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用幾何畫板驗證全等三角形”
用幾何畫板驗證全等三角形”
東臺市實驗中學教育集團 崔恒劉
《幾何畫板》是美國Key Curriculum Press 公司制作的優(yōu)秀教育軟件，它可以給我們創(chuàng)造一個實際“操作”數(shù)學、做數(shù)學“實驗”的環(huán)境，如任意拖動某點、線，觀察圖形的變化，猜測、驗證結(jié)論，在觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的過程中增加對各種圖形的感性認識，形成豐厚的幾何經(jīng)驗背景，從而更有助于我們對數(shù)學的學習和理解。下面我?guī)ьI同學們用幾何畫板實驗驗證：為什么三角形全等的條件只有SSS、SAS、ASA這3個基本事實和AAS這1個推論呢？SSA為什么不可以呢？用SSS、SAS、ASA、AAS判定兩個三角形全等，其本質(zhì)是給定的條件能不能唯一確定三角形，現(xiàn)在我們以邊為線索，先從三邊開始探究：
一、 三邊對應相等
已知△ＡＢＣ的三邊ＡＢ＝c，BC=a，CA=b，求作△ＡＢＣ。
過程：先作線段ＡＢ＝c，然后分別以A、B為圓心，b、a為半徑畫圓，如果兩圓不能相交，則說明給定的三邊不能組成三角形，這驗證“三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”。如圖1，我們看到，兩圓相交于兩點C、D，連接AC、AD、BC、BD，則得到△ＡＢＣ和△ABD，度量三對角，發(fā)現(xiàn)它們分別相等，則說明這兩個三角形全等。從這里可以看出，有了三邊的長度，不用考慮角的大小，就能把三角形唯一確定下來。這說明若三角形的三邊相等，則兩三角形全等。
二、兩邊對應相等
①無角相等：已知△ＡＢＣ的兩邊AB=c，ＣＡ=b，求作△ＡＢＣ。
過程：先作線段AB=c，再以A點為圓心，b為半徑畫圓，在圓上任取一點C與A、B連接，所形成的三角形均滿足兩邊ＡＢ＝c，ＣＡ＝b的條件，如圖2，拖動點C，可以看到，這樣的三角形有無數(shù)，這說明兩邊對應相等的兩個三角形不全等。
②兩邊的夾角相等：已知△ＡＢＣ的兩邊AB=c，AC=b和它們的夾角∠ＢＡＣ＝∠α，求作△ＡＢＣ。
過程：先作∠ＢＡＣ＝∠α，然后以點A為圓心，分別以c，b為半徑畫圓，交∠A的兩邊于B、C兩點，連BC，則圖3中有一個確定的△ＡＢＣ，滿足條件AB=c，AC=b，∠ＢＡＣ＝∠α。這說明若三角形的兩邊及兩邊的夾角對應相等，則兩三角形全等。
�、垡贿叺膶窍嗟龋阂阎鳎粒拢玫膬蛇叄粒拢絚，BC=a和邊BC的對角∠ＢＡＣ＝∠α，求作△ＡＢＣ。
過程：先作∠ＢＡＣ＝∠α，然后以點A為圓心，以c為半徑畫圓，交∠A的一邊于B點，再以B點為圓心，a為半徑畫圓，可以看到，這個圓與∠ＢＡＣ的另一邊有兩個交點，如圖4（也可能是一個交點，也可能沒有交點），即滿足條件的三角形不能唯一確定，這說明若三角形的兩邊及一邊的對角對應相等，則兩三角形不一定全等。
由上面的三點討論知：當已知三角形的兩邊對應相等時，必須再知道它們的夾角相等，才能確定這兩個三角形全等，而SSA不能判定兩個三角形全等。
三、有一邊相等
類似地，我們用畫板實驗有一邊相等的情形，這個留給同學們自己嘗試
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