高一數(shù)學(xué)指數(shù)函數(shù)教案
作為一名優(yōu)秀的教育工作者,就不得不需要編寫教案,教案是教學(xué)活動(dòng)的依據(jù),有著重要的地位。我們應(yīng)該怎么寫教案呢?下面是小編為大家整理的高一數(shù)學(xué)指數(shù)函數(shù)教案,歡迎大家分享。
高一數(shù)學(xué)指數(shù)函數(shù)教案1
一、內(nèi)容及其解析
(一)內(nèi)容:指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用。
(二)解析:通過進(jìn)一步鞏固指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),掌握由指數(shù)函數(shù)和其他簡(jiǎn)單函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)的性質(zhì):定義域、值域、單調(diào)性,最值等性質(zhì)。
二、目標(biāo)及其解析
(一)教學(xué)目標(biāo)
指數(shù)函數(shù)的圖象及其性質(zhì)的應(yīng)用;
(二)解析
通過進(jìn)一步掌握指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),能夠構(gòu)建指數(shù)函數(shù)的模型來解決實(shí)際問題;體會(huì)指數(shù)函數(shù)在實(shí)際生活中的重要作用,感受數(shù)學(xué)建模在解題中的作用,提高學(xué)生分析問題與解決問題的能力。
三、問題診斷分析
解決實(shí)際問題本來就是學(xué)生的一個(gè)難點(diǎn),并且學(xué)生對(duì)函數(shù)模型也不熟悉,所以在構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題是學(xué)生的一個(gè)難點(diǎn),解決的方法就是在實(shí)例中讓學(xué)生加強(qiáng)理解,通過實(shí)例讓學(xué)生感受到如何選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型。
四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)
探究點(diǎn)一:平移指數(shù)函數(shù)的圖像
例1:畫出函數(shù) 的圖像,并根據(jù)圖像指出它的單調(diào)區(qū)間.
解析:由函數(shù)的解析式可得:
其圖像分成兩部分,一部分是將 (x-1)的圖像作出,而它的圖像可以看作 的圖像沿x軸的負(fù)方向平移一個(gè)單位而得到的,另一部分是將 的圖像作出,而它的圖像可以看作將 的圖像沿x軸的負(fù)方向平移一個(gè)單位而得到的.
解:圖像由老師們自己畫出
變式訓(xùn)練一:已知函數(shù)
(1)作出其圖像;
(2)由圖像指出其單調(diào)區(qū)間;
解:(1) 的圖像如下圖:
(2)函數(shù)的增區(qū)間是(-,-2],減區(qū)間是[-2,+).
探究點(diǎn)二:復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)
例2:已知函數(shù)
(1)求f(x)的`定義域;
(2)討論f(x)的奇偶性;
解析:求定義域注意分母的范圍,判斷奇偶性需要注意定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。
解:(1)要使函數(shù)有意義,須 -1 ,即x 1,所以,定義域?yàn)?- ,0) (0,+ ).
(2)變式訓(xùn)練二:已知函數(shù) ,試判斷函數(shù)的奇偶性;
簡(jiǎn)析:∵定義域?yàn)?,且 是奇函數(shù);
探究點(diǎn)三 應(yīng)用問題
例3某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì),每經(jīng)過一年,這種物質(zhì)剩留的質(zhì)量是原來的
84%.寫出這種物質(zhì)的剩留量關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式.
【解】
設(shè)該物質(zhì)的質(zhì)量是1,經(jīng)過 年后剩留量是 .
經(jīng)過1年,剩留量
變式:儲(chǔ)蓄按復(fù)利計(jì)算利息,若本金為 元,每期利率為 ,設(shè)存期是 ,本利和(本金加上利息)為 元.
(1)寫出本利和 隨存期 變化的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果存入本金1000元,每期利率為2.25%,試計(jì)算5期后的本利和.
分析:復(fù)利要把本利和作為本金來計(jì)算下一年的利息.
【解】
(1)已知本金為 元,利率為 則:
1期后的本利和為
2期后的本利和為
期后的本利和為
(2)將 代入上式得
六.小結(jié)
通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),本節(jié)課應(yīng)用了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來解決了什么問題?如何構(gòu)建指數(shù)函數(shù)模型,解決生活中的實(shí)際問題?
高一數(shù)學(xué)指數(shù)函數(shù)教案2
教材分析:
“指數(shù)函數(shù)”是在學(xué)生系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了函數(shù)概念及性質(zhì),掌握了指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)的基礎(chǔ)上展開研究的.作為重要的基本初等函數(shù)之一,指數(shù)函數(shù)既是函數(shù)近代定義及性質(zhì)的第一次應(yīng)用,也為今后研究其他函數(shù)提供了方法和模式,為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).指數(shù)函數(shù)在知識(shí)體系中起了承上啟下的作用,同時(shí)在生活及生產(chǎn)實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用,因此它也是對(duì)學(xué)生進(jìn)行情感價(jià)值觀教育的好素材,所以指數(shù)函數(shù)應(yīng)重點(diǎn)研究.
學(xué)情分析:
通過初中階段的學(xué)習(xí)和高中對(duì)函數(shù)、指數(shù)的運(yùn)算等知識(shí)的系統(tǒng)學(xué)習(xí),學(xué)生對(duì)函數(shù)已經(jīng)有了一定的認(rèn)識(shí),學(xué)生對(duì)用“描點(diǎn)法”描繪出函數(shù)圖象的方法已基本掌握,已初步了解數(shù)形結(jié)合的思想.另外,學(xué)生對(duì)由特殊到一般再到特殊的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程已有一定的體會(huì).
