數(shù)學(xué)教案-對(duì)數(shù)
教學(xué)目標(biāo)
1.理解對(duì)數(shù)的概念,掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).
(1) 了解對(duì)數(shù)式的由來和含義,清楚對(duì)數(shù)式中各字母的取值范圍及與指數(shù)式之間的關(guān)系.能認(rèn)識(shí)到指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算之間的互逆關(guān)系.
(2) 會(huì)利用指數(shù)式的運(yùn)算推導(dǎo)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)和法則,能用符號(hào)語(yǔ)言和文字語(yǔ)言描述對(duì)數(shù)運(yùn)算法則,并能利用運(yùn)算性質(zhì)完成簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)運(yùn)算.
(3) 能根據(jù)概念進(jìn)行指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的互化.
2.通過對(duì)數(shù)概念的學(xué)習(xí)和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的探究及證明,培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的概括思維能力,滲透化歸的思想,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.
3.通過對(duì)數(shù)概念的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生對(duì)立統(tǒng)一,相互聯(lián)系,相互轉(zhuǎn)化的思想.通過對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的探究,使學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)問題,揭示數(shù)學(xué)規(guī)律從而調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極參與,培養(yǎng)學(xué)生分析問題,解決問題的能力及大膽探索,實(shí)事求是的科學(xué)精神.
教學(xué)建議
教材分析
(1) 對(duì)數(shù)既是一個(gè)重要的概念,又是一種重要的運(yùn)算,而且它是與指數(shù)概念緊密相連的.它們是對(duì)同一關(guān)系從不同角度的刻畫,表示為當(dāng) 時(shí), .所以指數(shù)式 中的底數(shù),指數(shù),冪與對(duì)數(shù)式 中的底數(shù),對(duì)數(shù),真數(shù)的關(guān)系可以表示如下:
(2) 本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是對(duì)數(shù)的定義和運(yùn)算性質(zhì),難點(diǎn)是對(duì)數(shù)的概念.
對(duì)數(shù)首先作為一種運(yùn)算,由 引出的,在這個(gè)式子中已知一個(gè)數(shù) 和它的指數(shù)求冪的運(yùn)算就是指數(shù)運(yùn)算,而已知一個(gè)數(shù)和它的冪求指數(shù)就是對(duì)數(shù)運(yùn)算(而已知指數(shù)和冪求這個(gè)數(shù)的運(yùn)算就是開方運(yùn)算),所以從方程角度來看待的話,這個(gè)式子有三個(gè)量,知二求一.恰好可以構(gòu)成以上三種運(yùn)算,所以引入對(duì)數(shù)運(yùn)算是很自然的,也是很重要的,也就完成了對(duì) 的全面認(rèn)識(shí).此外對(duì)數(shù)作為一種運(yùn)算除了認(rèn)識(shí)運(yùn)算符號(hào)“ ”以外,更重要的是把握運(yùn)算法則,以便正確完成各種運(yùn)算,由于對(duì)數(shù)與指數(shù)在概念上相通,使得對(duì)數(shù)法則的推導(dǎo)應(yīng)借助指數(shù)運(yùn)算法則來完成,脫到過程又加深了指對(duì)關(guān)系的認(rèn)識(shí),自然應(yīng)成為本節(jié)的重點(diǎn),特別予以關(guān)注.
對(duì)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)的認(rèn)識(shí)與理解是學(xué)生認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)的一個(gè)障礙,其實(shí) 與+, 等符號(hào)一樣表示一種運(yùn)算,不過對(duì)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)寫在前面,學(xué)生不習(xí)慣,所以在認(rèn)識(shí)上感到有些困難.
教法建議
。1)對(duì)于對(duì)數(shù)概念的學(xué)習(xí),一定要緊緊抓住與指數(shù)之間的關(guān)系,首先從指數(shù)式中理解底數(shù) 和真數(shù) 的要求,其次對(duì)于對(duì)數(shù)的性質(zhì) 及零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)的理解也可以通過指數(shù)式來證明,驗(yàn)證.同時(shí)在關(guān)系的指導(dǎo)下完成指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化.
