例談遞進(jìn)式幾何探究題求解策略

　　例談遞進(jìn)式幾何探究題求解策略
　　
　　東臺(tái)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)教育集團(tuán)　楊　磊
　　
　　何為遞進(jìn)式幾何探究題
　　
　　遞進(jìn)式幾何題都具有如下特點(diǎn)：小切口，深分析， 其問(wèn)題都是從特殊到一般，由表及里、由淺入深，每個(gè)問(wèn)題之間，是逐步遞進(jìn)的關(guān)系，前一問(wèn)題的解法對(duì)后一問(wèn)題的解法有直接或間接的提示作用，解法互相關(guān)聯(lián)。
　　
　　解答遞進(jìn)式幾何探究題的策略
　　
　　關(guān)鍵在于對(duì)后續(xù)問(wèn)題中圖形結(jié)構(gòu)進(jìn)行類(lèi)比聯(lián)想，可添加適當(dāng)?shù)妮o助線，化歸為前面問(wèn)題中出現(xiàn)的相同或相似的圖形結(jié)構(gòu)模型，以已經(jīng)解決的問(wèn)題的結(jié)論或方法，類(lèi)比、猜想、論證另一個(gè)問(wèn)題的結(jié)論或方法，抽絲剝繭、層層深入。
　　
　　例題精講
　　
　　如圖（1）～（3），已知∠ＡＯＢ的角平分線ＯＭ上有一點(diǎn)Ｐ，∠ＣＰＤ的兩邊與射線ＯＡ、ＯＢ交于點(diǎn)Ｃ、Ｄ，連接ＣＤ交ＯＰ于點(diǎn)Ｇ，設(shè)∠ＡＯＢ＝α（０°＜α180°），∠ＣＰＤ＝β。
　　
　�。�1）如圖（１），當(dāng)α＝β＝９０°時(shí)，試猜想ＰＣ與ＰＤ，∠ＰＤＣ與∠ＡＯＢ的數(shù)量關(guān)系（不用說(shuō)明理由）；
　　
　　（２）如圖（２），當(dāng)α＝６０°，β＝１２０°時(shí)，（１）中的兩個(gè)猜想還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
　　
　　（3）如圖（3），當(dāng)α＋β＝１８０°時(shí)，你認(rèn)為（1）中的兩個(gè)猜想是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由。
　　
　　【分析】（1）由點(diǎn)Ｐ是已知∠ＡＯＢ的平分線上一點(diǎn)， 聯(lián)想到角平分線性質(zhì)：角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊距離相等，故不妨作PE⊥AO于E，PF⊥OB于F，而∠EPC、∠FPＤ都是∠CPF的余角，它們相等，所以易證△EPC≌△FPＤ，得PC=PD；因?yàn)棣?β=90°，所以∠ＰＤＣ＝４５°＝a/2.
　　
　�。�2）與（1）比較，α從特殊的90°變成較為一般的６０°，β從特殊的90°變成較為一般的１２０°，圖形結(jié)構(gòu)沒(méi)有本質(zhì)變化，關(guān)鍵是α＋β仍然是１８０°，因此，以（１）的思路方法為模型，應(yīng)該仍可證結(jié)論成立。
　　
　�。�3）與（1）（2）比較，圖形與角度更具有一般性，但仍然保持α＋β＝１８０°這一本質(zhì)特征，因此，可模仿上面的思路猜想并證明。模仿過(guò)程中，原來(lái)找什么角和邊的，現(xiàn)在還找什么角和邊，但要注意理論依據(jù)可能有所變化。
　　
　　解：（１） ＰＣ＝ＰＤ，∠ＰＤＣ＝1/2∠ＡＯＢ。
　　
　�。ǎ玻┏闪ⅰ＠碛扇缦拢喝鐖D１，作PE⊥AO于Ｅ，PF⊥OB于F，所以∠ＣＥＰ＝∠ＤＦＰ。因?yàn)椋希衅椒帧希粒希�，所以ＰＥ＝ＰＦ�?br />　　
　　在四邊形ＥＯＦＰ中，因?yàn)椤希粒希拢剑叮啊�，∠ＰＥＯ＝∠ＰＦＯ＝９０°，所以∠ＥＰＦ＝１２０°，即∠ＥＰＣ＋∠ＣＰＦ＝１２０°�?br />　　
　　又∠ＣＰＤ＝１２０°，即∠ＤＰＦ＋∠ＣＰＦ＝１２０°，所以∠EPC= ∠DPF.
　　
　�。ǎ常┏闪�。理由如下：
　　
　　如圖２，作PE⊥AO于E，PF⊥OB于F，所以∠CEP=∠ＰＦＤ。因?yàn)镺P平分∠AOB，所以PE=PF.在四邊形EOFP中，因?yàn)椤螾EO=∠PFO=90°，所以∠EPF+∠AOB（α）＝１８０°，因?yàn)棣粒�β（∠ＣＰＤ）＝１８０°，所以∠ＥＰＦ＝∠ＣＰＤ。因�(yàn)椤希牛校疲健希牛校茫�∠ＣＰＦ，∠ＣＰＤ＝∠ＣＰＦ＋∠ＦＰＤ，所以∠ＥＰＣ＝∠ＦＰＤ。所以△EPC≌△FPD，所以ＰＣ＝ＰＤ，∠ＰＤＣ＝。因?yàn)棣粒�β＝１８０°，所以∠ＰＤＣ�?img loading="lazy" src="/jy/uploadfiles_8759/201311/20131128102635941.jpg" alt="例談遞進(jìn)式幾何探究題求解策略" />。
　　
　　【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，有一定的難度。
　　
　　遞進(jìn)式幾何探究題是近年熱點(diǎn)題型，隨著學(xué)習(xí)的深入，同學(xué)們將會(huì)有更多的接觸，其解法并不神秘，從起始基本問(wèn)題挖掘 “模型”（或者說(shuō)基本圖形）是解決問(wèn)題的有效策略。

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