教學(xué)目標(biāo):
知識(shí)與技能:理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義,能正確作出其圖象,掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)并能自覺、靈活地應(yīng)用其性質(zhì)(單調(diào)性、中介值)比較大。
過程與方法:
(1) 體會(huì)從特殊到一般再到特殊的研究問題的方法,培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、猜想、概括的能力,讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)來源于生活又在生活中有廣泛的應(yīng)用;理解并掌握探求函數(shù)性質(zhì)的一般方法;
(2) 從數(shù)和形兩方面理解指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,提高思維的靈活性,培養(yǎng)學(xué)生直觀、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì).
情感、態(tài)度與價(jià)值觀:
(1)體驗(yàn)從特殊到一般再到特殊的學(xué)習(xí)規(guī)律,認(rèn)識(shí)事物之間的普遍聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化,培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題,激發(fā)學(xué)生自主探究的精神,在探究過程中體驗(yàn)合作學(xué)習(xí)的樂趣;
(2)讓學(xué)生在數(shù)形結(jié)合中感悟數(shù)學(xué)的`統(tǒng)一美、和諧美,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.
教學(xué)重點(diǎn):指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)
教學(xué)難點(diǎn):指數(shù)函數(shù)概念的引入及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用
教法研究:
本節(jié)課準(zhǔn)備由實(shí)際問題引入指數(shù)函數(shù)的概念,這樣可以讓學(xué)生知道指數(shù)函數(shù)的概念來源于客觀實(shí)際,便于學(xué)生接受并有利于培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí).
利用函數(shù)圖象來研究函數(shù)性質(zhì)是函數(shù)中的一個(gè)非常重要的思想,本節(jié)課將是利用特殊的指數(shù)函數(shù)圖象歸納總結(jié)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),這樣便于學(xué)生研究其變化規(guī)律,理解其性質(zhì)并掌握一般地探求函數(shù)性質(zhì)的方法 同時(shí)運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)學(xué)習(xí)、探索和解決問題,幫助學(xué)生理解新知識(shí)
本節(jié)課使用的教學(xué)方法有:直觀教學(xué)法、啟發(fā)引導(dǎo)法、發(fā)現(xiàn)法
教學(xué)過程:
一、問題情境 :
問題1:某種細(xì)胞分裂時(shí),由一個(gè)分裂成2個(gè),2個(gè)分裂成4個(gè),4個(gè)分裂成8個(gè),以此類推,一個(gè)這樣的細(xì)胞分裂x次后,得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系式是什么?
問題2:一種放射性物質(zhì)不斷變化為其它物質(zhì),每經(jīng)過一年剩余質(zhì)量約是原來的 ,設(shè)該物質(zhì)的初始質(zhì)量為1,經(jīng)過 年后的剩余質(zhì)量為 ,你能寫出 之間的函數(shù)關(guān)系式嗎?
分析可知,函數(shù)的關(guān)系式分別是 與
問題3:在問題1和2中,兩個(gè)函數(shù)的自變量都是正整數(shù),但在實(shí)際問題中自變量不一定都是正整數(shù),比如在問題2中,我們除了關(guān)心1年、2年、3年后該物質(zhì)的剩余量外,還想知道3個(gè)月、一年半后該物質(zhì)的剩余量,怎么辦?
這就需要對(duì)函數(shù)的定義域進(jìn)行擴(kuò)充,結(jié)合指數(shù)概念的的擴(kuò)充,我們也可以將函數(shù)的定義域擴(kuò)充至全體實(shí)數(shù),這樣就得到了一個(gè)新的函數(shù)——指數(shù)函數(shù).
二、數(shù)學(xué)建構(gòu) :
1]定義:
一般地,函數(shù) 叫做指數(shù)函數(shù),其中 .
問題4:為什么規(guī)定 ?
問題5:你能舉出指數(shù)函數(shù)的例子嗎?
閱讀材料(“放射性碳法”測(cè)定古物的年代):
在動(dòng)植物體內(nèi)均含有微量的放射性 ,動(dòng)植物死亡后,停止了新陳代謝, 不在產(chǎn)生,且原有的 會(huì)自動(dòng)衰變.經(jīng)過5740年( 的半衰期),它的殘余量為原來的一半.經(jīng)過科學(xué)測(cè)定,若 的原始含量為1,則經(jīng)過x年后的殘留量為 = .
這種方法經(jīng)常用來推算古物的年代.
練習(xí)1:判斷下列函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù).
。1) (2)
。3) (4)
說明:指數(shù)函數(shù)的解析式y(tǒng)= 中, 的系數(shù)是1.
有些函數(shù)貌似指數(shù)函數(shù),實(shí)際上卻不是,如y= +k (a>0且a 1,k Z);
有些函數(shù)看起來不像指數(shù)函數(shù),實(shí)際上卻是,如y= (a>0,且a 1),因?yàn)樗梢曰癁閥= ,其中 >0,且 1
2]通過圖象探究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用:利用幾何畫板及其他多媒體軟件和學(xué)生一起完成
問題6:我們研究函數(shù)的性質(zhì),通常都研究哪些性質(zhì)?一般如何去研究?
函數(shù)的定義域,值域,單調(diào)性,奇偶性等;
利用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)
問題7:作函數(shù)圖象的一般步驟是什么?
列表,描點(diǎn),作圖
探究活動(dòng)1:用列表描點(diǎn)法作出 , 的圖像(借助幾何畫板演示),觀察、比較這兩個(gè)函數(shù)的圖像,我們可以得到這兩個(gè)函數(shù)哪些共同的性質(zhì)?請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察.
