問題情景］
學(xué)校組織看電影了。數(shù)學(xué)老師讓同學(xué)們留心觀察影劇院的座位排數(shù)和每排座位數(shù)，并要求算出影劇院共有多少個(gè)座位。第二天，同學(xué)們先把觀察到的情況向老師匯報(bào)如下：這個(gè)影劇院第一排有２２個(gè)座位，每排的后一排都比前一排多２個(gè)座位，最后一排有６８個(gè)座位，共２４排。老師聽后，問：你們算出了這個(gè)影劇院共有多少個(gè)座位嗎？同學(xué)們講出了各自的解答。但，老師對同學(xué)們的解答并不滿意，因?yàn)樗麄兊慕獯饚缀跸嗤驾^繁鎖。
［問題詮釋］
要計(jì)算共有多少個(gè)座位，也就是求這樣一列數(shù)“２２，２４，２６，２８……６４，６６，６８”之和。若從２２開始一個(gè)接一個(gè)相加求和，就顯得繁鎖，但仔細(xì)分析這列數(shù)，它有一個(gè)明顯的特點(diǎn)：從第二個(gè)數(shù)起，后一個(gè)數(shù)減去前一個(gè)數(shù)的差都是２，根據(jù)這列數(shù)的排列特點(diǎn)，在求它們的和時(shí)，應(yīng)用加法交換律和結(jié)合律，容易發(fā)現(xiàn)：２２＋６８＝２４＋６６＝２６＋６４＝２８＋６２＝……＝９０，即第一個(gè)數(shù)加最后一個(gè)數(shù)，第二個(gè)數(shù)加倒數(shù)第二個(gè)數(shù)，第三個(gè)數(shù)加倒數(shù)第三個(gè)數(shù)，……，和都等于９０。這２４個(gè)數(shù)相加，有多少個(gè)９０呢？很顯然有１２個(gè)。所以２２＋２４＋２６＋……＋６４＋６６＋６８＝９０×１２＝１０８０就是說，利用這種方法計(jì)算，很快就能知道這個(gè)影劇院共有１０８０個(gè)座位。
［建立模式］
上述一列數(shù)中，第一個(gè)數(shù)稱為首項(xiàng)，第二個(gè)數(shù)稱為第二項(xiàng)，依此類推，最后一個(gè)數(shù)稱為末項(xiàng)，這列數(shù)一共有２４項(xiàng)。如果一列數(shù)，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)減去它前面一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)定數(shù)（這一個(gè)定數(shù)叫做公差），那么，這樣一列數(shù)的和，可以用“（首項(xiàng)＋末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷公差”來求出，且計(jì)算簡潔準(zhǔn)確。
［問題解決］
１．小明為測量一座高樓的高度，他站在高樓的頂上，讓一物體從他的腳邊自由掉下，后測得物體第一秒鐘落下４．９米，以后每秒多落下９．８米，經(jīng)過１０秒鐘到達(dá)地面。這座高樓共有多高？分析：根據(jù)題意，可知
第一秒落下：４．９＝４．９＋９．８×（１－１）
第二秒落下：４．９＋９．８＝４．９＋９．８×（２－１）
第三秒落下：４．９＋９．８＋９．８＝４．９＋９．８×（３－１）
……
第１０秒落下：４．９＋９．８×（１０－１）＝９３．１
所以，這座樓的高為（４．９＋９３．１）×１０÷２＝４９０（米）
２．某體育館的一個(gè)側(cè)看臺，第一排有３２個(gè)座位，后面的每一排都比前一排多２個(gè)座位，最后一排是８８個(gè)座位，正常情況下，這側(cè)看臺可容納多少人觀看節(jié)目？
簡析：根據(jù)“項(xiàng)數(shù)＝（末項(xiàng)－首項(xiàng)）÷公差＋１”，可求出座位排數(shù)為（８８－３２）÷２＋１＝２９（排），這側(cè)看臺的座位數(shù)為（３２＋８８）×２９÷２＝１７４０（個(gè)），因此，正常情況，這側(cè)看臺可容納１７４０人觀看節(jié)目。