。2)對(duì)于運(yùn)算法則的探究,對(duì)層次較高的學(xué)生可以采用“概念形成”的學(xué)習(xí)方式通過對(duì)具體例子的提出,讓形式的認(rèn)識(shí)由感性上升到理性,由特殊到一般歸納出法則,再利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系完成證明,而其他法則的證明應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用已證結(jié)論完成,強(qiáng)化“用數(shù)學(xué)”的意識(shí).
(3)對(duì)運(yùn)算法則的認(rèn)識(shí),首先可以類比指數(shù)運(yùn)算法則對(duì)照記憶,其次強(qiáng)化法則使用的條件或者說成立的條件是保證左,右兩邊同時(shí)都有意義,因此要注意每一個(gè)對(duì)數(shù)式中字母的取值范圍.最后還要讓學(xué)生認(rèn)清對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可使高一級(jí)的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為低一級(jí)的運(yùn)算,這樣不僅加快了計(jì)算速度,也簡(jiǎn)化了計(jì)算方法,顯示了對(duì)數(shù)計(jì)算的優(yōu)越性.
教學(xué)設(shè)計(jì)示例
對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則
教學(xué)目標(biāo)
1.理解并掌握對(duì)數(shù)性質(zhì)及運(yùn)算法則,能初步運(yùn)用對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則解題.
2.通過法則的探究與推導(dǎo),培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的概括思想,滲透化歸思想及邏輯思維能力.
3.通過法則探究,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.培養(yǎng)大膽探索,實(shí)事求是的科學(xué)精神.
教學(xué)重點(diǎn),難點(diǎn)
重點(diǎn)是對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及推導(dǎo)和應(yīng)用
難點(diǎn)是法則的探究與證明.
教學(xué)方法
引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法
教學(xué)用具
投影儀
教學(xué)過程(adivasplayground.com)
一. 引入新課
我們前面學(xué)習(xí)了對(duì)數(shù)的概念,那么什么叫對(duì)數(shù)呢?通過下面的題目來回答這個(gè)問題.
如果看到 這個(gè)式子會(huì)有何聯(lián)想?
由學(xué)生回答(1) (2) (3) (4) .
也就要求學(xué)生以后看到對(duì)數(shù)符號(hào)能聯(lián)想四件事.從式子中,可以總結(jié)出從概念上講,對(duì)數(shù)與指數(shù)就是一碼事,從運(yùn)算上講它們互為逆運(yùn)算的關(guān)系.既然是一種運(yùn)算,自然就應(yīng)有相應(yīng)的運(yùn)算法則,所以我們今天重點(diǎn)研究對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則.
二.對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則(板書)
對(duì)數(shù)與指數(shù)是互為逆運(yùn)算的,自然應(yīng)把握兩者的關(guān)系及已知的指數(shù)運(yùn)算法則來探求對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則,所以我們有必要先回顧一下指數(shù)的運(yùn)算法則.
由學(xué)生回答后教師可用投影儀打出讓學(xué)生看: , , .
然后直接提出課題:若 是否成立?
由學(xué)生討論并舉出實(shí)例說明其不成立(如可以舉 而 ),教師在肯定結(jié)論的正確性的同時(shí)再提出
可提示學(xué)生利用剛才的反例,把 5改寫成 應(yīng)為 ,而32=2 ,還可以讓學(xué)生再找?guī)讉(gè)例子, .之后讓學(xué)生大膽說出發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律?
由學(xué)生回答應(yīng)有 成立.
現(xiàn)在它只是一個(gè)猜想,要保證其對(duì)任意 都成立,需要給出相應(yīng)的證明,怎么證呢?你學(xué)過哪些與之相關(guān)的證明依據(jù)呢?
學(xué)生經(jīng)過思考后找出可以利用對(duì)數(shù)概念,性質(zhì)及與指數(shù)的關(guān)系,再找學(xué)生提出證明的基本思路,即對(duì)數(shù)問題先化成指數(shù)問題,再利用指數(shù)運(yùn)算法則求解.找學(xué)生試說證明過程,教師可適當(dāng)提示,然后板書.
