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二次函數(shù)y=ax2的圖象
教學(xué)設(shè)計示例1
課題:二次函數(shù) 的圖象
教學(xué)目標(biāo):
1、會用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù) 的圖象;
2、根據(jù)圖象觀察、分析出二次函數(shù) 的性質(zhì);
3、進(jìn)一步理解二次函數(shù)和拋物線的有關(guān)知識
4、滲透由特殊到一般的辯證唯物主義觀點(diǎn);
5、滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)觀察能力和分析問題的能力;
6、培養(yǎng)學(xué)生勇于探索創(chuàng)創(chuàng)新及實(shí)事求是的科學(xué)精神.
教學(xué)重點(diǎn):根據(jù)圖象,觀察、分析出二次函數(shù)的性質(zhì)
教學(xué)難點(diǎn):滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法
教學(xué)用具:直尺、微機(jī)
教學(xué)方法:談話、探究式
教學(xué)過程:
1、列表、描點(diǎn)畫出函數(shù) 與 的圖象,引入新課
例:畫出函數(shù) 與 的圖象
解:列兩個表
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
x
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
分別描點(diǎn)畫圖
2、根據(jù)圖象發(fā)現(xiàn)問題,由學(xué)生探索出新知識.
提問:你能從圖象中發(fā)現(xiàn)拋物線是哪些性質(zhì)?這兩個函數(shù)圖象有何異同?
(1)這兩個函數(shù)的圖象都關(guān)于y軸對稱.這一點(diǎn)可以從剛才的列表中可以看出, 時所對應(yīng)的y值分別相等,如 等.這樣的兩個點(diǎn)關(guān)于y軸對稱.由這些點(diǎn)構(gòu)成的拋物線也關(guān)于y軸對稱.從解析式中也可以得出這個結(jié)論:互為相反數(shù)的兩個數(shù)的平方數(shù)相等,因此,這兩個函數(shù)的圖象都是關(guān)于y軸對稱的.
。2)從圖中可以看出,x可取x軸上的任意一點(diǎn),而y對應(yīng)的是大于、等于零的數(shù).即拋物線有最低點(diǎn)(0,0).這一點(diǎn)可以從解析式中得到很好的解釋, 可取
任意實(shí)數(shù). 圖象開口向上.這也說明數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩條線索,它們是互相對應(yīng)的,反映了數(shù)形結(jié)合的思想.
。3)從圖中也可以看出拋物線不同于我們以前學(xué)過的正比例函數(shù)和一次函數(shù),這兩個函數(shù)的圖象都是直線,而拋物線是曲線,有一個拐彎,函數(shù)的圖象都在最低點(diǎn)拐了一個彎.這樣它們的性質(zhì)幾發(fā)生了變化.在y軸的左側(cè),從左向右呈下坡趨勢,即y隨x的增大而減小;在y軸的右側(cè),從左向右,呈上坡趨勢,即y隨x的增大而增大.這一變化趨勢也可以從列表中看出.
(4)這兩個圖象除以上相同之處外,還有不同的地方.如: 離y軸近, 離y軸遠(yuǎn).從列表中可以看出:如 過點(diǎn)(2,2),而 過點(diǎn)(2,8)也就是說,當(dāng)x=2時, 的圖象所對應(yīng)的點(diǎn)高于 所對應(yīng)的點(diǎn).因此會有上述的結(jié)論.
3、畫出函數(shù) 的圖象
與 中的a都是正數(shù),當(dāng)a<0時, 的圖象會是什么樣子呢?
我們看例2
例2、畫出函數(shù) 的圖象
解:列表:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
描點(diǎn)畫圖:
4、從函數(shù)圖象入手,再次總結(jié)二次函數(shù)的性質(zhì)
(1)與剛才兩個圖象不同的是, 的圖象開口向下.這是因?yàn)閤是任意實(shí)數(shù), , 即 ,因此,開口會向下.圖象有最高點(diǎn)(0,0)
(2)此圖象仍然是關(guān)于y軸對稱的
(3)在y軸的左側(cè),y隨x的增大而增大;在y軸的右側(cè),y隨x的增大而減小
5、得出一般的規(guī)律
一般地,拋物線 的對稱軸是y軸,頂點(diǎn)是原點(diǎn),當(dāng)a>0時,拋物線 的開口向上,當(dāng)a<0時,拋物線 的開口向下,a的絕對值越大,圖象越靠近y軸.
6、小結(jié):這一節(jié)課,從始至中都是結(jié)合圖象觀察、歸納總結(jié)出二次函數(shù) 的性質(zhì),體現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合.函數(shù)圖象是解決函數(shù)問題的有利工具,希望大家能自覺地應(yīng)用.