引導(dǎo)學(xué)生分析圖象并總結(jié)此時(shí)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)(底數(shù)大于1):
。1)定義域?R
(2)值域?函數(shù)的值域?yàn)?/p>
(3)過哪個(gè)定點(diǎn)?恒過 點(diǎn),即
(4)單調(diào)性? 時(shí), 為 上的增函數(shù)
。5)何時(shí)函數(shù)值大于1?小于1? 當(dāng) 時(shí), ;當(dāng) 時(shí),
問題8::是否所有的指數(shù)函數(shù)都是這樣的性質(zhì)?你能找出與剛才的函數(shù)性質(zhì)不一樣的指數(shù)函數(shù)嗎?
。ㄒ龑(dǎo)學(xué)生自我分析和反思,培養(yǎng)學(xué)生的反思能力和解決問題的能力).
根據(jù)學(xué)生的發(fā)現(xiàn),再總結(jié)當(dāng)?shù)讛?shù)小于1時(shí)指數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)并作比較.
問題9:到現(xiàn)在,你能自制一份表格,比較 及 兩種不同情況下 的圖象和性質(zhì)嗎?
(學(xué)生完成表格的設(shè)計(jì),教師適當(dāng)引導(dǎo))
高一數(shù)學(xué)指數(shù)函數(shù)教案3
一、教學(xué)目標(biāo):
1、知識(shí)與技能:
(1) 結(jié)合實(shí)例,了解正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的概念.
(2)能夠求出正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的解析式,進(jìn)一步研究其性質(zhì).
2、 過程與方法:
(1)讓學(xué)生借助實(shí)例,了解正整數(shù)指數(shù)函數(shù),體會(huì)從具體到一般,從個(gè)別到整體的研究過程和研究方法.
(2)從圖像上觀察體會(huì)正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),為這一章的學(xué)習(xí)作好鋪墊.
3、情感.態(tài)度與價(jià)值觀:使學(xué)生通過學(xué)習(xí)正整數(shù)指數(shù)函數(shù)體會(huì)學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的重要意義,增強(qiáng)學(xué)習(xí)研究函數(shù)的積極性和自信心.
二、教學(xué)重點(diǎn): 正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義.教學(xué)難點(diǎn):正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的解析式的確定.
三、學(xué)法指導(dǎo):學(xué)生觀察、思考、探究.教學(xué)方法:探究交流,講練結(jié)合。
四、教學(xué)過程
(一)新課導(dǎo)入
[互動(dòng)過程1]:
(1)請(qǐng)你用列表表示1個(gè)細(xì)胞分裂次數(shù)分別
為1,2,3,4,5,6,7,8時(shí),得到的細(xì)胞個(gè)數(shù);
(2)請(qǐng)你用圖像表示1個(gè)細(xì)胞分裂的次數(shù)n( )與得到的細(xì)
胞個(gè)數(shù)y之間的關(guān)系;
(3)請(qǐng)你寫出得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)y與分裂次數(shù)n之間的`關(guān)系式,試用
科學(xué)計(jì)算器計(jì)算細(xì)胞分裂15次、20次得到的細(xì)胞個(gè)數(shù).
解:
(1)利用正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則,可以算出1個(gè)細(xì)胞分裂1,2,3,
4,5,6,7,8次后,得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)
分裂次數(shù) 1 2 3 4 5 6 7 8
細(xì)胞個(gè)數(shù) 2 4 8 16 32 64 128 256
(2)1個(gè)細(xì)胞分裂的次數(shù) 與得到的細(xì)胞個(gè)數(shù) 之間的關(guān)系可以用圖像表示,它的圖像是由一些孤立的點(diǎn)組成
(3)細(xì)胞個(gè)數(shù) 與分裂次數(shù) 之間的關(guān)系式為 ,用科學(xué)計(jì)算器算得 ,
所以細(xì)胞分裂15次、20次得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)分別為32768和1048576.
探究:從本題中得到的函數(shù)來看,自變量和函數(shù)值分別是什么?此函數(shù)是什么類型的函數(shù)? 細(xì)胞個(gè)數(shù) 隨著分裂次數(shù) 發(fā)生怎樣變化?你從哪里看出?
小結(jié):從本題中可以看出我們得到的細(xì)胞分裂個(gè)數(shù)都是底數(shù)為2的指數(shù),而且指數(shù)是變量,取值為正整數(shù). 細(xì)胞個(gè)數(shù) 與分裂次數(shù) 之間的關(guān)系式為 .細(xì)胞個(gè)數(shù) 隨著分裂次數(shù) 的增多而逐漸增多.
[互動(dòng)過程2]:?jiǎn)栴}2.電冰箱使用的氟化物的釋放破壞了大氣上層的臭氧層,臭氧含量Q近似滿足關(guān)系式Q=Q00.9975 t,其中Q0是臭氧的初始量,t是時(shí)間(年),這里設(shè)Q0=1.
(1)計(jì)算經(jīng)過20,40,60,80,100年,臭氧含量Q;
(2)用圖像表示每隔20年臭氧含量Q的變化;
(3)試分析隨著時(shí)間的增加,臭氧含量Q是增加還是減少.
解:(1)使用科學(xué)計(jì)算器可算得,經(jīng)過20,40,60,80,100年,臭氧含量Q的值分別為0.997520=0.9512, 0.997540=0.9047, 0.997560=0.8605, 0.997580=0.8185, 0.9975100=0.7786;
(2)用圖像表示每隔20年臭氧含量Q的變化如圖所
示,它的圖像是由一些孤立的點(diǎn)組成.
