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            對數(shù)函數(shù)中與二次函數(shù)的問題

            時間:2022-08-17 17:13:52 數(shù)學論文 我要投稿
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            對數(shù)函數(shù)中與二次函數(shù)有關的問題

            教學目的: 通過一些例題的講解 , 對對數(shù)函數(shù)的性質、圖象及二次函數(shù)的一些問題進行復習,使學生加深對函數(shù)的認識 , 能夠對一些有難度的題進行分析。 教學難點: 復合函數(shù)中定義域及值域的求解。 換元后新變量的定義域的確定。 教學過程在前段時間中我們學習了對數(shù)函數(shù)和它們的一些性質 , 下面我們就先來復習一下有關知識 ( 點擊性質 , 見幻燈片 2) 。 下面我們來做兩道復習鞏固題。 1. 求 的定義域。 (要求一個比較復雜的函數(shù)的定義域,首先要看清這個復雜函數(shù)是由哪幾個簡單函數(shù)構成的.在此是三個以十為底的對數(shù)函數(shù),所以我們只要考慮其真數(shù)部分要大于0即可.由此可列出三個不等式.習慣上用大括號括起來,表示要同時滿足.) 分析: x>0 0可以寫成 lg1 ,而該函數(shù)為單調遞增函數(shù),由此可解出. 綜上所述 x>10 。 2. 試比較 與 的大小。 對于一般的比較大小問題,我們可以通過函數(shù)的增減性來解決.這道題目顯然也是通過此途徑來解決.但是其給出的條件不是很明確,那么我們就只能先從對數(shù)函數(shù)本身的條件作為著手點. 解: 由這個條件,可以知道這個函數(shù)是單調遞增的,即真數(shù)大的函數(shù)值就大. (請學生口述,屏幕顯示.第三條可能不會考慮) 則有:當 x-1>3 即 x>4 時, > 當 0<x-1<3 即 1<x<4 時, < 當 x-1=3 即 x=4 時, = 上面兩題主要是讓同學們在解決對數(shù)函數(shù)問題的時候,要看清起定義域,對于約束條件要寫完整同時要注意一些隱藏條件,細致分析問題. 對于一般的對數(shù)函數(shù)中有關定義域、值域以及單調性問題我們能夠比較熟練的解決 , 但是我們在遇到的一些問題中往往對數(shù)函數(shù)不是單獨出現(xiàn)的 , 它總是和其他函數(shù)同時出現(xiàn) , 特別是二次函數(shù) , 那么如何來解決這類比較復雜的問題呢 ? 這就是我們這節(jié)課所要講的內容。在講解例題之前我先強調一點 , 我們做任何題 , 不管是簡單的還是復雜的 , 關鍵的是抓住其基本性質 , 盡量把問題轉化到我們所熟悉的情況下進行解決。 那么要把對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)結合起來 , 最常見的就是復合函數(shù)。下面就先來看這么一道題 例 1 的單調遞增區(qū)間是()。 A. B. C. D. 分析: 由于以 1/2 為底的對數(shù)函數(shù)是一個單調減函數(shù),所以要求該函數(shù)的單調遞增區(qū)間,也就是要求該二次函數(shù)的單調遞減區(qū)間。下面我們就把問題轉化為解決二次函數(shù)的問題。對于該二次函數(shù)進行配方 , 我們可以很容易看出是一個開口向上的拋物線 , 則其在 x 小于- 1/2 時為單調遞減, x 大于- 1/2 時為單調遞增。 那么該題是否到此為止了呢 ? 其實在此對于上面的二次函數(shù)是有范圍的,也就是說 即 x<-2 或 x>1 綜上所述,我們應該選擇B 好 , 我們來看一個一般問題 , 對于類似與上面這題的復合函數(shù) 的單調區(qū)間是怎樣的. 