7、作業(yè):習(xí)題13.6A組1、2B組1、2
教學(xué)設(shè)計示例2
課題:二次函數(shù) 的圖象
第一課時
一、素質(zhì)教育目標(biāo)
。ㄒ唬┲R教學(xué)點(diǎn)
1.使學(xué)生知道二次函數(shù)的意義;
2.使學(xué)生會用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù) 的圖像,并結(jié)合 的圖像,初步理解拋物線及其有關(guān)概念。
。ǘ┠芰τ(xùn)練點(diǎn)
1.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生用描點(diǎn)法畫函數(shù)圖像的能力;
2.向?qū)W生進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法的教育。
。ㄈ┑掠凉B透點(diǎn)
通過對幾個特殊的二次函數(shù)的講解,向?qū)W生進(jìn)行一般與特殊的辯證唯物主義教育。
。ㄋ模┟烙凉B透點(diǎn)
通過本節(jié)課的教學(xué),滲透二次函數(shù)圖像的對稱美,曲線的平滑美。
二、學(xué)法引導(dǎo)
教師采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法,觀察法,講解法
本節(jié)的主要內(nèi)容是理解二次函數(shù)的定義,知道二次函數(shù)解析式 中字母的意思,在畫 的圖像時,要知道圖形是拋物線,是軸對稱圖形、列表時,自變量x的值的選取,應(yīng)以0為中心,對稱地選取兩對(或三對)互為相反數(shù),最好x取整數(shù)值。
三、重點(diǎn)·難點(diǎn)·疑點(diǎn)及解決辦法
1.教學(xué)重點(diǎn):二次函數(shù)的意義及二次函數(shù) 的圖像的畫法。因?yàn)樗鼈兪茄芯慷魏瘮?shù)的重要基礎(chǔ)。
2.教學(xué)難點(diǎn):正確畫出二次函數(shù) 的圖像。因?yàn)樗膱D像是一條曲線,畫起來較復(fù)雜,而且學(xué)生在畫圖之前,尚不清楚二次函數(shù) 的圖像的具體形狀和變化趨勢,所以不易把握。
3.教學(xué)疑點(diǎn):(1) ;(2) 的圖像的反性質(zhì)。
4.解決辦法:(1)關(guān)于二次函數(shù)的定義,關(guān)鍵要注意:自變量的最高次數(shù)定義,二次項(xiàng)系數(shù) ;(2) 的圖像和性質(zhì),不可死記硬背,要結(jié)合圖像理解和掌握二次函數(shù) 的幾個主要特征,如開口方向,頂點(diǎn)坐標(biāo)(或位置),對稱軸,最大值最小值等。
四、教學(xué)步驟
。ㄒ唬教學(xué)過程
首先,我們來看兩個實(shí)驗(yàn)問題:(出示幻燈)
1.圓的半徑是R,它的面積為S,你能否寫出S與R之間的函數(shù)關(guān)系式?
這個問題由學(xué)生舉手回答,可找層次較低的學(xué)生完成,培養(yǎng)他們的參與意識和自信心。然后把答案寫在黑板上留用。
2.已知一個矩形場地的周長是60,一邊長為l,請你寫出這個矩形場地的面積S與這條邊長之間的函數(shù)關(guān)系式。
這個問題其實(shí)就是13.2中的例1,可由學(xué)生得出結(jié)論,若學(xué)生給出的是 ,再繼續(xù)提問:你能否把函數(shù)關(guān)系式中的括號去掉?然后把所得的結(jié)論寫在黑板上。
提問:比較 與 這兩個函數(shù),都是用自變量的幾次式來表示的?
用這個問題,引出二次函數(shù),在學(xué)生回答之后,教師加以總結(jié),板書:
一般地,如果 (a、b、c是常數(shù), ),那么,y叫做x的二次函數(shù)。
提問:1.上述概念中的a為什么不能是0?
2.對于二次函數(shù) 中的b和c可否為0?若b和c其一為0或均為0,上述函數(shù)的式子可以改寫成怎樣?你認(rèn)為它們還是不是二次函數(shù)?
3.由問題1和2,你能否總結(jié):一個函數(shù)是否是二次函數(shù),關(guān)鍵看什么?
由這三個問題加深學(xué)生對二次函數(shù)意義的理解,也同時給出了二次函數(shù)的三個特例: ; ; ,使學(xué)生深刻理解:看一個函數(shù)是否是二次函數(shù)的關(guān)鍵是看二次項(xiàng)的系數(shù)是否為0.
4.二次函數(shù)的解析式,與我們所學(xué)過的什么知識相類似?