(3)通過計(jì)算和觀察圖形可以知道, 隨著時(shí)間的增加,
臭氧含量Q在逐漸減少.
探究:從本題中得到的函數(shù)來看,自變量和函數(shù)值分別
又是什么?此函數(shù)是什么類型的函數(shù)?,臭氧含量Q隨著
時(shí)間的增加發(fā)生怎樣變化?你從哪里看出?
小結(jié):從本題中可以看出我們得到的臭氧含量Q都是底數(shù)為0.9975的指數(shù),而且指數(shù)是變量,取值為正整數(shù). 臭氧含量Q近似滿足關(guān)系式Q=0.9975 t, 隨著時(shí)間的增加,臭氧含量Q在逐漸減少.
[互動(dòng)過程3]:上面兩個(gè)問題所得的函數(shù)有沒有共同點(diǎn)?你能統(tǒng)一嗎?自變量的取值范圍又是什么?這樣的函數(shù)圖像又是什么樣的?為什么?
正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義:一般地,函數(shù) 叫作正整數(shù)指數(shù)函數(shù),其中 是自變量,定義域是正整數(shù)集 .
說明: 1.正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像是一些孤立的點(diǎn),這是因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是正整數(shù)集.2.在研究增長(zhǎng)問題、復(fù)利問題、質(zhì)量濃度問題中常見這類函數(shù).
(二)、例題:某地現(xiàn)有森林面積為1000 ,每年增長(zhǎng)5%,經(jīng)過 年,森林面積為 .寫出 , 間的函數(shù)關(guān)系式,并求出經(jīng)過5年,森林的面積.
分析:要得到 , 間的函數(shù)關(guān)系式,可以先一年一年的增長(zhǎng)變化,找出規(guī)律,再寫出 , 間的函數(shù)關(guān)系式.
解: 根據(jù)題意,經(jīng)過一年, 森林面積為1000(1+5%) ;經(jīng)過兩年, 森林面積為1000(1+5%)2 ;經(jīng)過三年, 森林面積為1000(1+5%)3 ;所以 與 之間的函數(shù)關(guān)系式為 ,經(jīng)過5年,森林的面積為1000(1+5%)5=1276.28(hm2).
練習(xí):課本練習(xí)1,2
補(bǔ)充例題:高一某學(xué)生家長(zhǎng)去年年底到銀行存入20xx元,銀行月利率為2.38%,那么如果他第n個(gè)月后從銀行全部取回,他應(yīng)取回錢數(shù)為y,請(qǐng)寫出n與y之間的關(guān)系,一年后他全部取回,他能取回多少?
解:一個(gè)月后他應(yīng)取回的錢數(shù)為y=20xx(1+2.38%),二個(gè)月后他應(yīng)取回的錢數(shù)為y=20xx(1+2.38%)2;,三個(gè)月后他應(yīng)取回的錢數(shù)為y=20xx(1+2.38%)3,, n個(gè)月后他應(yīng)取回的錢數(shù)為y=20xx(1+2.38%)n; 所以n與y之間的關(guān)系為y=20xx(1+2.38%)n (nN+),一年后他全部取回,他能取回的錢數(shù)為y=20xx(1+2.38%)12.
補(bǔ)充練習(xí):某工廠年產(chǎn)值逐年按8%的速度遞增,今年的年產(chǎn)值為200萬元,那么第n年后該廠的年產(chǎn)值為多少?
(三)、小結(jié):1.正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像是一些孤立的點(diǎn),這是因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是正整數(shù)集.2.在研究增長(zhǎng)問題、復(fù)利問題、質(zhì)量濃度問題中常見這類函數(shù).
(四)、作業(yè):課本習(xí)題3-1 1,2,3
高一數(shù)學(xué)指數(shù)函數(shù)教案4
教學(xué)目標(biāo)
1、掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念,圖象和性質(zhì),且在掌握性質(zhì)的基礎(chǔ)上能進(jìn)行初步的應(yīng)用。
。1)能在指數(shù)函數(shù)及反函數(shù)的概念的基礎(chǔ)上理解對(duì)數(shù)函數(shù)的定義,了解對(duì)底數(shù)的要求,及對(duì)定義域的要求,能利用互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象間的關(guān)系正確描繪對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象。
。2)能把握指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的.實(shí)質(zhì)去研究認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),初步學(xué)會(huì)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的問題。
2、通過對(duì)數(shù)函數(shù)概念的學(xué)習(xí),樹立相互聯(lián)系相互轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn),通過對(duì)數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的學(xué)習(xí),滲透數(shù)形結(jié)合,分類討論等思想,注重培養(yǎng)學(xué)生的觀察,分析,歸納等邏輯思維能力。
3、通過指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)在圖象與性質(zhì)上的對(duì)比,對(duì)學(xué)生進(jìn)行對(duì)稱美,簡(jiǎn)潔美等審美教育,調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。
教學(xué)建議
教材分析
(1)對(duì)數(shù)函數(shù)又是函數(shù)中一類重要的基本初等函數(shù),它是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)過對(duì)數(shù)與常用對(duì)數(shù),反函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)上引入的故是對(duì)上述知識(shí)的應(yīng)用,也是對(duì)函數(shù)這一重要數(shù)學(xué)思想的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)與理解。對(duì)數(shù)函數(shù)的概念,圖象與性質(zhì)的學(xué)習(xí)使學(xué)生的知識(shí)體系更加完整,系統(tǒng),同時(shí)又是對(duì)數(shù)和函數(shù)知識(shí)的拓展與延伸。它是解決有關(guān)自然科學(xué)領(lǐng)域中實(shí)際問題的重要工具,是學(xué)生今后學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)方程,對(duì)數(shù)不等式的基礎(chǔ)。