該二次函數(shù)圖象為一開口向上的拋物線。 若該拋物線與 x 軸有兩個交點 若該拋物線與 x 軸只有一個交點 若該拋物線與 x 軸沒有交點 若函數(shù) 的值域為一切實數(shù) , 求實數(shù) 的取值范圍。 按照通常的做法,要使函數(shù)有意義,必須有: 對一切實數(shù) x 都成立 ,即 其實當 時, 可以看出 可見值域并非為 R ,說明上述解答有誤。 要使函數(shù) 的值域為 R, 即要真數(shù) 取遍所有正數(shù) , 故二次函數(shù) 的圖象與 x 軸有交點 , 所以 , 得 或 。 故實數(shù) a 的取值范圍為 我們在考慮這類復合函數(shù)問題的時候 , 要仔細分析各函數(shù)的定義域和值域以及復合后的定義域和值域的變化。 以上這兩題中的二次函數(shù)是作為對數(shù)函數(shù)的一部分出現(xiàn)的 , 有的時候會和、反過來 , 對數(shù)函數(shù)作為二次函數(shù)的一部分出現(xiàn) , 下面我們來看這么幾道題。 若 , 且 , 求 的最值。 分析 : 既然是求 的最值 , 先對其整理 , 可得 : 而 。 這道題比較簡單 , 但要注意對數(shù)的計算 , 在最后是通過配方求出最值的。 若 有兩個小于 1 的正根 , 且 ,求實數(shù) 的取值范圍。 分析 : 既然是對數(shù)函數(shù) , 我們先不管后面的條件 , 該怎么做就怎么做 , 即先化簡函數(shù)方程。 則有 由于形式有點復雜 , 我們可以作個代換 , 在此 , 要注意 , 由于變量的代換 , 則其定義域也會隨之改變 , 有 : x<1, 則 t<0 下面由學生回答如何利用韋達定理列出一系列的不等式 : 在此題中 , 注意換元后 , 其變量的定義域的變化。 若 恰有一個實根 , 求實數(shù) 的取值范圍。 分析 : 這個式子中出現(xiàn)的對數(shù)函數(shù)和前面的有所不同 , 但我們首先做的工作就是把它化簡 , 只是這里和前面有所不同。前面是把真數(shù)部分的乘除化開來 , 而在這里是把對數(shù)的加減合起來。先把它化簡我們可以得到 : 這時出現(xiàn)了同底對數(shù) , 但右邊前面有 2, 所以我們可以怎么樣 ? 我想把這個 2 除到左邊去 , 一方面是為了提醒大家 , 左邊的真數(shù)部分 2x 是大于 0 的 , 另一個作用我們下面會有用。于是我們得到了 : 下面就是分析方程 只有一個實數(shù)根的問題 如果在這里簡單就認為把其平方得到一個二次函數(shù) , 再令 即可的話 , 似乎總有點心有余悸 , 好象有問題。下面我介紹一種方法來具體研究。 我們可以把這個方程寫成兩個函數(shù)的形式 : 與 要求方程有一個實根 , 也就是說 , 這兩個函數(shù)的圖形有且僅有一個交點。 在下圖上我們可以看出在三種情況下 , 兩個圖只有一個交點。 于是我們可以列出式子 : 最后解得 : 在這里 , 我們充分利用了圖形來解決根的問題。 備用題 : 為常數(shù) , 試分析方程 的解的情況。 小節(jié) : 第一組為復合函數(shù)中有關定義域、值域的問題。注意兩點:一是復合函數(shù)單調性問題;另一個是整個函數(shù)的定義域的求解。 第二組為含有對數(shù)函數(shù)的復雜函數(shù),通過換元可轉化為二次函數(shù)進行解題。也注意兩點:一是對數(shù)運算的熟練運用;另一個是二次函數(shù)中根的存在性分析。 在解決對數(shù)函數(shù)問題時,注意隱含的限制條件,對其定義域、值域要細致分析。 教學后記: 由于是多媒體授課 , 在題目運算較為復雜的時候 , 過程直接出現(xiàn)在屏幕上 , 使學生沒有時間自己進行計算 , 今后的教學中應值得注意。