通過這個問題,使學(xué)生能把二次函數(shù)與一元二次方程初步搭上聯(lián)系即可,為以后的教學(xué)
做好鋪墊.
練習(xí)一:P108中1、2 口答,注意第1題要讓學(xué)生說明不是二次函數(shù)的原因
提問:根據(jù)我們所學(xué)知道,一次函數(shù)的圖像是條直線,那么二次函數(shù)的圖像又是什么樣的呢?
這個問題主要是為了引起學(xué)生的興趣,不必回答,教師也不用給出答案.
我們研究任何問題都最好由最簡單的入手,根據(jù)剛才對二次函數(shù)的介紹,你認(rèn)為最簡單的二次函數(shù)是什么?
這個問題一方面可以使學(xué)生自然過渡到要先研究 .另一方面也使同學(xué)認(rèn)識到研
究問題要由簡到繁的基本方法.
所以第三個問題是,由我們學(xué)習(xí)的畫函數(shù)的圖像方法與步驟,我們應(yīng)怎樣畫二次函數(shù) 的圖像呢?
可由學(xué)生先回答畫函數(shù)圖像的三個步驟:(1)列表;(2)描點(diǎn);(3)連線.然后分步驟來研究這個圖像的方法.
(1)列表:①自變量x的取值范圍是什么?
、谝嬤@個圖,你認(rèn)為x取整數(shù)還是取其他數(shù)較好?
、劭 ,它是一個數(shù)的平方形式,它的結(jié)論與x的值有什么關(guān)系?
學(xué)生可能有多種答法,引導(dǎo)學(xué)生回答:當(dāng)x取互為相反數(shù)時, 的值相同.
、苋暨x7個點(diǎn)畫圖,你準(zhǔn)備怎樣選?
通過這4個問題可以使學(xué)生很順利地想到為什么要先取書上給出的這7個點(diǎn),而且也使
學(xué)生初步學(xué)會畫二次函數(shù)圖像時選點(diǎn)的技巧.
。2)描點(diǎn):①在畫坐標(biāo)系時x軸的正、負(fù)半鈾和y軸的正、負(fù)半軸是否都要畫一樣的長?
、谠鯓赢嬀涂梢粤四?
答:x軸的正、負(fù)半軸畫的一樣長,y的正半軸畫的較長,負(fù)半軸畫的較短就可以.
通過這兩個問題可培養(yǎng)學(xué)生的作圖技巧.
。2)連線:①觀察這7個點(diǎn)的位置,它們是否在一條直線上?
②我們應(yīng)怎樣連接這7個點(diǎn)?
讓學(xué)生先連一次試試,然后教師演示。關(guān)于原點(diǎn)附近的變化趨勢,最好能用動畫演示,增強(qiáng)學(xué)生的直觀認(rèn)識,或看書也可以.
注意:我們所畫的只是近似圖像.
接下來,讓學(xué)生觀察這個函數(shù)圖像提問:
1.函數(shù) 的圖像有什么特點(diǎn)?
答:是軸對稱圖形.
2.你是怎樣判斷函數(shù) 的圖像有上述特征的?
這個問題,按不同的層次,有三種得出方法:(1)觀察圖;(2)看列表;(3)直接根據(jù)解析式,看學(xué)生層次定講解的深度.
學(xué)生回答完上面的問題之后就可指出:函數(shù) 的圖像是一條關(guān)于y軸對稱的曲線,這條曲線叫做拋物線。實(shí)際上,二次函數(shù)的圖像都是拋物線(板書)
在此處,可大致解釋一下拋物線是由物理中的問題而來的,不要深講。
再結(jié)合圖像指出:拋物線 是開口向上的,y軸是它的對稱軸,對稱軸與拋物線的交點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn),即(0,0)點(diǎn)。
關(guān)于拋物線的頂點(diǎn),可按不同層次的學(xué)生進(jìn)行不同層次的解釋:
從圖像上直觀得到:拋物線 的頂點(diǎn)是圖像的最低點(diǎn):從解析式上看,當(dāng) 時, 取得最小值0,(0,0)就是拋物線 的頂點(diǎn)坐標(biāo)。
。ǘ┛偨Y(jié)、擴(kuò)展
教師提問,學(xué)生思考回答:
1.你能否說清二次函數(shù)的意義?
注意總結(jié):(1)函數(shù)解析式關(guān)于自變量是整式;(2)自變量的最高次數(shù)是2。
2.二次函數(shù) 的圖像是什么形狀的?它的開口方向,對稱軸,頂點(diǎn)坐標(biāo)各是什么?
五、布置作業(yè)
教材P114 1、2、3
六、板書設(shè)計
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