。2)本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是理解對(duì)數(shù)函數(shù)的定義,掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)。難點(diǎn)是利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)。由于對(duì)數(shù)函數(shù)的概念是一個(gè)抽象的形式,學(xué)生不易理解,而且又是建立在指數(shù)與對(duì)數(shù)關(guān)系和反函數(shù)概念的基礎(chǔ)上,故應(yīng)成為教學(xué)的重點(diǎn)。
。3)本節(jié)課的主線是對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù),所有的問題都應(yīng)圍繞著這條主線展開。而通過互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系由已知函數(shù)研究未知函數(shù)的性質(zhì),這種方法是第一次使用,學(xué)生不適應(yīng),把握不住關(guān)鍵,所以應(yīng)是本節(jié)課的難點(diǎn)。
教法建議
。1)對(duì)數(shù)函數(shù)在引入時(shí),就應(yīng)從學(xué)生熟悉的指數(shù)問題出發(fā),通過對(duì)指數(shù)函數(shù)的認(rèn)識(shí)逐步轉(zhuǎn)化為對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的認(rèn)識(shí),而且畫對(duì)數(shù)函數(shù)圖象時(shí),既要考慮到對(duì)底數(shù)的分類討論而且對(duì)每一類問題也可以多選幾個(gè)不同的底,畫在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi),便于觀察圖象的特征,找出共性,歸納性質(zhì)。
(2)在本節(jié)課中結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)教學(xué)的特點(diǎn),一定要讓學(xué)生動(dòng)手做,動(dòng)腦想,大膽猜,要以學(xué)生的研究為主,教師只是不斷地反函數(shù)這條主線引導(dǎo)學(xué)生思考的方向。這樣既增強(qiáng)了學(xué)生的參與意識(shí)又教給他們思考問題的方法,獲取知識(shí)的途徑,使學(xué)生學(xué)有所思,思有所得,練有所獲,從而提高學(xué)習(xí)興趣。
高一數(shù)學(xué)指數(shù)函數(shù)教案5
教學(xué)目標(biāo)
1.使學(xué)生理解函數(shù)單調(diào)性的概念,并能判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性.
2.通過函數(shù)單調(diào)性概念的教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生分析問題、認(rèn)識(shí)問題的能力.通過例題培養(yǎng)學(xué)生利用定義進(jìn)行推理的邏輯思維能力.
3.通過本節(jié)課的教學(xué),滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義的教育.
教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn):函數(shù)單調(diào)性的概念.
教學(xué)難點(diǎn):函數(shù)單調(diào)性的判定.
教學(xué)過程設(shè)計(jì)
一、引入新課
師:請(qǐng)同學(xué)們觀察下面兩組在相應(yīng)區(qū)間上的函數(shù),然后指出這兩組函數(shù)之間在性質(zhì)上的主要區(qū)別是什么?
。ㄓ猛队盎脽艚o出兩組函數(shù)的圖象.)
第一組:
第二組:
生:第一組函數(shù),函數(shù)值y隨x的增大而增大;第二組函數(shù),函數(shù)值y隨x的增大而減。
師:(手執(zhí)投影棒使之沿曲線移動(dòng))對(duì).他(她)答得很好,這正是兩組函數(shù)的主要區(qū)別.當(dāng)x變大時(shí),第一組函數(shù)的函數(shù)值都變大,而第二組函數(shù)的函數(shù)值都變。m然在每一組函數(shù)中,函數(shù)值變大或變小的方式并不相同,但每一組函數(shù)卻具有一種共同的性質(zhì).我們?cè)趯W(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)以及冪函數(shù)時(shí),就曾經(jīng)根據(jù)函數(shù)的圖象研究過函數(shù)的函數(shù)值隨自變量的變大而變大或變小的性質(zhì).而這些研究結(jié)論是直觀地由圖象得到的.在函數(shù)的集合中,有很多函數(shù)具有這種性質(zhì),因此我們有必要對(duì)函數(shù)這種性質(zhì)作更進(jìn)一步的一般性的討論和研究,這就是我們今天這一節(jié)課的內(nèi)容.
。c(diǎn)明本節(jié)課的內(nèi)容,既是曾經(jīng)有所認(rèn)識(shí)的,又是新的知識(shí),引起學(xué)生的注意.)
二、對(duì)概念的分析
。ò鍟n題:)
師:請(qǐng)同學(xué)們打開課本第51頁,請(qǐng)××同學(xué)把增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間的定義朗讀一遍.
。▽W(xué)生朗讀.)
師:好,請(qǐng)坐.通過剛才閱讀增函數(shù)和減函數(shù)的定義,請(qǐng)同學(xué)們思考一個(gè)問題:這種定義方法和我們剛才所討論的函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大或減小是否一致?如果一致,定義中是怎樣描述的?
生:我認(rèn)為是一致的.定義中的“當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)<f(x2)”描述了y隨x的增大而增大;“當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)>f(x2)”描述了y隨x的增大而減少.
師:說得非常正確.定義中用了兩個(gè)簡(jiǎn)單的不等關(guān)系“x1<x2”和“f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)”,它刻劃了函數(shù)的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的性質(zhì).這就是數(shù)學(xué)的魅力!
。ㄍㄟ^教師的情緒感染學(xué)生,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.)
師:現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們和我一起來看剛才的兩組圖中的第一個(gè)函數(shù)y=f1(x)和y=f2(x)的圖象,體會(huì)這種魅力.