證明:設(shè) 則 ,由指數(shù)運(yùn)算法則
得
,
即 . (板書)
法則出來以后,要求學(xué)生能 從以下幾方面去認(rèn)識(shí):
(1) 公式成立的條件是什么?(由學(xué)生指出.注意是每個(gè)真數(shù)都大于零,每個(gè)對(duì)數(shù)式都有意義為使用前提條件).
(2)能用文字語(yǔ)言敘述這條法則:兩個(gè)正數(shù)的積的對(duì)數(shù)等于這兩個(gè)正數(shù)的對(duì)數(shù)的和.
(3)若真數(shù)是三個(gè)正數(shù),結(jié)果會(huì)怎樣?很容易可得 .
(條件同前)
(4)能否利用法則完成下面的運(yùn)算:
例1:計(jì)算
(1) (2) (3)
由學(xué)生口答答案后,總結(jié)法則從左到右使用運(yùn)算的級(jí)別降低了,從右到左運(yùn)算是升級(jí)運(yùn)算,要求運(yùn)算從雙向把握.然后提出新問題:
.
可由學(xué)生說出 .得到大家認(rèn)可后,再讓學(xué)生完成證明.
證明:設(shè) 則 ,由指數(shù)運(yùn)算法則得
.
教師在肯定其證明過程的同時(shí),提出是否還有其它的證明方法?能否用上剛才的結(jié)論?
有的學(xué)生可能會(huì)提出把 看成 再用法則,但無法解決 計(jì)算問題,再引導(dǎo)學(xué)生如何回避 的問題.經(jīng)思考可以得到如下證法
.或證明如下
,再移項(xiàng)可得證.以上兩種證明方法都體現(xiàn)了化歸的思想,而且后面的證法中使用的拆分技巧“化減為加”也是會(huì)經(jīng)常用到的.最后板書法則2,并讓學(xué)生用文字語(yǔ)言敘述法則2.(兩個(gè)正數(shù)的商的對(duì)數(shù)等于這兩個(gè)正數(shù)的對(duì)數(shù)的差)
請(qǐng)學(xué)生完成下面的計(jì)算
(1) (2) .
計(jì)算后再提出剛才沒有解決的問題即 并將其一般化改為 學(xué)生在說出結(jié)論的同時(shí)就可給出證明如下:
設(shè) 則 , .教師還可讓學(xué)生思考是否還有其它證明方法,可在課下研究.
將三條法則寫在一起,用投影儀打出,并與指數(shù)的法則進(jìn)行對(duì)比.然后要求學(xué)生從以下幾個(gè)方面認(rèn)識(shí)法則
(1) 了解法則的由來.(怎么證)
(2) 掌握法則的內(nèi)容.(用符號(hào)語(yǔ)言和文字語(yǔ)言敘述)
(3) 法則使用的條件.(使每一個(gè)對(duì)數(shù)都有意義)
(4) 法則的功能.(要求能正反使用)
三.鞏固練習(xí)
例2.計(jì)算
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
解答略
對(duì)學(xué)生的解答進(jìn)行點(diǎn)評(píng).
例3.已知 ,用 的式子表示
(1) (2) (3) .
由學(xué)生上黑板寫出求解過程.
四.小結(jié)
1.運(yùn)算法則的內(nèi)容
2.運(yùn)算法則的推導(dǎo)與證明
3.運(yùn)算法則的使用
五.作業(yè)略
六.板書設(shè)計(jì)
二.對(duì)數(shù)運(yùn)算法則 例1 例3
1. 內(nèi)容
(1)
(2)
(3) 例2 小結(jié)
2. 證明
3. 對(duì)法則的認(rèn)識(shí) (1)條件 (2)功能
試研究如下問題.
。1)已知 求證: 或
(2)若 都是正數(shù)且至少有一個(gè)不為1,且 ,則 之間的關(guān)系是_____________________.
答案:
。1)證明略
。2) 或 .
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