３．小張來到招聘信息中心，想找一個(gè)能展示自己特長的理想工作，只見招聘廣告琳瑯滿目，最后他認(rèn)為這樣兩家公司能充分發(fā)揮自己的才能，這兩家公司的招聘廣告如下：
甲公司凡前來應(yīng)聘者，一旦應(yīng)聘，均簽訂一年的工作合同，在這一年中，月固定工資為７５０元……
乙公司凡前來應(yīng)聘者，一旦應(yīng)聘，均簽訂一年的工作合同。在這一年中，第一個(gè)月工資為４００元，若工作表現(xiàn)好，從第二個(gè)月起，每月工資都在前一個(gè)月的基礎(chǔ)上，上浮５０元……
小張想，兩家公司均為一年合同，在這一年中，究竟到哪家公司工作的總收入高呢？
分析（略），答案：到甲公司的總收入高。
［問題情景］
今年，張大伯家的早稻又豐收了。這不，今天他又曬了１２袋稻谷，準(zhǔn)備去交公糧。這１２袋的重量分別是（單位：千克）：４５，４８．５，４５，４３．５，４７，４４．５，５０，４２，４７．５，４９．５，４８，４３。你能否很快算出這些稻谷的總重量嗎？
［問題詮釋］
求１２袋稻谷的總重量，當(dāng)然可以將每袋的重量逐個(gè)相加起來。但是，有沒有簡便的算法呢？仔細(xì)觀察這１２袋的重量數(shù)，最輕的為４２千克，最重的為５０千克，而且都在４６千克上下波動。重于４６千克的有６袋，輕于４６千克的也有６袋。所以，可選�。矗肚Э藶榛鶞�(zhǔn)數(shù)，重于４６千克的６袋，每袋超過的千克數(shù)之和是２．５＋１＋４＋１．５＋３．５＋２＝１４．５（千克）；輕于４６千克的６袋，每袋不足的千克數(shù)之和是１＋１＋２．５＋１．５＋４＋３＝１３（千克）。因此，１２袋的總重量為：４６×１２＋１４．５－１３＝５５２＋１．５＝５５３．５（千克）
［建立模式］
求一組彼此比較接近的數(shù)的和時(shí)，可選取其中一個(gè)數(shù)為基準(zhǔn)數(shù)。如果大于基準(zhǔn)數(shù)的那些數(shù)，每個(gè)數(shù)減去基準(zhǔn)數(shù)，所得差相加的結(jié)果用Ｓ超表示；小于基準(zhǔn)數(shù)的那些數(shù)，用基準(zhǔn)數(shù)分別去減這每一個(gè)數(shù)，所得差相加的結(jié)果用Ｓ不足表示，那么這組數(shù)的總和＝基準(zhǔn)數(shù)×加數(shù)的個(gè)數(shù)＋Ｓ超－Ｓ不足
［問題解決］
１．學(xué)校六一文藝匯演，由１０位評委給每個(gè)節(jié)目打分，并規(guī)定：去掉其中的一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，將其余分?jǐn)?shù)作為該節(jié)目的得分。四（１）班表演了一個(gè)小品節(jié)目，１０位評委分別給這個(gè)節(jié)目的打分是９．５，９．６，９．３，９．７，９．４，９．１，９．７，９．５，９．２，９．６，這個(gè)節(jié)目的總得分是多少？
分析：去掉一個(gè)最高分９．７分和一個(gè)最低分９．１分后，該節(jié)目的總得分是（以９分為基準(zhǔn)數(shù)：９×８＋（０．５＋０．６＋０．３＋０．４＋０．７＋０．５＋０．２＋０．６）＝７２＋３．８＝７５．８（分）
２．水果店運(yùn)進(jìn)８筐蘋果，每筐蘋果的重量如下（單位：千克）：５２，５０．５，５０，４８，５１．５，４９．５，４８，５２．５。（１）當(dāng)你看完每筐蘋果的重量后，能立刻估算出８筐蘋果的總重量嗎？（２）平均每筐的重量是多少？
分析：（１）觀察這些數(shù)據(jù)，都在５０上下，據(jù)此可估算出８筐蘋果的總重量約為：５０×８＝４００（千克）。
以５０千克為基準(zhǔn)數(shù)，平均每筐的重量為：５０＋〔（２＋０．５＋０＋１．５＋２．５）－（２＋０．５＋２）〕÷８＝５０．２５（千克）。
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