(指圖說明.)
師:圖中y=f1(x)對(duì)于區(qū)間[a,b]上的任意x1,x2,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f1(x1)<f1(x),因此y=f1(x)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)遞增的,區(qū)間[a,b]是函數(shù)y=f1(x)的單調(diào)增區(qū)間;而圖中y=f2(x)對(duì)于區(qū)間[a,b]上的任意x1,x2,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f2(x1)>f2(x2),因此y=f2(x)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)遞減的,區(qū)間[a,b]是函數(shù)y=f2(x)的單調(diào)減區(qū)間.
。ń處熤笀D說明分析定義,使學(xué)生把函數(shù)單調(diào)性的定義與直觀圖象結(jié)合起來,使新舊知識(shí)融為一體,加深對(duì)概念的理解.滲透數(shù)形結(jié)合分析問題的數(shù)學(xué)思想方法.)
師:因此我們可以說,增函數(shù)就其本質(zhì)而言是在相應(yīng)區(qū)間上較大的自變量對(duì)應(yīng)……
。ú话言捳f完,指一名學(xué)生接著說完,讓學(xué)生的思維始終跟著老師.)
生:較大的函數(shù)值的函數(shù).
師:那么減函數(shù)呢?
生:減函數(shù)就其本質(zhì)而言是在相應(yīng)區(qū)間上較大的自變量對(duì)應(yīng)較小的函數(shù)值的函數(shù).
。▽W(xué)生可能回答得不完整,教師應(yīng)指導(dǎo)他說完整.)
師:好.我們剛剛以增函數(shù)和減函數(shù)的定義作了初步的分析,通過閱讀和分析你認(rèn)為在定義中我們應(yīng)該抓住哪些關(guān)鍵詞語,才能更透徹地認(rèn)識(shí)定義?
。▽W(xué)生思索.)
學(xué)生在高中階段以至在以后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)遇到一些概念(或定義),能否抓住定義中的關(guān)鍵詞語,是能否正確地、深入地理解和掌握概念的重要條件,更是學(xué)好數(shù)學(xué)及其他各學(xué)科的重要一環(huán).因此教師應(yīng)該教會(huì)學(xué)生如何深入理解一個(gè)概念,以培養(yǎng)學(xué)生分析問題,認(rèn)識(shí)問題的能力.
。ń處熢趯W(xué)生思索過程中,再一次有感情地朗讀定義,并注意在關(guān)鍵詞語處適當(dāng)加重語氣.在學(xué)生感到無從下手時(shí),給以適當(dāng)?shù)奶崾荆?/p>
生:我認(rèn)為在定義中,有一個(gè)詞“給定區(qū)間”是定義中的關(guān)鍵詞語.
師:很好,我們?cè)趯W(xué)習(xí)任何一個(gè)概念的時(shí)候,都要善于抓住定義中的關(guān)鍵詞語,在學(xué)習(xí)幾個(gè)相近的概念時(shí)還要注意區(qū)別它們之間的不同.增函數(shù)和減函數(shù)都是對(duì)相應(yīng)的區(qū)間而言的,離開了相應(yīng)的區(qū)間就根本談不上函數(shù)的增減性.請(qǐng)大家思考一個(gè)問題,我們能否說一個(gè)函數(shù)在x=5時(shí)是遞增或遞減的?為什么?
生:不能.因?yàn)榇藭r(shí)函數(shù)值是一個(gè)數(shù).
師:對(duì).函數(shù)在某一點(diǎn),由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)(注意這四個(gè)字“唯一確定”),因而沒有增減的變化.那么,我們能不能脫離區(qū)間泛泛談?wù)撃骋粋(gè)函數(shù)是增函數(shù)或是減函數(shù)呢?你能否舉一個(gè)我們學(xué)過的例子?
生:不能.比如二次函數(shù)y=x2,在y軸左側(cè)它是減函數(shù),在y軸右側(cè)它是增函數(shù).因而我們不能說y=x2是增函數(shù)或是減函數(shù).
。ㄔ趯W(xué)生回答問題時(shí),教師板演函數(shù)y=x2的圖像,從“形”上感知.)
師:好.他(她)舉了一個(gè)例子來幫助我們理解定義中的詞語“給定區(qū)間”.這說明是函數(shù)在某一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì),但這不排斥有些函數(shù)在其定義域內(nèi)都是增函數(shù)或減函數(shù).因此,今后我們?cè)谡務(wù)摵瘮?shù)的增減性時(shí)必須指明相應(yīng)的區(qū)間.
師:還有沒有其他的關(guān)鍵詞語?
生:還有定義中的“屬于這個(gè)區(qū)間的任意兩個(gè)”和“都有”也是關(guān)鍵詞語.
師:你答的很對(duì).能解釋一下為什么嗎?
。▽W(xué)生不一定能答全,教師應(yīng)給予必要的.提示.)
師:“屬于”是什么意思?
生:就是說兩個(gè)自變量x1,x2必須取自給定的區(qū)間,不能從其他區(qū)間上。
師:如果是閉區(qū)間的話,能否取自區(qū)間端點(diǎn)?
生:可以.
師:那么“任意”和“都有”又如何理解?
生:“任意”就是指不能取特定的值來判斷函數(shù)的增減性,而“都有”則是說只要x1<x2,f(x1)就必須都小于f(x2),或f(x1)都大于f(x2).
師:能不能構(gòu)造一個(gè)反例來說明“任意”呢?
。ㄗ寣W(xué)生思考片刻.)
