讓靜止的圖形動(dòng)起來

——六年級數(shù)學(xué)活動(dòng)課紀(jì)實(shí)
    （北京市順義縣第二教師進(jìn)修學(xué)校 周愛東 賈福祿 設(shè)計(jì)
    北京市順義縣馬坡中心小學(xué) 獻(xiàn)臣 執(zhí)教）
    教學(xué)內(nèi)容 幾何圖形的面積計(jì)算
    教學(xué)目標(biāo)
    1.培養(yǎng)學(xué)生的觀察力、想象力，使學(xué)生有意識地把題目的條件看活，用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)解答幾何圖形的題目。
    2.滲透“事物之間是互相聯(lián)系的，可以互相轉(zhuǎn)化”的觀點(diǎn)。
    教學(xué)過程
    一、出示準(zhǔn)備題
    用同樣大小的正方形瓷磚鋪一個(gè)正方形的地面，兩條對角線上鋪黑的，其它地方鋪白色的，如圖所示。如 果鋪滿這塊地面共用101 塊黑色的瓷磚，那么白色瓷磚用了多少塊？
    （附圖 {圖}）
    1.學(xué)生讀題、提出問題、弄清題意。
    2.師：這是以前我們研究過的一個(gè)問題，請大家回想一下，當(dāng)時(shí)我們是用什么方法來研究解答這個(gè)問題的 ？
    生：我們是在一個(gè)5×5的網(wǎng)格內(nèi)，沿兩條對角線方向擺放硬幣，用硬幣代表黑色瓷磚。再通過旋轉(zhuǎn)、平移 的方法，改變硬幣的擺放位置，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，來解答這個(gè)問題的。
    3.生：獨(dú)立操作，解答問題。
    ①操作：
    （附圖 {圖}）
    ②指名說操作過程。
    先在兩條對角線上放滿硬幣（如圖1）共放了9枚硬幣；然后旋轉(zhuǎn)每條對角線上的硬幣，使其進(jìn)入到5×5網(wǎng) 格中的行與列中（如圖2）， 在旋轉(zhuǎn)過程中，硬幣的擺放位置發(fā)生了改變，但是枚數(shù)沒有變；最后再將硬幣平 移到兩條邊上（如圖3）。 此時(shí)沒有擺放硬幣的小格由原來的被分成四塊，而合并成了一塊，且恰好組成了一 個(gè)正方形，其邊長恰好與原來大正方形的邊長相差1。
    ③解答準(zhǔn)備題：
    同樣道理我們可以通過旋轉(zhuǎn)、平移兩次動(dòng)態(tài)處理，把題中兩條對角線上的黑色瓷磚移到兩條邊上（如圖） 。在這一轉(zhuǎn)化過程中瓷磚的擺放位置發(fā)生了變化，但數(shù)量都沒有變。此時(shí)便容易求解：
    （附圖 {圖}）
    （101＋1）÷2＝51（大正方形每邊瓷磚數(shù)）
    51－1＝50（白色正方形每邊瓷磚數(shù)）
    50[2]＝2500（塊）
    答：白色瓷磚共用了2500塊。
    4.教師小結(jié)導(dǎo)入新課：
    剛才，我們在研究這個(gè)問題時(shí)，是通過旋轉(zhuǎn)和平移把對角線上的瓷磚移到了邊上，也就是把題目的條件看 活了。用動(dòng)態(tài)的思維來考慮問題，這種動(dòng)態(tài)解答問題的方法，在解答幾何圖形題時(shí)是常常用到的。今天，我們 就用動(dòng)態(tài)考慮問題的方法，來研究幾道幾何圖形的問題（板書課題：讓靜止的圖形動(dòng)起來）。
    二、新授
    3
    （二）1.例1 圖中三角形AED的面積占梯形ABCD面積的─，且AB
    7
    ＝5cm、BC＝8cm，求三角形AED的面積？
    （附圖 {圖}）
    ①指名讀題。
    3
    ②簡要分析：三角形AED的面積占梯形ABCD面積的─，也可以理解
    7
    梯形ABCD面積是7份，三角形AED面積占3份， 兩個(gè)空白三角形面積的和占4份，AB是梯形和三角形的高，要 求三角形AED的面積，知道了高，需要先求出底AD的長。
    空白面積：三角形面積＝4∶3
    ③引導(dǎo)解答
    師：在梯形ABCD中，你能否畫出一個(gè)與AED面積相等的三角形來？這樣的三角形可以畫出多少個(gè)？
    讓學(xué)生獨(dú)立思考，使他們體會(huì)到這樣的三角形可以畫出無數(shù)個(gè)，只要在BC邊上任取一點(diǎn)，和AD連起來所構(gòu) 成的三角形就知道和AED 的面積相等，因?yàn)樗鼈兪峭�底等高的三角形�?