生:可以構(gòu)造一個(gè)反例.考察函數(shù)y=x2,在區(qū)間[-2,2]上,如果取兩個(gè)特定的值x1=-2,x2=1,顯然x1<x2,而f(x1)=4,f(x2)=1,有f(x1)>f(x2),若由此判定y=x2是[-2,2]上的減函數(shù),那就錯(cuò)了.
師:那么如何來說明“都有”呢?
生:y=x2在[-2,2]上,當(dāng)x1=-2,x2=-1時(shí),有f(x1)>f(x2);當(dāng)x1=1,x2=2時(shí),有f(x1)<f(x2),這時(shí)就不能說y=x2,在[-2,2]上是增函數(shù)或減函數(shù).
師:好極了!通過分析定義和舉反例,我們知道要判斷函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)或減函數(shù),不能由特定的兩個(gè)點(diǎn)的情況來判斷,而必須嚴(yán)格依照定義在給定區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)自變量x1,x2,根據(jù)它們的函數(shù)值f(x1)和f(x2)的大小來判定函數(shù)的增減性.
。ń處熗ㄟ^一系列的設(shè)問,使學(xué)生處于積極的思維狀態(tài),從抽象到具體,并通過反例的反襯,使學(xué)生加深對(duì)定義的理解.在概念教學(xué)中,反例常常幫助學(xué)生更深刻地理解概念,鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維能力.)
師:反過來,如果我們已知f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù),那么,我們就可以通過自變量的大小去判定函數(shù)值的大小,也可以由函數(shù)值的大小去判定自變量的大。匆话愠闪t特殊成立,反之,特殊成立,一般不一定成立.這恰是辯證法中一般和特殊的關(guān)系.
。ㄓ棉q證法的原理來解釋數(shù)學(xué)知識(shí),同時(shí)用數(shù)學(xué)知識(shí)去理解辯證法的原理,這樣的分析,有助于深入地理解和掌握概念,分清概念的內(nèi)涵和外延,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的能力.)
三、概念的應(yīng)用
例1 圖4所示的是定義在閉區(qū)間[-5,5]上的函數(shù)f(x)的圖象,根據(jù)圖象說出f(x)的單調(diào)區(qū)間,并回答:在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上,f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)?
。ㄓ猛队盎脽艚o出圖象.)
生甲:函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-5,-2],[1,3]上是減函數(shù),因此[-5,-2],[1,3]是函數(shù)y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間;在區(qū)間[-2,1],[3,5]上是增函數(shù),因此[-2,1],[3,5]是函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.
生乙:我有一個(gè)問題,[-5,-2]是函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間,那么,是否可認(rèn)為(-5,-2)也是f(x)的單調(diào)減區(qū)間呢?
師:?jiǎn)柕煤茫@說明你想的很仔細(xì),思考問題很嚴(yán)謹(jǐn).容易證明:若f(x)在[a,b]上單調(diào)(增或減),則f(x)在(a,b)上單調(diào)(增或減).反之不然,你能舉出反例嗎?一般來說.若f(x)在[a,(增或減).反之不然.
例2 證明函數(shù)f(x)=3x+2在(-∞,+∞)上是增函數(shù).
師:從函數(shù)圖象上觀察固然形象,但在理論上不夠嚴(yán)格,尤其是有些函數(shù)不易畫出圖象,因此必須學(xué)會(huì)根據(jù)解析式和定義從數(shù)量上分析辨認(rèn),這才是我們研究函數(shù)單調(diào)性的基本途徑.
(指出用定義證明的必要性.)
師:怎樣用定義證明呢?請(qǐng)同學(xué)們思考后在筆記本上寫出證明過程.
。ń處熝惨,并指定一名中等水平的學(xué)生在黑板上板演.學(xué)生可能會(huì)對(duì)如何比較f(x1)和f(x2)的大小關(guān)系感到無從入手,教師應(yīng)給以啟發(fā).)
師:對(duì)于f(x1)和f(x2)我們?nèi)绾伪容^它們的大小呢?我們知道對(duì)兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,如果a>b,那么它們的差a-b就大于零;如果a=b,那么它們的差a—b就等于零;如果a<b,那么它們的差a-b就小于零,反之也成立.因此我們可由差的符號(hào)來決定兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.
生:(板演)設(shè)x1,x2是(-∞,+∞)上任意兩個(gè)自變量,當(dāng)x1<x2時(shí),
f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3x1-3x2=3(x1-x2)<0,
所以f(x)是增函數(shù).
師:他的證明思路是清楚的.一開始設(shè)x1,x2是(-∞,+∞)內(nèi)任意兩個(gè)自變量,并設(shè)x1<x2(邊說邊用彩色粉筆在相應(yīng)的語句下劃線,并標(biāo)注“①→設(shè)”),然后看f(x1)-f(x2),這一步是證明的關(guān)鍵,再對(duì)式子進(jìn)行變形,一般方法是分解因式或配成完全平方的形式,這一步可概括為“作差,變形”(同上,劃線并標(biāo)注”②→作差,變形”).但美中不足的是他沒能說明為什么f(x1)-f(x2)<0,沒有用到開始的假設(shè)“x1<x2”,不要以為其顯而易見,在這里一定要對(duì)變形后的式子說明其符號(hào).應(yīng)寫明“因?yàn)閤1<x2,所以x1-x2<0,從而f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).”這一步可概括為“定符號(hào)”(在黑板上板演,并注明“③→定符號(hào)”).最后,作為證明題一定要有結(jié)論,我們把它稱之為第四步“下結(jié)論”(在相應(yīng)位置標(biāo)注“④→下結(jié)論”).
這就是我們用定義證明函數(shù)增減性的四個(gè)步驟,請(qǐng)同學(xué)們記。枰赋龅氖堑诙剑绻瘮(shù)y=f(x)在給定區(qū)間上恒大于零,也可以小.
。▽(duì)學(xué)生的做法進(jìn)行分析,把證明過程步驟化,可以形成思維的定勢(shì).在學(xué)生剛剛接觸一個(gè)新的知識(shí)時(shí),思維定勢(shì)對(duì)理解知識(shí)本身是有益的,同時(shí)對(duì)學(xué)生養(yǎng)成一定的思維習(xí)慣,形成一定的解題思路也是有幫助的.)
調(diào)函數(shù)嗎?并用定義證明你的結(jié)論.
師:你的結(jié)論是什么呢?
上都是減函數(shù),因此我覺得它在定義域(-∞,0)∪(0,+∞)上是減函數(shù).
生乙:我有不同的意見,我認(rèn)為這個(gè)函數(shù)不是整個(gè)定義域內(nèi)的減函數(shù),因?yàn)樗环蠝p函數(shù)的定義.比如取x1∈(-∞,0),取x2∈(0,+∞),x1<x2顯然成立,而f(x1)<0,f(x2)>0,顯然有f(x1)<f(x2),而不是f(x1)>f(x2),因此它不是定義域內(nèi)的減函數(shù).
生:也不能這樣認(rèn)為,因?yàn)橛蓤D象可知,它分別在(-∞,0)和(0,+∞)上都是減函數(shù).
域內(nèi)的增函數(shù),也不是定義域內(nèi)的減函數(shù),它在(-∞,0)和(0,+∞)每一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)都是減函數(shù).因此在函數(shù)的幾個(gè)單調(diào)增(減)區(qū)間之間不要用符號(hào)“∪”連接.另外,x=0不是定義域中的元素,此時(shí)不要寫成閉區(qū)間.
上是減函數(shù).
。ń處熝惨暎畬(duì)學(xué)生證明中出現(xiàn)的問題給予點(diǎn)拔.可依據(jù)學(xué)生的問題,給出下面的提示:
。1)分式問題化簡(jiǎn)方法一般是通分.
。2)要說明三個(gè)代數(shù)式的符號(hào):k,x1·x2,x2-x1.
要注意在不等式兩邊同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)的時(shí)候,不等號(hào)方向要改變.
對(duì)學(xué)生的解答進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析小結(jié),點(diǎn)出學(xué)生在證明過程中所出現(xiàn)的問題,引起全體學(xué)生的重視.)
四、課堂小結(jié)
師:請(qǐng)同學(xué)小結(jié)一下這節(jié)課的主要內(nèi)容,有哪些是應(yīng)該特別注意的?
。ㄕ(qǐng)一個(gè)思路清晰,善于表達(dá)的學(xué)生口述,教師可從中給予提示.)
生:這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了函數(shù)單調(diào)性的定義,要特別注意定義中“給定區(qū)間”、“屬于”、“任意”、“都有”這幾個(gè)關(guān)鍵詞語;在寫單調(diào)區(qū)間時(shí)不要輕易用并集的符號(hào)連接;最后在用定義證明時(shí),應(yīng)該注意證明的四個(gè)步驟.
五、作業(yè)
1.課本P53練習(xí)第1,2,3,4題.
數(shù).
=a(x1-x2)(x1+x2)+b(x1-x2)
=(x1-x2)[a(x1+x2)+b].(*)
+b>0.由此可知(*)式小于0,即f(x1)<f(x2).
課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明
是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì),是研究函數(shù)時(shí)經(jīng)常要注意的一個(gè)性質(zhì).并且在比較幾個(gè)數(shù)的大小、對(duì)函數(shù)作定性分析、以及與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用上都有廣泛的應(yīng)用.對(duì)學(xué)生來說,早已有所知,然而沒有給出過定義,只是從直觀上接觸過這一性質(zhì).學(xué)生對(duì)此有一定的感性認(rèn)識(shí),對(duì)概念的理解有一定好處,但另一方面學(xué)生也會(huì)覺得是已經(jīng)學(xué)過的知識(shí),感覺乏味.因此,在設(shè)計(jì)教案時(shí),加強(qiáng)了對(duì)概念的分析,希望能夠使學(xué)生認(rèn)識(shí)到看似簡(jiǎn)單的定義中有不少值得去推敲、去琢磨的東西,其中甚至包含著辯證法的原理.
另外,對(duì)概念的分析是在引進(jìn)一個(gè)新概念時(shí)必須要做的,對(duì)概念的深入的正確的理解往往是學(xué)生認(rèn)知過程中的難點(diǎn).因此在本教案的設(shè)計(jì)過程中突出對(duì)概念的分析不僅僅是為了分析函數(shù)單調(diào)性的定義,而且想讓學(xué)生對(duì)如何學(xué)會(huì)、弄懂一個(gè)概念有初步的認(rèn)識(shí),并且在以后的學(xué)習(xí)中學(xué)有所用.
還有,使用函數(shù)單調(diào)性定義證明是一個(gè)難點(diǎn),學(xué)生剛剛接觸這種證明方法,給出一定的步驟是必要的,有利于學(xué)生理解概念,也可以對(duì)學(xué)生掌握證明方法、形成證明思路有所幫助.另外,這也是以后要學(xué)習(xí)的不等式證明方法中的比較化的基本思路,現(xiàn)在提出要求,對(duì)今后的教學(xué)作一定的鋪墊.
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