    師：通過上述分析，我們就可以把E點(diǎn)理解成為一個(gè)“動(dòng)點(diǎn)”， 它可以沿BC邊來回移動(dòng)。在移的過程中三 角形AED的形狀發(fā)生了變化， 但面積不變。那么大家想一想，我們把點(diǎn)移到哪里，圖形就更簡單，題目就更容 易解答呢？
    （附圖 {圖}）
    生：將E點(diǎn)移到B或C點(diǎn)處。
    師：畫出E點(diǎn)移到C點(diǎn)時(shí)的圖形（見右圖）并提問題：三角形ABC 的面積與原來兩個(gè)空白三角形面積是否相 等？為什么？
    生：相等。因?yàn)橐苿?dòng)E點(diǎn)的過程中，梯形面積沒有變， 陰影三角形AED的面積也沒有變，所以三角形ABC的 面積與原來兩個(gè)空白三角形面積的和相等。
    生解答：
    方法1 陰影部分與空白部分的面積分別是3份和4份， 它們的高相
    8×3
    等，所以底是3份BC就是4份，因?yàn)锽C＝8cm，所以AD＝─＝6cm， 三角
    4
    形AED的面積是：6×5÷2＝15（cm[2]）。
    1 3 3
    方法2 8×5×─÷（1－─）×─＝15（cm[2]）
    2 7 7
    師小結(jié)：這道題，我們除了把E點(diǎn)移到B點(diǎn)或C點(diǎn)， 還可以移到一個(gè)特殊的點(diǎn)上，來解答，而且也可以通過 添加輔助線的方法求解，這些解法留給大家在課下進(jìn)行研究。
    在解答這道題的過程中，我們通過點(diǎn)的移動(dòng)，尋找到了解題的突破口，可見這種“動(dòng)態(tài)考慮問題”的思想 可以使解題的方法更靈活，更巧妙。這種解題思路還有更廣泛的應(yīng)用呢，下面我們來看例2。
    例2 有紅黃綠三塊大小一樣的正方形紙片， 放在一個(gè)盒內(nèi)它們之間相互疊合（如圖，教師備有教具）已 知露在外面的部分中，紅色面積是20，黃色面積是14，綠色面積是10，那么正方形盒的面積是多少？
    ①指名讀題
    ②啟發(fā)、引導(dǎo)
    師：三張紙片大小一樣，但它們露出的面積卻不同，這是為什么？
    生：三張紙片放入正方形盒內(nèi)，要互相疊合，由于放置順序不同，露出的面積就不同。
    師：誰能說一說這三張紙的放置順序。
    生：先放綠色的、再放黃色的，最后放紅色的。
    師：現(xiàn)在黃色、綠色紙片露出的部分都不是長方形，你能不能通過改變放置順序，使它們露出的部分變成 長方形。
    生：先放黃色紙片再放綠色的，最后放紅色的。（在學(xué)生說的同時(shí)，教師直觀演示將黃色紙片抽出，露出 綠色長方形，然后再把黃色紙片插入綠色紙片下面，將圖1變成了圖2）
    （附圖 {圖}）
    師：現(xiàn)在黃色、綠色紙片露出的部分都變成了長方形，請你比較它們的面積是否相等？分別是多長？
    生：面積相等。因?yàn)樗鼈兊拈L相等，寬都等于正方形盒的邊長減去小正方形紙片的邊長也相等，所以面積 相等。它們的面積和沒有變。各自的面積分別是（14＋10）÷2＝12
    師：請大家認(rèn)真觀察，現(xiàn)在這三張紙片，哪個(gè)位置特殊？能否改變它的位置？
    生：黃色紙片的位置特殊。因?yàn)榧t色和綠色紙片都有兩條邊和正方形紙盒的邊重合，而黃色紙片只有一條 邊與紙盒的邊重合。我們可以使黃色紙片向左移動(dòng)，使它也有兩條邊與紙盒的邊重合。（師演示移動(dòng)，得出圖 3。此時(shí)問題已轉(zhuǎn)化成了學(xué)生以前所研究過的問題， 根據(jù)三個(gè)長方形面積間的倍數(shù)關(guān)系可推出邊長的份數(shù)關(guān)系 ，便可順利求解。
    3
    20＋12×2＋12×─＝51.2
    5
    5[2] 64
    或20÷─────＝20×─＝51.2
    （5＋3）[2] 25
    所以正方形紙盒的面積是51.2。
    師：剛才我們解答問題實(shí)際上是走了彎路請大家（對照圖1和圖3，想一想還可以怎樣將圖1轉(zhuǎn)化成圖3？）
    （附圖 {圖}）
    生：直接向左移動(dòng)黃色紙片。
    師：直觀演示向左移動(dòng)黃色紙片，并提出問題：請觀察黃色和綠色露出的部分面積各發(fā)生了什么變化？
    使學(xué)生體會(huì)到：黃色紙片的面積在減少，綠色紙片的面積在增加，它們的面積和不變。
    3.教師小結(jié)。
    投影出示上述兩道例題的原圖與轉(zhuǎn)化后的圖的對比圖。（已脫離了實(shí)際數(shù)據(jù)）
    （附圖 {圖}）
    今天我們所研究的兩個(gè)問題，都需要把題目的條件看活，將原題轉(zhuǎn)化后再求解。例1是通過點(diǎn)的移動(dòng)， 將 原來分著的空白三角形合并成了一個(gè)三角形。例2是通過面的平移，把復(fù)雜的圖形變成了簡單圖形， 把原來面 積不等變成了相等。這種“動(dòng)態(tài)考慮問題”的思想可以使我們解題的思路更快捷，解題的方法更靈巧所以希望 同學(xué)們今后能自覺運(yùn)用這種動(dòng)態(tài)思想來解答問題。
    三、練習(xí)
    已知長方形的長是8cm，寬是4cm，圖中陰影面積是10cm[2]， 求CD長多少厘米？ 

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